Рабочая тетрадь по теории вероятностей и математической статистике

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Руководство по проведению практических занятий

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов, обучающихся по специальности

230701 «Прикладная информатика (по отраслям)»

Мичуринск 2014

Печатается по решению учебно - методической комиссии

центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ

Автор

Долгова И.М., преподаватель математики высшей квалификационной категории центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ

Рецензенты:

цикловая методическая комиссия общеобразовательных дисциплин

центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ,

учебно-методическая комиссия центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ,

председатель учебно - методической комиссии, директор центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ Е.В. БАЖЕНОВ

Долгова И.М.

Рабочая тетрадь: руководство по проведению практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»: учеб. пособие / И.М. Долгова. – Министерство сельского хозяйства РФ, центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ. - Мичуринск: центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ, 2013. – 36с.

Рабочая тетрадь содержит методическое руководство по выполнению практических занятий по теории вероятностей и математической статистике. В ней имеются практические задания и задачи теоретического плана, которые в ходе практических занятий выполняются студентами. Рабочая тетрадь составлена в соответствии примерной программой учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», одобренной ФГУ «ФИРО» 10.04.2008 г. и утвержденной Департаментом государственной политики и нормативно-правового регулирования в сфере образования Минобрнауки России 16.04.2008 г.; учебным планом центр - колледжа прикладных квалификаций ФГБОУ ВПО МичГАУ для специальности 230701 «Прикладная информатика (по отраслям)».

Рабочая тетрадь по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначена для студентов второго курса специальности 230701 «Прикладная информатика (по отраслям)».

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

для практических работ по теории вероятностей

и математической статистике

студента ___________________________________________ группы

(фамилия, имя, отчество) (номер группы)

специальности 230701 «Прикладная информатика (по отраслям)»

на ________________ учебный год

Оглавление

Введение……………………………………………………………………...............4

Наименование практических работ ………………………………………………6

1. Решение задач на расчет количества выборок.……………………………….6

2. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей………………………………………………………………………..9

3. Вычисление вероятностей сложных событий.……………………………….12

4. Вычисление вероятностей в схеме Бернулли.…………………….................15

5. Решение задач на запись распределения ДСВ.………………………………..18

6. Вычисление характеристик ДСВ………………………………………………21

7. Решение задач по формуле геометрического определения вероятности….24

8. Построение для заданной выборки ее графической диаграммы.................27

9. Моделирование случайных величин.…………………………………………30

10. Приблизительное нахождение площадей плоской фигуры с помощью метода статистических испытаний….32

Литература………………………………………………………………………..36

Введение

Практические работы являются неотъемлемой частью курса любой дисциплины, изучаемой в учреждениях среднего профессионального образования. В ходе их выполнения у студентов формируются важнейшие практические умения и навыки, необходимые для успешного усвоения основных специальных дисциплин. Качественное выполнение практических работ является предпосылкой для подготовки в будущем квалифицированных специалистов.

Рабочая тетрадь подготовлена, опираясь на опыт лекционной и семинарской работы со студентами, а также, учитывая достоинства и недостатки существующих пособий. Цель данного пособия – оказать помощь студентам, получающим среднее профессиональное образования технического профиля, в подготовке и выполнении практических работ, включенных в новую примерную программу по теории вероятностей и математической статистике на базе основного общего образования.

Содержание практических работ пособия полностью соответствует этой программе.

Пособие включает 10 практических работ. Описание каждой работы содержит:

• четко сформулированную цель ее выполнения;

• теоретическое введение, в котором указано, какой учебный материал лежит в основе содержания работы;

• список необходимого оснащения рабочего места;

• вопросы для проверки готовности к выполнению работы;

• последовательность действий для достижения ее целей;

• дополнительное задание;

• контрольные вопросы.

С тетрадью каждый может работать в соответствии со своим характером и привычками. Но несколько общих советов все же можно дать.

Для общего представления о выполняемой работе лучше сначала прочитать все содержание практической работы бегло, чтобы иметь представление о конечном результате, а потом уже браться за ее выполнение основательно.

Усвоить материал – это совсем не означает заучить его. Надо стараться понять основную суть, что вполне по силам каждому из вас. Кое-что, конечно, надо знать наизусть, например, определения, законы, основные формулы, но воспроизводить формулировки в тетради дословно совсем необязательно. Формулы нужно записывать точно. Если забыть хотя бы один символ в формуле, то она полностью утрачивает смысл.

