Разработка урока по алгебре и началам математического анализа в 11 классе "Повторение. Преобразование тригонометрических выражений""

Тема урока. Повторение. Преобразование тригонометрических выражений.

Цель урока. Организовать деятельность учащихся по повторению основных формул тригонометрии и по применению знаний в преобразовании тригонометрических выражений. Помочь учащимся осознать практическую значимость учебного материала. Развивать логическое мышление учащихся, их память, речь. Воспитывать чувство взаимопомощи, сотрудничества, серьезное отношение к своим учебным обязанностям.

Тип урока: Обобщающее повторение.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока.

1. Мотивация.

Обилие тригонометрических формул – одна из основных причин затруднений при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Этих формул более полусотни, и каждая может понадобиться. При этом, если их заучивать бессистемно, то можно просто не увидеть, когда и какую формулу надо применять.

Нужно твердо помнить только несколько основных формул, а остальные легко можно восстановить в памяти или вывести из основных. В КИМах очень мало справочного материала. Сейчас мы посмотрим, какие формулы нужно все-таки выучить наизусть тем, кто по каким-то причинам этого не сделал, а какие можно быстро вывести самим, используя справочный материал и свои знания.

1. Актуализация комплекса знаний и умений.

Формулы, которые можно запомнить: (слайд №2)

• Основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x =1.

• Определение тангенса и котангенса

• Формулы сложения

• Формулы суммы синусов и косинусов.

Помимо этого вам нужно знать правило получения формул приведения, и. конечно, определение синуса и косинуса.

1. Из формул сложения можно получить формулы двойного угла. Как это сделать? (В формулу суммы подставить β вместо α). (Ученик работает со слайдом. Слайды №3,4)

2. Рассмотрим следующее задание: Найти cosx, если tgx=2, x-угол 1 четверти. Нужно вспомнить формулу, которая связывает косинус и тангенс одного угла. Если вы не помните формулу, ее можно вывести самостоятельно. Ученик работает со слайдом №5. Учащиеся записывают решение в тетрадь.

3. В таких заданиях бывает тяжело вспомнить, какой знак имеет соответствующая функция. Для определения знака нужно точно помнить определение синуса и косинуса.

   • Сформулируйте определение синуса и косинуса. (Слайд №6)

   • Устно выполнить несложное упражнение: на координатной плоскости определить знаки координат произвольной точки, лежащей в 1 четверти, во 2 четверти, в 3 и 4 четверти и назвать соответствующие знаки синуса и косинуса. (Слайд №7)

1. Найти sinx+cosy. Формулы суммы синусов и косинусов позволяют складывать только одноименные функции. В справочниках такие формулы есть, но на экзаменах ими пользоваться не разрешают. Для выполнения такого задания можно воспользоваться формулами приведения, заменить, например, cosx= sin.(Слайд №8)

III. Организация деятельности учащихся по применению знаний.

1) Рассмотрим задание из демонстрационного варианта.

Найдите значение выражения:

Какие формулы нужно знать, чтобы выполнить это задание? ( основное тригонометрическое тождество. Решить самостоятельно, назвать ответ.

2)Рассмотрим еще несколько заданий: (Слайд№ 9)

а) Упростите выражение sin²x cos²x + sin⁴x

1) 1 2) sin²x 3)tg²x 4)ctg²x

б) Упростите выражение sin2x – (sinx + cosx)²

1) 1 2) – 1 3) sin2x – 1 4) sinx – cosx

в) Найдите cosx, если tgx = и x – угол 1 четверти

1) 2) 3) - 4) -

Задания ученики выполняют самостоятельно. Помощь слабым ученикам.

Дополнительное задание для сильных учащихся:

найдите значение выражения sin15⁰(cos10⁰cos5⁰ – sin10⁰sin5⁰)

1) 1 2) 2 3)0,25 4)0,5

Самопроверка по ответам, записанным на слайде.

3) Найдите значение выражения 3tg60⁰ (sin310⁰ cos70⁰ – sin70⁰ cos310⁰)

Ответ: - 1,5.

Решение оформить на доске.

3) Рассмотрим следующее задание.

Вычислите =

Решение. Сначала проанализируем условие. Мы имеем тригонометрические функции углов 70⁰, 77⁰, 115⁰, 155⁰и 13^0. Можно заметить, например, что 77⁰=90⁰-13⁰, 115⁰=90⁰+25⁰, 155⁰=180⁰-25⁰, значение cos30⁰ – табличное.

Применим формулы приведения, чтобы работать дальше с углами, лежащими в 1 четверти.

Так как sin²13⁰+cos²13⁰ =1, то вся правая дробь равна 1.

Числитель левой дроби можно преобразовать с помощью формул понижения степени.(Напомнить, что формулы понижения степени легко можно вывести из формул двойного угла). Знаменатель легко упрощается, если записать тангенс как частное синуса и косинуса.

Ответ: 1

Дифференцированная самостоятельная работа.

1. Упростите выражение

ctg²x sin²x – cos2x

1) –sin²x 2) sin²x 3) cos²x 4) 0

2. Найдите значение выражения

3.Докажите тождество sin3x = 3sinx – 4sin³x.

IV.Задание на дом. Повторить главу 2.

Обязательный уровень: №52(а,б), стр. 283, №53 (а, в), стр. 284

Повышенный уровень: №58(а, в), стр. 285.

V. Итог урока

Оценить работу учащихся на уроке.

VI. Рефлексия

Преобразование тригонометрических выражений

МОУ горская СОШ

Учитель математики Токорева Г.П.

Ученики 11 класса: Л.

Формулы, которые нужно запомнить:

• Основное тригонометрическое тождество
• Определение тангенса и котангенса
• Формулы сложения
• Формулы суммы синусов и косинусов.

Формулы двойного угла

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

y

M(x ; y)

2

N

1

0

x

4

3

D

P

Самостоятельная работа

• 1. Упростите выражение
• 2. Найдите значение выражения
• 3. Докажите тождество

Формулы понижения степени