Разложение чисел на множители

Разложение составного числа на простые множители

• Повторение:
• простые и составные числа
• признаки делимости натуральных чисел
• степень числа
• Разложение натурального числа на простые множители
• Практикум

Натуральные числа имеют:

• только 1 делитель – это число 1

• только 2 делителя – это простые числа

• более 2-х делителей – это составные числа

Натуральные числа

Простые числа

Составные числа

Число 1

2 делителя

1 и само число

Более

2-х делителей

1, само число и

другие числа

1 делитель

само число 1

Д( n ) = { 1 ; n}

Д(1) = { 1 }

Вывод: раскладываем на простые множители

составные числа

Д( n ) = { 1 ; a, b, …n}

Все признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

I группа - делимость чисел определяется по последней(им) цифрой(ми) - это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50

II группа – делимость чисел определяется по сумме цифр числа - это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 11 , на 37

III группа – делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа - это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19

IV группа – для определения делимости числа используются другие признаки делимости - это признаки делимости на 6, на 1 2 , на 1 4 , на 1 5 …

• Признаки делимости на простые числа:

на 2: Если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, 6, 8 – т.е. все четные числа

на 3 (9): Если сумма цифр числа делится на 3 (9)

на 5: Если число оканчивается на 0 или 5

• Признаки делимости на простые числа:

• Признаки делимости на простые числа:

• Признаки делимости на простые числа:

Признак Паскаля:

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

2814 ∶ 7, т.к. 2·6 + 8·2 + 1·3 + 4 = 35, 35 ∶ 7 = 5

где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 1000 : 7 = 142 (ост.6)

2 - остаток от деления 100 на 7, 100 : 7 = 14 (ост.2)

3 - остаток от деления 10 на 7, 10 : 7 = 1 (ост.3)

Запишите в виде степени произведение:

2³

2 ∙ 2 ∙ 2 =

5⁴

5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 =

7⁵

7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 =

a⁵

а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а =

b⁴

b ∙ b ∙ b ∙ b =

210

.

10

21

.

.

2

5

3

7

Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:

а) на 2 множителя:

60 = 2 ∙ 30 = 3 ∙ 20 = 4 ∙ 15 = 5 ∙ 12 = 6 ∙ 10

б) на 3 множителя:

60 = 2 ∙ 5 ∙ 6 = 2 ∙ 3 ∙ 10 = 2 ∙ 2 ∙ 15 = 3 ∙ 4 ∙ 5

в) на 4 множителя:

60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 или 756 = 2 2 · 3 3 · 7 " width="640"

• При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости

После разложения числа в «столбик» следует записать его разложение в «строчку» или в виде произведения степеней простых множителей

756

2

378

2

Разложение числа на

простые множители «столбиком»

189

3

3

63

21

3

7

7

1

= 756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7

или 756 = 2 2 · 3 3 · 7

Проверка:

30 2

15 3

5 5

1

30 = 2 · 3 · 5

160 2

80 2

40 2

20 2

10 2

5 5

1

160 = 2 5 · 5

1. Разложите на простые множители числа: 30; 160; 250

250 5

50 5

10 2

5 5

1

250 = 2 · 5 3

Желательно располагать простые множители по возрастанию…

3. Разложите на простые множители числа: 216, 162, 144 а!

2. Разложите на

простые множители

число: 5 10

Проверка:

510 2

255 3

85 5

17 17

1

510 = 2 · 3 · 5 · 17

Проверка:

216 2 162 2 144 2

108 2 81 3 72 2

54 3 27 3 36 2

18 3 9 3 18 2

6 3 3 3 9 3

2 2 1 3 3

1 1

216 = 2 3 · 3 3

162 = 2 · 3 4

144 = 2 4 · 3 2

Внимание!

Число делится лишь на те простые числа, которые входят в его разложение на простые множители.

Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

4. Выясните, делится ли число а на число b без остатка, если:

1 ) а = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 и b = 2 · 3 · 7

2 ) а = 3 · 3 · 5 · 5 · 11 и b = 3 · 3 · 5

3 ) а = 3 · 3 · 5 · 7 · 13 и b = 3 · 5 · 5 · 13р ка !

Проверка:

1) да , все простые множители числа b содержатся в разложении числа а

2) да , все простые множители чи сла b содержатся в разложении числа а

3) нет, второй множитель 5 числа b не содержится в разложении числа a

Д

Э

Ь

Т

А

О

П

М

Р

Т

Е

И

С

Н

Л

Х

a = 7 (см) , b = 5 (см) S 2 = а c = 21 , = a = 7 (см) , с = 3 (см) V = abc = 3 · 5 · 7 = 105 ( c м 3 ) 11 " width="640"

• Работа с учебником: с.99, Ур.В № 268 (1)

Проверка: Д(105) = { 3 ; 5 , 7 , 15, 21, 35 }

• Работа с учебником: с.100, Ур.С № 274

b

а

c

Учебник: Т.А.Алдамуратова, и др. Математика-5 в 2-х частях. Алматы «Атамура» 2017

Проверка:

• S 1 = ab = 35, = a = 7 (см) , b = 5 (см)
• S 2 = а c = 21 , = a = 7 (см) , с = 3 (см)
• V = abc = 3 · 5 · 7 = 105 ( c м 3 )

11