В каждой работе предложены дополнительные задания, которые обеспечат вариативность проведения практической работы, исходя из методических задач, решаемых преподавателем, уровня способностей студентов и их теоретической подготовки по данной дисциплине, а также технических возможностей кабинета математики. Заметим, самый точный критерий настоящего понимания – это умение решать практические задания. Одно лишь знание и даже понимание изучаемого материала – это еще не гарантия для успешного решения любой задачи. Здесь необходима тренировка, как и во всяком творческом деле. Поэтому следует последовательно выполнить всю работу, а потом переходить к решению дополнительного задания.

Наименование практических работ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

ТЕМА: Основы комбинаторики.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Решение задач на расчет количества выборок.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи на расчет количества выборок с помощью правил и формул комбинаторики.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи комбинаторики.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, листы «Основные понятия и формулы комбинаторики», пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.5-10.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Что такое комбинаторика?

2. Напишите основную формулу комбинаторики.

3. Что называется факториалом?

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Вычислить: 5!; 9_ - 7_.

1. Вычислить: _; _{ }

1. Вычислить: _

2. В турнире участвуют шесть команд. Сколько возможно вариантов распределения мест между ними?

3. Найти количество способов размещения 10 человек за круглым столом.

4. Найти число всевозможных комбинаций, составленных из букв А, В, С и D.

5. На третьем курсе изучается 9 предметов. В учебный день разрешается проводить занятия только по четырем разным предметам. Найти число способов, которыми можно составить расписание занятий на один день.

6. Хоккейная команда состоит из 3 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Найти число способов образования стартовой шестерки, состоящей из вратаря, двух защитников и трех нападающих.

7. В турнире участвуют 11 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых мест между командами?

8. Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими?

9. Из группы в 27 человек можно выбрать двух дежурных сколькими способами?

10. В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими способами можно формировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было 3 женщины?

11. Из 20 членов кооператива нужно выбрать в правление 5 человек. Сколькими способами можно это можно сделать?

12. Из 20 членов кооператива нужно выбрать председателя правления, его заместителя и бухгалтера. Сколькими способами можно это можно сделать?

13. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа без повторяющихся цифр. Сколько можно составить чисел, оканчивающихся комбинацией 41?

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Сколько можно провести прямых через шесть точек, если любые три точки не лежат на одной прямой?

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется сочетанием? Назовите свойства сочетания.

2. Что называется размещением?

3. Что называется перестановкой?

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

ТЕМА: Случайные события. Классическое определение вероятности.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи по классической формуле определения вероятностей.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи вероятности.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, листы «Основные теоремы и формулы теории вероятности», пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.11-23.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Что называют случайным событием?

2. Какое событие называют достоверным? невозможным?

3. Какие два события называются несовместными? совместными?

4. Какие события образуют полную группу событий?

5. Когда из n событий может появиться только одно из них?

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена: а) одна грань, б) две грани, в) три грани.

2. Группа из восьми человек занимает место за круглым столом. Какова вероятность, что два определенных человека окажутся сидящими рядом?

3. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке?

4. Среди 100 электронных ламп 5 ламп испорчены. Какова вероятность того, что выбранные 3 лампы окажутся исправными?

5. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер набран правильно.

6. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя одна из взятых деталей окрашена.

7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

8. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый случайным образом может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найдите вероятности того, что: а) все пассажиры выйдут на пятом этаже, б) все пассажиры выйдут на одном этаже, в) пассажиры выйдут на разных этажах.

9. Колоду из 52 карт случайным образом делят пополам. Найдите вероятность того, что в каждой половине будет по два туза.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Некто купил карточку «Спортлото 6 из 49» и отметил в ней шесть из имеющихся 49 номеров. Найдите вероятность того, что будет угадано шесть номеров.

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Для чего рассчитывают вероятность события?

2. Приведите классическое определение вероятности.

3. Перечислите основные свойства вероятности.

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

ТЕМА: Вероятности сложных событий.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Вычисление вероятностей сложных событий.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи на вычисление вероятностей сложных событий.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи вероятности.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, листы «Основные теоремы и формулы теории вероятности», пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.28 - 47.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Сформулируйте теорему сложения вероятностей и объясните ее геометрический смысл для двух событий.

2. Чему равна вероятность появления одного из двух несовместных событий?

3. Чему равна вероятность полной группы событий?

4. Чему равна вероятность суммы противоположных событий?

5. Сформулируйте теорему умножения вероятностей и объясните ее геометрический смысл для двух событий.

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. В цехе имеется четыре резервных мотора, работающих независимо друг от друга. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,1. Какова вероятность того, что в данный момент времени включен хотя бы один мотор?

2. Монету подбрасывают десять раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза?

