СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

«Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

Категория: Геометрия

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок геометрии в 10 классе:   «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

Просмотр содержимого документа
««Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»»

 Урок  геометрии в 10 классе:   «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

Урок геометрии в 10 классе:  «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

 План урока 1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока. 2 .Актуализация знаний. Проверка домашнего задания. 3. Изучение нового материала. 4 . Применение знаний в стандартной ситуации. 5 . Подведение итогов. 6. Домашнее задание.

План урока

1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.

2 .Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

4 . Применение знаний в стандартной ситуации.

5 . Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

  Организационный момент. Постановка цели и задачи урока. В домашней работе вы решали следующие задачи: Задача 1:  Дано:  А = 30 0 ,  АВС = 60 0,  DВ  ( АВС) Доказать, что СD  АС D В А С 

Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.

В домашней работе вы решали следующие задачи:

Задача 1:

Дано:  А = 30 0 ,  АВС = 60 0,

DВ  ( АВС)

Доказать, что СD  АС

D

В

А

С

Задача 2:  ABCD - параллелограмм, ВМ  (АВС), МС  СD.  Определите вид параллелограмма АВСD.  M C B D A

Задача 2:

ABCD - параллелограмм, ВМ (АВС), МС СD.

Определите вид параллелограмма АВСD.

M

C

B

D

A

  Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах?   Перпендикулярность прямых.  Перпендикулярность прямой и плоскости.

Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах?

  • Перпендикулярность прямых.

  • Перпендикулярность прямой и плоскости.
А вот задачу следующего типа так просто не решить.  Нужно познакомиться с новым понятием…  ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА …  ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ…  Как их увидеть среди окружающей нас обстановки?  Нам поможет новая тема: «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах».

А вот задачу следующего типа так просто не решить. Нужно познакомиться с новым понятием…

ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА

ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ…

Как их увидеть среди окружающей нас обстановки?

Нам поможет новая тема: «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах».

Задача№145 Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС). Доказать: CBD – прямоугольный.    D  A B  C

Задача№145

  • Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС).
  • Доказать: CBD – прямоугольный.
  •  

D

A B

C

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.    Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи, проверим решение домашних задач и ответим на важные вопросы.

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.

Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи, проверим решение домашних задач и ответим на важные вопросы.

Задача 1:  Дано:  А = 30 0 ,  АВС = 60 0  DВ  ( АВС) Доказать, что СD  АС. D В А С 

Задача 1:

Дано:  А = 30 0 ,  АВС = 60 0

DВ  ( АВС)

Доказать, что СD  АС.

D

В

А

С

  Задача 1: Решение. 1 .  С = 90 0 AC  СB, 2 . DВ  ( АВС) DВ  AC, AC (ABC); 3 . AC  СB, DВ  AC, DВСB=C, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC  (DBC). 4. СD(DBC) СD  АС.  D  В С А

 

Задача 1:

Решение.

1 .  С = 90 0 AC  СB,

2 . DВ  ( АВС) DВ  AC, AC (ABC);

3 . AC  СB, DВ  AC, DВСB=C, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC  (DBC).

4. СD(DBC) СD  АС.

D

В

С

А

Задача 2:  ABCD - параллелограмм, ВМ  (АВС), МС  СD.  Определите вид параллелограмма АВСD.  M C B D A

Задача 2:

ABCD - параллелограмм, ВМ (АВС), МС СD.

Определите вид параллелограмма АВСD.

M

C

B

D

A

Задача 2:   Решение. 1. ВМ  (АВС),ВМ  ВС ; 2. МС  СD, BC(MBC) CD  BC,  C=  C= 3.  АВСD- прямоугольник.  M C B D A

Задача 2:

 

Решение.

1. ВМ (АВС),ВМ ВС ;

2. МС СD, BC(MBC)

CD BC, C= C=

3.

АВСD- прямоугольник.

