Разработка урока №2 " Некоторые следствия из аксиом" по геометрии 10 класс

Урок 2

Устные упражнения

1) Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.

2) №1 (в,г); 2(б,д). Назовите по рисунку:

Д

В 1

Q

С 1

P

А 1

Д 1

К

К

М

Р

R

В

С

А

С

М

Е

Д

А

В

в) точки, лежащие в плоскостях АДВ и ДВС; г) прямые по которым пересекаются плоскости АВС и ДСВ, АВД и СДА, РДС и АВС.

б) плоскости, в которых лежит прямая АА 1 ; д) точки пересечения прямых МК и ДС, В 1 С 1 и ВР, С 1 М и ДС.

Некоторые следствия из аксиом:

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Дано:

а, М ¢ а

α

(а, М) с α

Доказать:

О

α - единственная

Р

Доказательство :

М

а

1 . Р, О с а; { Р,О,М } ¢ а

По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .

По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α

2 . Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

а ∩ b

Н

а

Доказать:

1. ( а∩ b ) с α

2. α - единственная

М

α

b

Доказательство:

1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α .

(М , Н) α , (М,Н) b , значит по А2 все точки b принадлежат плоскости.

2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b , проходит и через Н, значит α – единственная.

Решить задачу № 6

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

1 случай.

Доказательство:

В

α

1. (А,В,С) α , значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость.

2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α .

С

3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α

А

2 случай.

С

Доказательство:

В

Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

А

α

Задача.

АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α .

М

Определить и обосновать:

• Лежат ли в плоскости α точки В и С?
• Лежит ли в плоскости МОВ точка Д?
• Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО.
• Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60 º . Предложите различные способы вычисления площади ромба.

В

С

О

Д

А

∆ АВД = ∆ВСД (по трем сторонам), значит S АВД = S ВСД .

4

В

С

4

4

60 º

Д

А

4

Формулы для вычисления площади ромба:

S АВСД = (ВД · АС):2

S АВСД = АВ · АД · sinA

Домашнее задание:

1. Прочитать пункты 2; 3 на стр. 4 – 7

2. Выучить теоремы 1, 2 ( с доказательством); повторить аксиомы А1 – А3

3. Решить задачу №8 ( с объяснением ответов)