Приложение № 4 к основной образовательной
программе основного общего образования
Приказ №72-О от 31.08.2015г.
Утверждена приказом МБОУ Лестранхозовская СОШ
№99-О от 29.08.217
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Лестранхозовская средняя общеобразовательная школа
Рабочая программа
по учебному предмету «Математика»
на уровень ООО: 5-9 класс
Планируемые результаты
освоения учебного предмета
Личностные результаты освоения учебного предмета «Математика».
Программа позволяет добиваться следующих результатов:
В личностном направлении учащийся 5-9 классов обладает качествами:
- устойчивый познавательный интерес, установка на поиск общих способов интеллектуальной деятельности, являющихся основой познавательной культуры, значимых для различных сфер человеческой деятельности;
- заинтересованность в приобретении и расширении математических знаний и способов действий, готовность к выбору профильного образования;
- готовность и способность к выполнению норм и требований школьной жизни, прав и обязанности ученика;
Креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;
Аргументированность рассуждений, критичность мышления, умение распознавать логически некоторые высказывания, отличать гипотезу от факта;
Позитивная и адекватная самооценка, а также осознание себя как успешного ученика;
- способность к эмоциональному восприятию объектов, задач, решений, рассуждений;
- оценивать собственную учебную деятельность: свои достижения, самостоятельность, инициативу, ответственность, причины неудач;
В метапредметном направлении изучения курса «Математика» учащийся:
5-6 классы:
- умеет ставить личные цели деятельности при участии учителя;
- планирует свою работу, действует по плану, разработанному совместно с учителем;
- умеет осуществлять контроль по образцу;
- применяет приемы самоконтроля при решении учебной задачи;
- умеет проводить несложные доказательные рассуждения, распознавать верные и неверные утверждения, опираясь на изученные определения, свойства, признаки;
- умеет применять знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
- умеет ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, приводить примеры;
- умеет работать в команде, совместно с другими детьми в группе находить решение задачи;
- умеет вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения;
- осуществляет редактирование и структурирование текста в соответствии с его смыслом (в т.ч. средствами текстового редактора);
- умеет действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, составляет несложные алгоритмы вычислений и построений;
- умеет понимать и использовать средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы, таблицы, диаграммы) для иллюстрации;
- умеет находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представляет ее в понятной форме;
- умеет проводить наблюдение и эксперимент под руководством учителя;
- умеет осуществлять сравнение и классификацию по заданным критериям.
7-9 классы:
- умеет самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознано выбирает наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;
Умеет осуществлять контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы;
- умеет адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения;
- умеет выстраивать аргументацию и вести конструктивный диалог, проводить примеры и контрпримеры;
- умеет устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения и выводы;
- владеет логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев;
- умеет создавать и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
- умеет работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера; формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение;
- использует различные приемы поиска информации в Интернет, поисковые сервисы, строит запросы для поиска информации и анализирует результаты поиска;
- использует возможности компьютерных программ (текстового редактора, графических программ, электронных образовательных ресурсов, электронных таблиц и др.) для решения поставленных задач;
- использует исследовательские и проектные формы для получения предметных и межпредметных результатов;
- умеет интегрировать математическую задачу в другие дисциплины;
- умеет понимать и использовать средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы, таблицы, диаграммы) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
- строить речевые конструкции с использованием функциональной терминологии;
- умеет принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной и вероятностной информации;
- умеет самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных проблем;
- умеет публично предъявлять свои образовательные результаты.
В предметном направлении изучения курса «Математика»:
5 класс
«Арифметика»
Ученик научится:
- выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел и десятичных дробей;
- переходить от одной формы записи к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную – в виде десятичной, проценты в виде дроби и дробь в виде процентов;
- находить значение числовых выражений, содержащих целые числа и десятичные дроби;
- округлять целые и десятичные дроби, выполнять оценку числовых выражений;
- пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; переводить одни единицы измерения в другие;
- решать текстовые задачи, включая задачи с дробями и процентами.