M

C

B

D

A

  1 .  Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?  Перпендикулярные. 2.  Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»  Да. 3.  Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.  Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

1 . Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?

Перпендикулярные.

2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»

Да.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? А  Как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой. а Н   М  5. Как называются отрезки АМ, АН? АМ – наклонная к прямой а; АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

А

  • Как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

а

Н

М

5. Как называются отрезки АМ, АН?

АМ – наклонная к прямой а;

АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

Изучение нового материала. Рассмотрим плоскость α и точку А, не принадлежащую ей. АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α, Н – основание перпендикуляра. А α Н  АМ – наклонная, проведенная  из точки А к плоскости α, М – основание наклонной. М НМ – проекция наклонной на плоскость α.

Изучение нового материала.

Рассмотрим плоскость α и точку А, не принадлежащую ей.

АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α,

Н – основание перпендикуляра.

А

α

Н

АМ – наклонная, проведенная

из точки А к плоскости α,

М – основание наклонной.

М

НМ – проекция наклонной на плоскость α.

 Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН:  АН – катет; АМ – гипотенуза,  Поэтому АН    Вывод: Перпендикуляр,  проведенный из данной  точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной  из этой же точки к этой плоскости.  Его длина будет называться расстоянием от точки А до плоскости α. А α Н  М

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН:

АН – катет; АМ – гипотенуза,

Поэтому АН

Вывод: Перпендикуляр,

проведенный из данной

точки к плоскости, меньше

любой наклонной, проведенной

из этой же точки

к этой плоскости.

Его длина будет называться расстоянием

от точки А до плоскости α.

А

α

Н

М

 Расстояние от лампочки  до земли… 6 м

Расстояние от лампочки до земли…

6 м

 М а Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. β  N α  (Доказательство приведено в задаче № 144. Изучить самостоятельно дома) Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

М

а

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

β

N

α

(Доказательство приведено в задаче

144.

Изучить самостоятельно дома)

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

АА1 = ММ1. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости. " width="640"

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

М

А

α

АА1 и ММ1 – перпендикуляры из произвольных точек плоскости α к плоскости β

М 1

А 1

β

АА1 || ММ1 = АА1 = ММ1.

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости.

 М а Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. β в  N α Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми, MN.

М

а

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

β

в

N

α

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми, MN.

Подведем итог: Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М  до плоскости α ? М Назовите все наклонные к плоскости  α. Назовите проекции этих наклонных на плоскость α. α  К Н С В А

Подведем итог:

Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М до плоскости α ?

М

Назовите все наклонные к плоскости α.

Назовите проекции этих наклонных на плоскость α.

α

К

Н

С

В

А

 α || β. Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями. α  β  Закончите предложение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется …

α || β.

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями.

α

β

Закончите предложение.

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется …

α  β  Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.

α

β

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.

Теорема о трех перпендикулярах: A а МH АH H М α а   Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах:

A

а МH АH

H

М

α

а

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

 α AM- наклонная, HM-проекция Дано:AH A  а  МH. Доказать: а  МА.  Доказательство.  1 . Так как АН  α , то АН  а .  2. а  МН , МН пересекается с АН и они лежат в одной плоскости (АНМ).  3. Значит, а  (АНМ) и а  АМ,  АМ принадлежит (АНМ) (по признаку перпендикулярности  прямой и плоскости).  О каких трех перпендикулярах идет речь в теореме?  а НМ АМ  H М α а

α

AM- наклонная, HM-проекция

Дано:AH

A

а МH. Доказать: а МА.

Доказательство.

1 . Так как АН α , то АН а .

2. а МН , МН пересекается с АН и они лежат в одной плоскости (АНМ).

3. Значит, а (АНМ) и а АМ,

АМ принадлежит

(АНМ) (по признаку

перпендикулярности

прямой и

плоскости).

О каких трех перпендикулярах идет речь в теореме?

