Разработка урока в 11 классе "Применение производной"

Урок алгебры в 11 классе

«Применение производной в различных областях науки»

Цель урока:

формирование функциональной грамотности обучающихся на примерах применения производной функции для решения практических задач в смежных науках.

Планируемые результаты:

предметные: знать определение производной функции, геометрический и физический смысл производной, уметь находить производные элементарных функций;

метапредметные: овладение навыками организации исследовательской деятельности, постановки целей, планирования, самоконтроля и оценки результатов своей деятельности, умениями предвидеть возможные результаты своих действий; формирование умения работать по алгоритму, использовать математические знания для решения практических задач в смежных науках;

 личностные: развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту, самостоятельности в приобретении новых знаний и практических умений, развитие интереса к предмету и математических способностей, формирование умения работать в группе.

Тип урока: урок применения и совершенствования знаний.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Средства методического обеспечения урока: компьютер, мультимедийный проектор, презентация

Используемые технологии:

информационно-коммуникационная, исследовательская, проблемного обучения.

Замечание

Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций.

За 1 неделю до урока класс разделен на 3 группы. В группу вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа получила задание: провести самостоятельное исследование по теме «Применение производной для решения задач из различных областей науки».

I группа – Применение производной в физике

II группа - Применение производной в химии и биологии
III группа – Применение производной в экономике

Ход урока

1. Мотивация

Здравствуйте. Тема нашего урока «Применение производной в различных областях науки». Эпиграфом к нашему уроку будут слова Н.И.Лобачевского:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

И сегодня на уроке мы попытаемся показать, как с помощью производной можно решать задачи из различных отраслей науки и техники, исследовать реальные процессы, происходящие в нашей жизни.

II. Актуализация знаний

- Вначале давайте вспомним, что мы знаем о производной.

- Что называется производной функции?

(Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю)

- В чем заключается механический смысл производной?

(Скорость есть производная от пути по времени v(t) = S′(t))

 - В чем заключается геометрический смысл производной?

(Угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной этой функции, вычисленной в точке касания f′(x) = k = tga)

Найти производную функций:

7) y=cos10x - sin x

4 )

5) y=sin4x

1. На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀ . Найдите значение производной функции в точке х₀ .

III Презентация исследовательской работы учащихся.

На одном из первых уроков изучения производной я вам задала вопрос:

Как вы думаете, зачем мы изучаем производную функции? Где она может применяться?

Тогда вы на него не смогли ответить, т.к. у вас не хватало соответствующих знаний.

Но, учитывая, что существует механический смысл производной, предположили, что эта тема находит свое применение не только в математике, но и в других науках.

Итак, вы разделились на три группы для того, чтобы поработать с различными источниками информации и провести самостоятельное исследование по теме «Применение производной в различных областях науки». Каждая группа получила свое задание:

И сейчас мы увидим результаты вашей работы.

I группа - «Применение производной в физике»

II группа – «Применение производной в химии и биологии»
III группа – «Применение производной в экономике»

I группа - «Применение производной в физике».

Рассмотрим применение производной в физике.

Мы знаем, что механический смысл производной заключается в том, что

скорость есть производная от пути по времени:
v(t) = S′(t) =

Рассмотрим задачу:

Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t² ?

Решение

Чтобы найти зависимость скорости от времени, найдем производную от пути по времени v(t) = S′(t) = 20 – 2t

В момент въезда на мост скорость равна v(7) = = 20 – 2ˑ7 = 6 (м/с), что соответствует 21,6 км/ч. Т.к. разрешаемая скорость 36км/ч, ответ: да, автомобиль въехал на мост с разрешаемой скоростью.

Рассмотрим применение производной в электротехнике

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Если – приращение времени, – приращение заряда, то сила тока равна пределу отношения при

Т.е. сила тока I есть производная заряда q по времени.

Рассмотрим задачу:
Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Решение

Т.к. сила тока - есть производная заряда по времени,

Учитывая, что , (2t – 10)ʹ = 2

применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем:

= 2 cos(2t – 10)

Подставляя вместо t значение 5, получаем:

Тогда I(5) = 2 cos 0 = 2(А)

Ответ: 2 А

 Производная применяется и в других разделах физики.

• Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).

• Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).

• Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре

C = Q' (t).

• Давление – производная силы по площади P = F'(S)

Этот ряд можно дальше продолжать…Таким образом, мы видим, что производная применяется в физике очень обширно.

II группа - Применение производной в химии и биологии

Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ, она изучает закономерности протекания различных реакций.

В чем же заключается химический смысл производной?

