Теорема Пифагора

Формулировка теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора была известна еще до него. Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. Вернее, не ее, а частные случаи. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Зато не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных сравнений.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств теоремы Пифагора. Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Найти неизвестную сторону треугольника

А

?

В

С

А

АВ 2 = АС 2 + СВ 2

?

АВ 2 = 3 2 + 4 2

В

С

АВ 2 = 9 + 16

АВ 2 = 25

АВ =

АВ = 5

Найти неизвестную сторону

треугольника

А

?

М

В

П ифагоров а тройк а

3,4,5

6,8,10

8,15, 17

……

Можно ли найти катет,

если известна

гипотенуза и другой катет?

СВ 2 = АВ 2  АС 2

А

СВ 2 = 5 2  3 2

СВ 2 = 25  9

В

?

С

СВ 2 = 16

СВ 2 =

СВ = 4

Найти неизвестную сторону

треугольника

А

М

?

В

Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора называли "мостом ослов". Так как слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде " Пифагоровы штаны на все стороны равны ", рисовали карикатуры.

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном с греческого Ф.И.Петрушевским

«В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

25 = 16 + 9,

5 2 = 4 2 + 3 2 .

Еще одна формулировка теоремы Пифагора

«Площадь квадрата,

построенного

на гипотенузе прямоугольного треугольника,

равна сумме

площадей квадратов,

построенных

на его катетах»

14

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ теоремы Пифагора

В Древнем Египте был известен треугольник (Египетский треугольник) со сторонами

3, 4, 5, т. е. 3 2 + 4 2 = 5 2 ; его использовали при разметке прямоугольных земельных участков после ежегодного уничтожения их границ разлившимся Нилом.

Египетский треугольник со сторонами 3,4,5.

Его, по другому, называют веревочный треугольник.

Им пользовались в Древнем Египте

для построения прямых углов на местности.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

Значение теоремы Пифагора

• С помощью теоремы Пифагора можно доказать множество теорем геометрии;
• Теорема Пифагора – первое утверждение, которое связало длины сторон треугольников;
• Теорема Пифагора издавна применяется в разных областях науки, техники, практической жизни;
• Благодаря теореме Пифагора возникла целая наука – тригонометрия.

Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.