а НМ АМ

H

М

α

а

Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах: A а AH МH H М а α   Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к проекции наклонной на плоскость. (Доказательство разобрать самостоятельно дома: задача 153, стр.45).

Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:

A

а AH МH

H

М

а

α

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к проекции наклонной на плоскость. (Доказательство разобрать самостоятельно дома: задача 153, стр.45).

Применение знаний в стандартной ситуации A Решение задач. Задача №139 (устно). Из некоторой точки проведены две наклонные.  Докажите, что: а) если наклонные равны,  то равны и их проекции; б) если проекции наклонных Bb  равны, то равны наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.  B H C B1

Применение знаний в стандартной ситуации A

Решение задач.

Задача №139 (устно).

Из некоторой точки

проведены две наклонные.

Докажите, что:

а) если наклонные равны,

то равны и их проекции;

б) если проекции наклонных Bb

равны, то равны наклонные;

в) если наклонные не равны,

то большая наклонная имеет

большую проекцию.

B

H

C

B1

AC. Доказать: а)ВН=НС; б)АВ=АС; в)В1НCH. Доказательство: Рассмотрим треугольники АВН и АСН, АН-… а) АВ=АС… треугольники…, Значит, ВН= … ; б) эти треугольники равны, но уже по двум… АВ=АС ; в) АВ1AC.По теореме Пифагора В1Н= HC=; В1НCH . А B H C B1 " width="640"

 

Дано: AH

а) АВ=АС; б)ВН=НС; в) АВ1AC.

Доказать: а)ВН=НС; б)АВ=АС;

в)В1НCH.

Доказательство:

  • Рассмотрим треугольники

АВН и АСН, АН-…

а) АВ=АС… треугольники…,

Значит, ВН= … ;

б) эти треугольники равны,

но уже по двум… АВ=АС ;

в) АВ1AC.По теореме

Пифагора В1Н=

HC=; В1НCH .

А

B

H

C

B1

Задача№145   Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС). Доказать : а) CBD – прямоугольный; б) найти BD,  если BC=a, DC=b. D B A C

Задача№145

  •  

Дано: , = 90º,

AD ┴ (АВС).

Доказать : а) CBD –

прямоугольный;

б) найти BD,

если BC=a, DC=b.

D

B

A

C

Задача№145 Решение.   а) АС-проекция CD, BCAC BCCD (ТТП)CBD – прямоугольный б) = 90º,  BD = = А =  В С Ответ:

Задача№145

Решение.

  •  

а) АС-проекция CD, BCAC BCCD (ТТП)CBD – прямоугольный

б) = 90º,

BD = =

А =

В

С Ответ:

Решение задачи из ЕГЭ (типа С2). Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со стороной, равной 2. Углы BAD, BAA1, DAA1равны 60̊ каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1.  D1 C1  A1 B1  O  D C  A B

Решение задачи из ЕГЭ (типа С2).

  • Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со стороной, равной 2. Углы BAD, BAA1, DAA1равны 60̊ каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1.

D1 C1

A1 B1

O

D C

A B

Решение задачи: Докажем, что DO - искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1 -параллелепипед (все грани-параллелограммы). Рассмотрим треугольники BAD, AA1D, AA1B. Они равносторонние. Значит,  BD=DA1=BA1=2 . BA1D1C1 -параллелограмм (ВС|| A1D1, BC=A1D1). BD1 и A1C -диагонали, точкой О делятся пополам.  DO -медиана и высота в равнобедренных треугольниках CDA1 и BDD1. Значит DO   A1C, BD1.

Решение задачи:

  • Докажем, что DO - искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1 -параллелепипед (все грани-параллелограммы).
  • Рассмотрим треугольники BAD, AA1D, AA1B. Они равносторонние. Значит,

BD=DA1=BA1=2 .

