Урок геометрии в 10 классе: «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»
План урока
1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.
2 .Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4 . Применение знаний в стандартной ситуации.
5 . Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.
В домашней работе вы решали следующие задачи:
Задача 1:
Дано: А = 30 0 , АВС = 60 0,
DВ ( АВС)
Доказать, что СD АС
D
В
А
С
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ (АВС), МС СD.
Определите вид параллелограмма АВСD.
M
C
B
D
A
Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах?
- Перпендикулярность прямых.
- Перпендикулярность прямой и плоскости.
А вот задачу следующего типа так просто не решить. Нужно познакомиться с новым понятием…
ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА …
ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ…
Как их увидеть среди окружающей нас обстановки?
Нам поможет новая тема: «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах».
Задача№145
- Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС).
- Доказать: CBD – прямоугольный.
D
A B
C
Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.
Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи, проверим решение домашних задач и ответим на важные вопросы.
Задача 1:
Дано: А = 30 0 , АВС = 60 0
DВ ( АВС)
Доказать, что СD АС.
D
В
А
С
Задача 1:
Решение.
1 . С = 90 0 AC СB,
2 . DВ ( АВС) DВ AC, AC (ABC);
3 . AC СB, DВ AC, DВСB=C, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC (DBC).
4. СD(DBC) СD АС.
D
В
С
А
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ (АВС), МС СD.
Определите вид параллелограмма АВСD.
M
C
B
D
A
Задача 2:
Решение.
1. ВМ (АВС),ВМ ВС ;
2. МС СD, BC(MBC)
CD BC, C= C=
3.
АВСD- прямоугольник.
M
C
B
D
A
1 . Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?
Перпендикулярные.
2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»
Да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
А
- Как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.
а
Н
М
5. Как называются отрезки АМ, АН?
АМ – наклонная к прямой а;
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.
Изучение нового материала.
Рассмотрим плоскость α и точку А, не принадлежащую ей.
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α,
Н – основание перпендикуляра.
А
α
Н
АМ – наклонная, проведенная
из точки А к плоскости α,
М – основание наклонной.
М
НМ – проекция наклонной на плоскость α.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН:
АН – катет; АМ – гипотенуза,
Поэтому АН
Вывод: Перпендикуляр,
проведенный из данной
точки к плоскости, меньше
любой наклонной, проведенной
из этой же точки
к этой плоскости.
Его длина будет называться расстоянием
от точки А до плоскости α.
А
α
Н
М
Расстояние от лампочки до земли…
6 м
М
а
Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.
β
N
α
(Доказательство приведено в задаче
№ 144.
Изучить самостоятельно дома)
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
АА1 = ММ1. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости. " width="640"
Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
М
А
α
АА1 и ММ1 – перпендикуляры из произвольных точек плоскости α к плоскости β
М 1
А 1
β
АА1 || ММ1 = АА1 = ММ1.
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости.
М
а
Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
β
в
N
α
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми, MN.
Подведем итог:
Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М до плоскости α ?
М
Назовите все наклонные к плоскости α.
Назовите проекции этих наклонных на плоскость α.
α
К
Н
С
В
А
α || β.
Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями.
α
β
Закончите предложение.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется …
α
β
Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.
Теорема о трех перпендикулярах:
A
а МH АH
H
М
α
а
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
α
AM- наклонная, HM-проекция
Дано:AH
A
а МH. Доказать: а МА.
Доказательство.
1 . Так как АН α , то АН а .
2. а МН , МН пересекается с АН и они лежат в одной плоскости (АНМ).
3. Значит, а (АНМ) и а АМ,
АМ принадлежит
(АНМ) (по признаку
перпендикулярности
прямой и
плоскости).
О каких трех перпендикулярах идет речь в теореме?
а НМ АМ
H
М
α
а
Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:
A
а AH МH
H
М
а
α
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к проекции наклонной на плоскость. (Доказательство разобрать самостоятельно дома: задача 153, стр.45).
Применение знаний в стандартной ситуации A
Решение задач.
Задача №139 (устно).
Из некоторой точки
проведены две наклонные.
