Развернутый конспект по теме "Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби" к учебнику С.М. Никольского

Этап урока, его задачи

Время

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Организационный этап

3 минуты

- Доброе утро, ребята!

-Для начала проверим кто сегодня присутствует.

Проверяют готовность себя к уроку.

Приветствуют учителя.

Староста называет отсутствующих.

Повторение ранее изученного материала

- Какую же загадку нам предстоит сегодня разгадать?

- Но начала мы с вами вспомним, что нового и интересного вы узнали на предыдущих уроках?

-на прошлом уроке мы познакомились с периодическими десятичными дробями

--на прошлом уроке мы познакомились с периодическими десятичными дробями

Мы научились переводить обыкновенные дроби в периодические десятичные дроби

Начнем урок с устной разминки.

3/2, 7/3, 7/9, 1/3,1/11

По окончанию повторения рассмотрим новую тему.

1 человек у доски, остальные в тетради

Мотивационный этап (актуализация)

2 минуты

Итак, мы с вами решили несколько примеров.

Итак, откроем тетради запишем число, классная работа и тему урока.

сегодня мы рассмотрим новую тему: «периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби»

В тетради записывают: число, классная работа и тему урока.

Реализация проекта

Целью нашего урока является:

1. определение периодичности десятичного разложения обыкновенной дроби.

2. способы расчета.

Изучение нового материала.

20 минут

На прошлом уроке мы ввели понятие бесконечной периодической десятичной дроби.

Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью.

Например:

5/9

Знаменатель 9 = 3³

5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком.

Разделим числитель 5 на знаменатель 9.

Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…, точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз.

Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Записывают 0,(5) .

Читают: « ноль целых и пять в периоде».

Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5).

Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде.

При этом пишут:

5/9 = 0,555… = 0,(5)

Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5).

Рассмотрим ещё пример.

Рассмотрим:

4/15

Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим.

Делим уголком 4 на 15.

Записывают так:

0,2(6)

читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде».

(6) ‑ период дроби.

В примерах мы увидели разные периодические дроби.

Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные».

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».

Например:

0,(3)

0,(6)

0,(5)

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».

Например:

0,2(6),

0,46(76)

Сформулируем утверждение:

Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q

Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь.

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.

Например:

45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0)

0,673 = 0,673000 = 0,673(0).

Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Тогда сформулируем:

Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь.

Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q.

Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q

Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование.

Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5

В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13.

Будем делить уголком 15 на 13.

Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:

Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью.

Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной.

Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство

х = 0,(7) (1)

Умножим это равенство на 10, получим

10х = 7,(7) (2).

Вычтем из равенства (2) равенство (1).

10x – x = 7

9x = 7

x = 7 : 9

Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.)

Делают записи в тетради, слушают учителя.

Первичное закрепление.

8 минут

Работа с учебником:

№ 983 (а-в), № 984 (а-г)

Самостоятельно решают поставленные задачи. Дают устный ответ.

Делают записи в тетради.

Физ.минутка.

1 минута

Самостоятельная работа, самопроверка.

№ 983 (г), № 984 (д,е)

Учащиеся делают записи в тетради. По желанию выходят к доске.

Подведение итогов урока.

2 минуты

-Домашнее задание:

№ 983 (д-з), № 984 (ж-м)

Записывают домашнее задание

Рефлексия.

5 минут

Итак, сегодня на уроке мы изучили новую тему

- Какова была сегодня тема урока?

-и тд…

Отвечают на вопросы, подводят итоги урока, оценивают свою деятельность.

Спасибо за урок!

До новых встреч!