  • BA1D1C1 -параллелограмм (ВС|| A1D1, BC=A1D1). BD1 и A1C -диагонали, точкой О делятся пополам.
  • DO -медиана и высота в равнобедренных треугольниках CDA1 и BDD1. Значит DO A1C, BD1.
5. Длину DO находим из прямоугольного треугольника DOB , зная гипотенузу DB и катет BO. Находим ВО как радиус описанной окружности около квадрата BA1D1C : 2/√2 =√2 . BA1D1C –квадрат, так как равны как проекции наклонных отрезки DB,DD1, DA1,DC . 6. В треугольнике DOB  DO = √2 .  Ответ: √2 .

5. Длину DO находим из прямоугольного треугольника DOB , зная гипотенузу DB и катет BO. Находим ВО как радиус описанной окружности около квадрата BA1D1C : 2/√2 =√2 .

BA1D1C –квадрат, так как равны как проекции наклонных отрезки DB,DD1,

DA1,DC .

6. В треугольнике DOB DO = √2 .

Ответ: √2 .

(Работа с тестом) Отвечая на вопросы тестовых заданий ( два варианта ), установить истинность или ложность высказывания, поставив в таблице соответственно знаки «+» или  «-» .  После чего проверим ответы по ключу.

(Работа с тестом)

  • Отвечая на вопросы тестовых заданий ( два варианта ), установить истинность или ложность высказывания, поставив в таблице соответственно знаки «+» или

«-» .

  • После чего проверим ответы по ключу.
Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны)? Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, быть скрещивающейся с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)? Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)? 22
  • Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны)?
  • Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, быть скрещивающейся с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
  • Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?

22

4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)? 5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)?

4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)?

Критерии оценок  5 правильных ответов – «5»  4 правильных ответа – « 4 »  3 правильных ответа – «3»   I вариант 1 - II вариант 2 3 + + - 4 - - 5 - + - -

Критерии оценок 5 правильных ответов – «5» 4 правильных ответа – « 4 » 3 правильных ответа – «3»

I вариант

1

-

II вариант

2

3

+

+

-

4

-

-

5

-

+

-

-

 Подведение итогов Дано: AD ┴ (АВС)  Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ? Ответ обоснуйте.  D A B C

Подведение итогов

Дано: AD ┴ (АВС)

Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ?

Ответ обоснуйте.

D

A

B

C

Домашнее задание   № 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать).  2. Ответить на вопросы пп 19, 20. Найти в Интернете другие способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах.  3. Дополнительная задача: (С2 из ЕГЭ 2014).  В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и CB1D1.

Домашнее задание

  • 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать).

2. Ответить на вопросы пп 19, 20. Найти в Интернете другие способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах.

3. Дополнительная задача: (С2 из ЕГЭ 2014).

В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и CB1D1.

 Источники:  Литература:  Учебник Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян; В.Ф.Бутузов, Просвещение, Москва.2009; Поурочные разработки по геометрии 10-11,В.А.Яровенко, Москва, Вако,2010.  Рабочие программы по учебнику Л.С.Атанасяна. Геометрия 10-11 классы.(Базовый уровень. Дифференцированный подход), Н.А. Ким,Волгоград,Учитель,2012. Интернет ресурсы : сайт http://uztest.ru  http:// www.gdz.name / Как сделать презентацию к уроку? , С.Л.Островский, Д.Ю. Усенков, Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», Первое сентября,2012.

Источники:

Литература:

  • Учебник Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян; В.Ф.Бутузов, Просвещение, Москва.2009;
  • Поурочные разработки по геометрии 10-11,В.А.Яровенко, Москва, Вако,2010.
  • Рабочие программы по учебнику Л.С.Атанасяна. Геометрия 10-11 классы.(Базовый уровень. Дифференцированный подход), Н.А. Ким,Волгоград,Учитель,2012.
  • Интернет ресурсы : сайт http://uztest.ru http:// www.gdz.name /
  • Как сделать презентацию к уроку? , С.Л.Островский, Д.Ю. Усенков, Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», Первое сентября,2012.


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!