Пусть дана функция p = p ( t ),где p -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени ∆ t будет соответствовать приращение ∆ p количества вещества. Отношение ∆ p /∆ t - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆ t . Предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени.

v(t) = pʹ(t) =

Таким образом, химический смысл производной состоит в том, что скорость реакции v – есть производная от количества вещества р по времени.

Рассмотрим задачу:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью + 3t – 3 ( в молях). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Т. к. скорость химической реакции выражают производной от количества вещества по времени, то скорость химической реакции меняется по закону:

v (t) = pʹ(t) = t + 3; Соответственно через 3 секунды скорость реакции будет равна v (3) = 3+3 = 6(моль\с).

Ответ: 6 моль\с.

Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Биологический смысл производной. Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов х и временем t её размножения задана уравнением: х = x ( t ). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда ∆ х = x ( t + ∆t )- x ( t ) - изменение числа особей организмов. Отношение ∆ х /∆ t является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Предел этого отношения при ∆ х 0 есть производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t

P ( t ) = xʹ( t )=

Т.е. производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t

есть производная от числа особей популяции по времени.

Мы видим, что производная нашла свое применение в химии и биологии.

III группа - «Применение производной в экономических задачах».

Давайте выясним, в чем же заключается экономический смысл производной.

Пусть известна функция  , выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время   величина произведённой продукции составит

Средняя производительность труда – это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е. z_ср=

Производительностью труда в момент времени t₀ называется предел, к которому стремится z_ср при  :

Т.е. экономический смысл производной состоит в том, что производительность труда есть производная от объёма произведённой продукции по времени.

Задача: Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается функцией  , где t – время, ч; причём  . Вычислить производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.

Решение:

Производительность труда   выражается формулой  . Тогда, дифференцируя функцию u(t), получаем

Производительность труда через 1 ч после начала работы получаем подставляя вместо t значение 1

(у.е.)

Производительность труда за 1 ч до окончания работы получаем подставляя вместо t значение 7

(у.е.)

Мы видим, что производительность труда через 1 час после начала работы выше чем за 1 ч до окончания рабочего дня.

Чтобы найти скорость изменения производительности труда, продифференцируем функцию z(t). Получаем 

Значит,  , 

Таким образом производная применяется для решения экономических задач.

Учитель. Обратите внимание, в этой задаче Алена нашла производную функции u(t), а затем производную полученной функции. По сути она нашла так называемую вторую производную функции u(t). Но об этом мы с вами подробнее поговорим через несколько уроков, когда будем изучать производные высших порядков. А как вы думаете, как можно интерпретировать результаты второй части задачи? Почему одно значение получилось положительным, а второе отрицательным?

Мы с вами обязательно вернемся к этой задаче чуть позже, когда вы сможете ответить на эти вопросы.

Учитель. Все три группы справились с заданием и подтвердили нашу гипотезу. Вы сами доказали, что понятие производной функции применяется не только в математике, оно используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции, и радиоактивный распад вещества и экономические процессы и многое другое.

- Вы убедились, что дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке.

Тем самым в очередной раз подтвердили слова Н.И.Лобачевского:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

IV. Самостоятельная работа с самопроверкой

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0⁰С до температуры t⁰ (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0⁰ до 95⁰, формула Q (t) = 0,396t+2,08110^-3t²-5,02410^-7t³ дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

2. Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t )= 100 t² особей. Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t , б) в момент t = 1 c . (Решение: P = x’(t) = 200t; P(1) = 200 ( ос./с). Ответ: 200 ос./с.)

3. Найти скорость реакции в момент времени t = 10сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону

V. Задание на дом:

Подобрать из открытого банка заданий ЕГЭ и решить 5 задач на применение геометрического смысла производной.

VI. Рефлексия

Выберете фразу:

- Все смог понять.

- Не совсем все понял, хочу понять.

- Ничего не понял.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным процессам математических моделей, и решения важных задач.

На следующих уроках мы продолжим изучение этой темы, научимся исследовать функции с помощью производной и решать более сложные задачи, в том числе практического содержания.

Спасибо за работу!

IV. ДОМАШНЯЯ РАБОТА .ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ.

Домашняя работа

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону

s(t)= t²+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t³- t² при t = 2с.

3. Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t². С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с ?

4. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением

I = 2t² – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

5. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t⁴ – 1. Найдите его угловую скорость w в момент времени t и t=2 с.

6.(2) При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10^-2cos 10 t. Вычислив производную Ф^,_t , написать формулу зависимости ЭДС от времени = (t).

7. (2) Заряд q на пластинах конденсатора изменяется по закону

q = 10 ^{- 6}cos 10 ⁴ t. Записать закон зависимости силы тока от времени i= i(t), вычислив производную q^,_t.