3. Из колоды в 32 карты наугад выбирают четыре карты. Найдите вероятности того, что среди отобранных карт окажется: а) хотя бы один туз, б) хотя бы один туз и обязательно пиковой масти.

4. На стеллаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

5. Чему равна вероятность того, что дни рождения четырех наугад выбранных человек придутся в точности на два месяца?

6. Каждая буква слова «МАТЕМАТИКА» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекают три карточки. Какова вероятность того, что получится слово «КИТ»?

7. В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

8. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй – 20 шаров, из них – 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Задача Шевалье де Мере. Какова вероятность того, что при 24-кратном бросании двух игральных костей хотя бы один раз появятся две шестерки?

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется условной вероятностью события?

2. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

3. Чему равна вероятность появления только одного события?

4. Чему равна вероятность появления хотя бы одного из событий?

5. Какое соотношение называют формулой полной вероятности?

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

ТЕМА: Схема Бернулли.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Вычисление вероятностей в схеме Бернулли.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи на вычисление вероятностей в схеме Бернулли.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи вероятности.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, листы «Основные теоремы и формулы теории вероятности», пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.51 - 54.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Что называют гипотезами?

2. Что позволяет вычислить формула Бернулли?

3. В каких случаях применяется формула Бернулли?

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,2. Какова вероятность того, что из шести приобретенных билетов два билета окажутся выигрышными?

2. Прибор состоит из шести элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время t равна 0,6. Для безаварийной работы каждого прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время t прибор будет работать безотказно?

3. Используя условия предыдущей задачи, найдите число элементов, которые необходимо включить в прибор, чтобы с вероятностью не менее 0,9 прибор работал безотказно.

4. Найдите вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

5. Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найдите наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

6. При высаживании непикированной рассады помидоров только 80% растений приживается. Найдите вероятность того, что из десяти посаженных кустов помидоров приживется не менее девяти.

7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий.

8. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности или ложности десяти утверждений?

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Опишите схему Бернулли.

2. Запишите формулу Бернулли.

3. Какие условия необходимо установить, чтобы рассматриваемый эксперимент удовлетворял схеме Бернулли?

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

ТЕМА: Понятие ДСВ. Распределение ДСВ. Функции от ДСВ.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Решение задач на запись распределения ДСВ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи на запись распределения ДСВ.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи вероятности.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.56 - 61.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Какая случайная величина называется дискретной?

2. Сформулируйте закон распределения ДСВ.

3. Что называется многоугольником распределения?

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – отметки на экзамене для группы, в которой один отличник, 19 студентов имеют хорошие и отличные оценки, а 12 студентов имеют удовлетворительные оценки.

2. По заданному закону распределения случайной величины Х предыдущего примера вычислите функцию распределения F(x) = P (X_ x).

3. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид

F (x) = _

Найдите: а) вероятность попадания в интервал (0,25; 0,75); б) вероятность того, что Х_ 0,7.

1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид

F (x) = _

Найдите: а) вероятность того, что Х примет значение, меньшее 3; б) вероятность того, что Х примет значение, не меньшее 3; в) плотность распределения.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид

F (x) = _

Найдите: а) вероятность попадания в интервал (0,25; 0,75); б) параметр С.

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что определяет функция распределения F(x) = P (X_ x)?

2. Назовите свойства функции распределения.

3. Для чего применяется плотность распределения вероятностей (плотность распределения)?

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

ТЕМА: Характеристики ДСВ и их свойства.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Вычисление характеристик ДСВ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи на вычисление характеристик ДСВ.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи вероятности.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.63 - 71.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Что относится к важнейшим числовым характеристикам случайной величины?

2. Что называется математическим ожиданием ДСВ?

3. Назовите свойства математического ожидания.

4. Дайте определение дисперсии случайной величины Х.

5. Назовите свойства дисперсии.

6. Что называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х?

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	4	5	10
Р	0,2	0,3	0,5

1. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбирается 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.

2. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 5 попаданий в цель?

3. М(Х) = 4, D(Х) = 1,4. Найти М(3Х + 5), D(3Х + 5).

4. Набрасываются кольца на колышек или до первого попадания или до полного израсходования всех колец, число которых равно пяти. Покажите, что если вероятность набросить каждое кольцо на колышек равна 0,9, то математическое ожидание случайного числа брошенных колец равно 1,1111.

5. Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15, наудачу извлекаются 3 жетона. Составьте таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны пяти. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.

6. Испытывается устройство, состоящее из пяти независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов соответственно равны 0,05; 0,06; 0,08; 0,09 и 0,1. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа отказавших приборов.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10 000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется математическим ожиданием случайной непрерывной величины?

