Разработка урока " Среднее арифметическое " ( Статистика)

Среднее арифметическое нескольких чисел

Цели и задачи урока: понятие среднего арифметического; тренировать алгоритм нахождения среднего арифметического нескольких чисел; выяснить для чего необходимо уметь находить среднее арифметическое.

Предметные результаты:  научить в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «среднее арифметическое», «правило нахождения среднего арифметического».

Метапредметные и личностные результаты:  развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Хо урока

1.Изложение нового материала.

В жизни нам часто приходится работать с наборами данных. И для их анализа необходимы характеристики, позволяющие оценить весь набор.

Использовать точные числа не всегда удобно, поэтому мы часто обобщаем: среднее время в пути, средняя зарплата или успеваемость. В масштабах страны среднее значение используют тогда, когда говорят, например, о том, что пшеницы собрано пятнадцать тонн с гектара или о среднем размере пенсии. Очень часто, когда мы слышим, что автомобиль ехал со средней скоростью 90 километров в час, речь идёт именно о среднем арифметическом скоростей. Для таких задач ввели специальную величину – среднее арифметическое.

Чтобы не запутаться, давайте разбираться, как правильно высчитывать среднее значение.

 Пример. За тему по математике ученик получил такие оценки: 4, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4. Отметки второго ученика : 3,4,5,3,3,4,4,3,4,4. Как оценить успеваемость ученика? Кто из них учиться успешнее?

Для того чтобы оценивать среднее значение набора величин, используется понятие среднего арифметического. По определению среднее арифметическое набора чисел – это сумма всех чисел, делённая на их количество:  .

В примере:  . А для второго ученика:  . Как видим, среднее арифметическое даёт возможность более объективно сравнить успеваемость учеников.

Однако следует помнить, что «усреднение» (вычисление среднего арифметического) – не всегда правильно. Известная фраза об опасности таких действий: про «среднюю температуру по больнице» - из старого анекдота. Действительно, если у одного человека температура 38,2, а у другого 35, то они оба нездоровы, хотя в среднем их температура равна 36,6. Этот пример показывает, что очень часто «усреднение» без учёта конкретных параметров является ошибочным и не несёт в себе никакого смысла.

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:

Среднее арифметическое =

Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.

Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

m = = = 3

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

V_ср=

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения.

2.Закрепление изученного материала.

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

Пример5. Чему равно среднее значение выборки 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12?

Решение. Среднее значение выборки – это отношение суммы всех элементов к их количеству.

Пример 6. Участник конкурса получил от жюри конкурса следующие оценки по 12-балльной шкале: 7, 8, 7, 9, 6. Какую оценку он должен получить от шестого члена жюри, чтобы средний балл равнялся 8?

Решение. Среднее значение выборки – это отношение суммы всех элементов к их количеству ; ;

 Пример 7. Найти среднее арифметическое следующего ряда: - 4, -3, - 2, -1, 0, 6, 0, 7, 10, 12.  

Решение. Среднее арифметическое:  .

 Пример 8. Средний рост 20 учеников равен 180 см, а средний рост 15 из них – 175 см. Чему равен средний рост оставшихся 5?

Решение. Средний рост 20 учеников равен 180, значит, сумма их ростов равна 3600 см. А сумма ростов 15 из них равна 2625 см. Значит, сумма ростов оставшихся пяти учеников равна 975 см, то есть их средний рост равен 195 см.

 Пример 9. На предприятии вели ежедневный учёт поступивших в течение месяца писем. В результате получили: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Для полученного ряда данных найти среднее арифметическое. Каков его смысл?

Решение. Для простоты подсчётов упорядочим ряд: 0, 0, 0, 0, 21, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 42, 43, 44, 49, 50, 52, 54, 56, 58, 64.

Среднее арифметическое:  .

 Пример 10. Администрация школы решила проверить математическую подготовку 11-классников в преддверие ЕГЭ по математике. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел: 6, 5, 4, 0, 4, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8.

Для того чтобы удобно было анализировать полученные данные, упорядочим этот ряд:

0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9.

Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа верно число выполненных заданий, записанное в верхней строке, укажем в нижней строке количество появлений этого числа в ряду, т. е. частоту.

Такую таблицу называют таблицей частот.

В рассмотренном примере сумма частот равна общему числу проверяемых работ, т. е. 40. Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду. При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, т.е. на 40. Получаем  . Значит, в среднем учащиеся выполнили по 5,8 заданий, т. е. примерно две трети общего объема работы.

Пример 11. Для анализа результатов ЕГЭ в городе составили такую таблицу распределения баллов:

 Пользуясь составленной таблицей, найдем средний балл ЕГЭ. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой. Получим:

Для полученного ряда данных найдем среднее арифметическое:  . Значит, средний результат сдачи ЕГЭ по математике – 53 балла.

 Пример 12. Определяя степень засорённости цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из 100 произвольных образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили:

Найти среднее арифметическое

Решение. Среднее арифметическое:  .

Пример 13. На графике, изображенном на рисунке, показаны объемы продаж пирожков в школьном буфете на протяжении одной недели. Сколько в среднем продавали пирожков за один день?

Решение. В понедельник – 105 пирожков, во вторник – 115, в среду – 110, в четверг – 110, в пятницу – 120, тогда в среднем:  .

Пример 14. В ряду 12 …, …, 7, 15, 20 пропущено два числа, одно из которых в два раза больше другого. Найдите эти числа, если известно, что среднее арифметическое равно 13.

Решение. Обозначим эти числа   и   (порядок не важен – возможны два варианта). Используя определение среднего арифметического:  .

Получаем два варианта: 12, 8, 16, 7, 15, 20 или 12, 16, 8, 7, 15, 20.

Пример 14.За первый час лыжник прошёл 10,8 км, за второй 9,4 км и за третий 9,2 км.
Сколько километров в среднем проходил лыжник?

Решение . 10,8 +9,4 +9,2 =29,4 29,4 : 3 =9,8

Ответ: лыжник в среднем проходил 9,8 км

Пример 15. За контрольную работу по математике  8 учеников получили оценку 5,  5 учеников оценку 4, 10 учеников оценку 3 и  2 ученика оценку  2. Каков средний балл класса за контрольную работу?

Ответ: средний балл класса за контрольную работу равен  3,76.

Итоги урока

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать    Определение среднего арифметического

Для самостоятельного решения.

Задача 1. Даны оценки (от 0 до 10 баллов) 40 учеников на олимпиаде.

Выполнить предварительную обработку данных – выявить варианты измерения, составить ряд данных, составить таблицу и график распределения данных. Найти числовые характеристики исходных данных.

Решение. Ряд данных: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Объем данных: 40.

Соберем все варианты и их кратности в таблицу распределения данных, где вариантами выступают баллы учеников. 

Вычисляем числовые характеристики.

Средняя оценка на экзамене:  .

Задача 2. Давайте попробуем найти среднюю температуру за 3 жарких летних дня. По показаниям синоптиков, температура в первый день поднималась до 25 градусов выше нуля, во второй – до 23, а в третий – до 27 градусов выше нуля.

Решение .Чтобы найти среднюю температуру, нам надо найти среднее арифметическое трёх чисел. Сложим их и разделим на 3. Получим, что средняя температура за 3 дня составляла 25 градусов выше нуля.

Заключение. На этом уроке мы рассмотрели некоторые элементы математической статистики.

Ссыл­ки на уроки Ин­тер­не­ту­ро­ка по рас­смот­рен­ным темам:

1. Ста­ти­сти­че­ская об­ра­бот­ка дан­ных (Ал­геб­ра, 11 класс, раз­дел "Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки-ком­би­на­то­ри­ки и тео­рии ве­ро­ят­но­сти")

2. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское (Ма­те­ма­ти­ка, 4 класс)

3. Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки (Ал­геб­ра, 9 класс, раз­дел "Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки-ком­би­на­то­ри­ки и тео­рии ве­ро­ят­но­сти")

https://resh.edu.ru/subject/lesson/715/training/#116228

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.