Докажите, что:
а) если наклонные равны,
то равны и их проекции;
б) если проекции наклонных Bb
равны, то равны наклонные;
в) если наклонные не равны,
то большая наклонная имеет
большую проекцию.
B
H
C
B1
AC. Доказать: а)ВН=НС; б)АВ=АС; в)В1НCH. Доказательство: Рассмотрим треугольники АВН и АСН, АН-… а) АВ=АС… треугольники…, Значит, ВН= … ; б) эти треугольники равны, но уже по двум… АВ=АС ; в) АВ1AC.По теореме Пифагора В1Н= HC=; В1НCH . А B H C B1 " width="640"
Дано: AH
а) АВ=АС; б)ВН=НС; в) АВ1AC.
Доказать: а)ВН=НС; б)АВ=АС;
в)В1НCH.
Доказательство:
АВН и АСН, АН-…
а) АВ=АС… треугольники…,
Значит, ВН= … ;
б) эти треугольники равны,
но уже по двум… АВ=АС ;
в) АВ1AC.По теореме
Пифагора В1Н=
HC=; В1НCH .
А
B
H
C
B1
Задача№145
Дано: , = 90º,
AD ┴ (АВС).
Доказать : а) CBD –
прямоугольный;
б) найти BD,
если BC=a, DC=b.
D
B
A
C
Задача№145
Решение.
а) АС-проекция CD, BCAC BCCD (ТТП)CBD – прямоугольный
б) = 90º,
BD = =
А =
В
С Ответ:
Решение задачи из ЕГЭ (типа С2).
- Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со стороной, равной 2. Углы BAD, BAA1, DAA1равны 60̊ каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1.
D1 C1
A1 B1
O
D C
A B
Решение задачи:
- Докажем, что DO - искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1 -параллелепипед (все грани-параллелограммы).
- Рассмотрим треугольники BAD, AA1D, AA1B. Они равносторонние. Значит,
BD=DA1=BA1=2 .
- BA1D1C1 -параллелограмм (ВС|| A1D1, BC=A1D1). BD1 и A1C -диагонали, точкой О делятся пополам.
- DO -медиана и высота в равнобедренных треугольниках CDA1 и BDD1. Значит DO A1C, BD1.
5. Длину DO находим из прямоугольного треугольника DOB , зная гипотенузу DB и катет BO. Находим ВО как радиус описанной окружности около квадрата BA1D1C : 2/√2 =√2 .
BA1D1C –квадрат, так как равны как проекции наклонных отрезки DB,DD1,
DA1,DC .
6. В треугольнике DOB DO = √2 .
Ответ: √2 .
(Работа с тестом)
- Отвечая на вопросы тестовых заданий ( два варианта ), установить истинность или ложность высказывания, поставив в таблице соответственно знаки «+» или
«-» .
- После чего проверим ответы по ключу.
- Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны)?
- Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, быть скрещивающейся с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
- Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?
22
4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?
5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)?
Критерии оценок 5 правильных ответов – «5» 4 правильных ответа – « 4 » 3 правильных ответа – «3»
I вариант
1
-
II вариант
2
3
+
+
-
4
-
-
5
-
+
-
-
Подведение итогов
Дано: AD ┴ (АВС)
Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ?
Ответ обоснуйте.
D
A
B
C
Домашнее задание
- № 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать).
2. Ответить на вопросы пп 19, 20. Найти в Интернете другие способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах.
3. Дополнительная задача: (С2 из ЕГЭ 2014).
В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и CB1D1.
Источники:
Литература:
- Учебник Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян; В.Ф.Бутузов, Просвещение, Москва.2009;
- Поурочные разработки по геометрии 10-11,В.А.Яровенко, Москва, Вако,2010.
- Рабочие программы по учебнику Л.С.Атанасяна. Геометрия 10-11 классы.(Базовый уровень. Дифференцированный подход), Н.А. Ким,Волгоград,Учитель,2012.
- Интернет ресурсы : сайт http://uztest.ru http:// www.gdz.name /
- Как сделать презентацию к уроку? , С.Л.Островский, Д.Ю. Усенков, Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», Первое сентября,2012.