2. М(Х) = 7, найти М(2Х – 1).

3. D(X) = 1,2. Найти D(2Х – 1).

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

ТЕМА: Понятие НСВ. Равномерно распределенная НСВ. Геометрическое определение вероятностей.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Решение задач по формуле геометрического определения вероятности.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать задачи по формуле геометрического определения вероятности.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи вероятности.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.24 - 28.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Приведите геометрическое определение вероятности.

2. Когда используется геометрическое определение вероятности?

3. Перечислите основные типы задач на геометрическое определение вероятности.

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. На отрезок ОА длиной L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

2. В круг радиусом R помещен меньший круг радиусом r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

3. Внутрь квадрата наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется вписанного в квадрат круга.

4. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Внутрь куба наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется вписанного в куб шара.

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Чему равна вероятность попадания точки в отрезок?

2. Чему равна вероятность попадания точки в часть плоскости?

3. Чему равна вероятность попадания точки в часть фигуры?

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8

ТЕМА: Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Построение для заданной выборки ее графической диаграммы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить для заданной выборки ее графическую диаграмму.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи математической статистики.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.95 - 98.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Что называется генеральной совокупностью? выборкой?

2. Какие виды выборки Вы знаете?

3. Что называется относительными частотами (статистическими вероятностями)?

4. Какие виды статистических таблиц Вы знаете?

5. Что такое эмпирическая функция выборки (функция распределения выборки)?

6. Какие свойства функции распределения выборки Вы знаете?

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. В результате эксперимента получена выборка объемом n = 79: 2; 4; 2; 4; 3; 3; 3; 0; 6; 1; 2; 3; 2; 4; 3; 3; 5; 1; 0; 2; 4; 3; 2; 2; 3; 3; 1; 3; 3; 3; 1; 1; 2; 3; 1; 4; 3; 1; 7; 4; 3; 4; 2; 3; 2; 3; 3; 1; 4; 3; 1; 4; 5; 3; 4; 2; 4; 5; 3; 6; 4; 1; 3; 2; 4; 1; 3; 1; 0; 0; 4; 6; 4; 7; 4; 1; 3. Построить таблицу распределения частот и полигон частот.

2. Построить гистограмму распределения относительных частот по данному распределению выборки:

Частичный интервал длиной  = 5	Частота 
	5
	10
	25
	6
	4

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Имеются данные о количестве студентов в 24 группах: 28; 25; 40; 27; 23; 21; 26; 24; 22; 28; 25; 19; 27; 22; 21; 25; 21; 20; 22; 23; 22; 24; 19; 18. Составьте статистическое распределение выборки и постройте полигон частот.

2. Соберите данные о росте студенток, обучающихся на отделении, и составьте исходную таблицу рассматриваемого признака, выбрав один из следующих способов:

а) путем проведения сплошного опроса студенток, обучающихся в одной группе;

б) путем проведения сплошного опроса студенток, обучающихся в двух группах;

в) путем проведения сплошного опроса студенток, обучающихся на отделении;

г) путем простого случайного бесповторного опроса 30 студенток.

Постройте гистограмму частот и гистограмму относительных частот. Покажите, что площадь гистограммы частот равна n, а площадь гистограммы относительных частот равна единице.

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что такое полигон для ДСВ?

2. Что такое гистограмма НСВ?

3. Когда прибегают к предварительной группировке данных? в чем она заключается?

4. Как подсчитывается количество интервалов при предварительной группировке данных? Как подсчитывается длина интервалов?

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9

ТЕМА: Моделирование случайных величин.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Моделирование случайных величин.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться моделировать случайные величины.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи математической статистики.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.107 - 109.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Основная задача, лежащая в основе моделирования случайных величин.

2. Свойство равномерного распределения вероятностей (в случае моделирования случайных величин).

3. Основной результат моделирования случайных величин.

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Пусть _) и F(x) – функция распределения случайной величины _. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины _

2. Как по независимым наблюдениям над случайной величиной _ R(0, 1) получить независимые наблюдения над случайной величиной _?

3. Укажите какое-нибудь функциональное преобразование _, переводящее случайную величину _ в случайную величину _, имеющую распределение Коши.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Какое простейшее функциональное преобразование _ переводит случайную величину _?

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Опишите моделирование нормального распределения вероятностей.

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10

ТЕМА: Метод статистических испытаний.

НАИМЕНОВАНИЕ РАБОТЫ: Приблизительное нахождение площадей плоской фигуры с помощью метода статистических испытаний.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться находить площади плоских фигур с помощью метода статистических испытаний.

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ: студенты смогут решать простейшие задачи математической статистики.

НОРМА ВРЕМЕНИ: 90 минут.

ОСНАЩЕНИЕ РАБОЧЕГО МЕСТА: инструкционные карты, калькуляторы, пеналы с чертежными инструментами.

ЛИТЕРАТУРА: Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации: учебное пособие / А.Г. Бычков. - М.: ФОРУМ, 2008. – С.107 - 109.

ОТВЕТЬТЕ ПИСЬМЕННО НА ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ:

1. Основная идея, лежащая в основе вычисления определенных интегралов методом статистических испытаний.

1. Свойство равномерного распределения вероятностей (в случае моделирования случайных величин).

2. Основной результат моделирования случайных величин.

Суть метода Монте-Карло для вычисления площади плоской фигуры состоит в следующем. Пусть дана некоторая плоская фигура (рисунок), требуется рассчитать ее площадь. Опишем вокруг заданной фигуры другую фигуру простой формы (круг, прямоугольник и т.п.), площадь которой легко можно рассчитать. Мы будем здесь использовать прямоугольник (рисунок) с соответствующими координатами вершин (x1, y1) и (x2, y2). В полученный прямоугольник будем случайным образом (по возможности равномерно) помещать точки с координатами (x, y), удовлетворяющими условию , . Часть таких точек попадет вовнутрь исследуемой фигуры, другая часть окажется за ее пределами. Обозначим через NN общее количество точек, N – количество точек, попавших в фигуру. Тогда можно записать приближенное равенство _, где S – искомая площадь, SS – площадь прямоугольника. Из данной формулы получим итоговое расчетное соотношение _. Таким образом, используемый метод является приближенным. Точность расчета по второй формуле существенно зависит от количества заданных случайных точек и качества генератора случайных чисел. Для нашей задачи рекомендуется задавать NN10000. Расчет площади пересечения двух фигур проводится аналогично. Допустим, исследуемые фигуры имеют вид, показанный на рисунке:

Вокруг них опять описываем прямоугольник так, чтобы обе фигуры целиком помещались в нем. В полученный прямоугольник случайным образом «бросаем» точки и подсчитываем, какое их количество попадет в область пересечения фигур (на рисунке). Напомним, что точка считается попавшей в область пересечения, если она одновременно принадлежит обеим фигурам. Далее расчет проводим по второй формуле. Отметим, что использованный метод легко распространяется и на большее число фигур.

Последовательность выполнения работы

Выполните упражнения:

1. Вычислить методом Монте – Карло число _.

2. Найти методом Монте – Карло площадь фигуры, ограниченной кубической параболой

y = _, прямой у = 2 и осью Оу

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Найти методом Монте – Карло площадь Северной Америки (смотри приложение).

ОТВЕТЬТЕ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Опишите суть метода Монте - Карло.

2. Найти интеграл от функции y = _ на отрезке (0;1).

Оценка за практическое занятие _____________

Преподаватель ____________________________

Литература

Основные источники:

1. Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ССУЗ. М: Форум, 2008

2. Бычков А.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и методам оптимизации. Учебное пособие для ССУЗ. Форум, 2008

3. Миронова Н.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ССУЗ. М: Феникс 2007

4. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М: «Академия», 2013

Дополнительные источники:

1. Гмурман В.Е. ”Теория вероятностей и математической статистики”. М.: Высшая школа, 2008г.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. “Математическая статистика”. М.: Высшая школа 2007.

3. Гмурман В.Е. “Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики” М.: Высшая школа, 2008г.

Интернет-ресурсы

1. http://www.algebraic.ru- математическая энциклопедия.

2. http://hapend.biz - формулы и справочная информация по математике.

3. statsoft.ru - статистический портал StatSoft (теория вероятностей, математическая статистика).

4. nsu.ru - Чернова Н.И. Теория вероятностей и математическая статистика.

5. teorver-online.narod.ru - Манита А.Д. Теория вероятностей и математическая статистика (МГУ).

6. volbi.ru - теория вероятностей и математическая статистика (Волгоградский институт бизнеса).

7. spbstu.ru - Калинин В.М. Теория вероятностей и математическая статистика.

8. asp.omskreg.ru - Топчий В.А., Дворкин П.Л. Теория вероятностей.

9. mytwims.narod.ru - курс по теории вероятностей и математической статистике (МАИ - Московский гос. авиационный институт).

10. tspu.tula.ru - методы математической статистики (Тульский гос. пед. университет).

39