Ученик получит возможность научиться
- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
- решения практических и расчетных задач, в том числе с использованием справочных материалов, калькулятора;
- устной прикидки и оценки результата вычислений с использованием различных приемов;
- интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.
«Алгебра»
Ученик научится:
- переводить условия задачи на математический язык;
- использовать методы работы с простейшими математическими моделями;
- осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления;
- изображать числа точками на координатном луче;
- определять координаты точки на координатном луче;
- составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления;
- решать текстовые задачи алгебраическим методом.
Ученик получит возможность научиться
- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
- выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами.
«Геометрия»
Ученик научится:
- пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;
- распознавать и изображать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
- распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела;
- в простейших случаях строить развертки пространственных тел;
- вычислять площади, периметры, объемы простейших геометрических фигур (тел) по формулам.
Ученик получит возможность научиться
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
-решения несложных геометрических задач, связанных с нахождением изученных геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);
- построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
6 класс
«Арифметика»
Ученик научится:
- понимать особенности десятичной системы счисления;
- понимать и использовать термины и символы, связанные с понятием степени числа; вычислять значения выражений, содержащих степень с натуральным показателем;
- применять понятия, связанные с делимостью натуральных чисел;
- оперировать понятием обыкновенной дроби, выполнять вычисления с обыкновенными дробями;
- оперировать понятием десятичной дроби, выполнять вычисления с десятичными дробями;
- понимать и использовать различные способы представления дробных чисел; переходить от одной формы записи чисел к другой, выбирая подходящую для конкретного случая форму;
- оперировать понятиями отношения и процента;
- решать текстовые задачи арифметическим способом;
- применять вычислительные умения в практических ситуациях, в том числе требующих выбора нужных данных или поиска недостающих;
- распознавать различные виды чисел: натуральное, положительное, отрицательное, дробное, целое, рациональное; правильно употреблять и использовать термины и символы, связанные с рациональными числами;
- отмечать на координатной прямой точки, соответствующие заданным числам; определять координату отмеченной точки;
- сравнивать рациональные числа;
- выполнять вычисления с положительными и отрицательными числами
- округлять натуральные числа и десятичные дроби;
- работать с единицами измерения величин;
- интерпретировать ответ задачи в соответствии с поставленным вопросом.
Ученик получит возможность научиться:
исследовать числовые закономерности и устанавливать свойства чисел на основе наблюдения, проведения числового эксперимента;
выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применяя при необходимости калькулятор;
использовать приёмы, рационализирующие вычисления;
контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ.
использовать в ходе решения задач представления, связанные с приближёнными значениями величин.
«Алгебра»
Ученик научится:
- использовать буквы для записи общих утверждений (например, свойств арифметических действий, свойств нуля при умножении), правил, формул;
- оперировать понятием «буквенное выражение»;
- осуществлять элементарную деятельность, связанную с понятием «уравнение»;
- выполнять стандартные процедуры на координатной плоскости: строить точки по заданным координатам, находить координаты отмеченных точек.
Ученик получит возможность:
- приобрести начальный опыт работы с формулами: вычислять по формулам, в том числе используемым в реальной практике; составлять формулы по условиям, заданным задачей или чертежом;
- переводить условия текстовых задач на алгебраический язык, составлять уравнение, буквенное выражение по условию задачи;
- познакомиться с идеей координат, с примерами использования координат в реальной жизни.
«Геометрия»
Ученик научится:
- распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире плоские геометрические фигуры, конфигурации фигур, описывать их, используя геометрическую терминологию и символику, описывать свойства фигур;
- распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире пространственные геометрические фигуры, конфигурации фигур, описывать их, используя геометрическую терминологию, описывать свойства фигур; распознавать развёртки куба, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра и конуса;
- измерять с помощью инструментов и сравнивать длины отрезков и величины углов, строить отрезки заданной длины и углы заданной величины;
- изображать геометрические фигуры и конфигурации с помощью чертёжных инструментов и от руки на нелинованной и клетчатой бумаге;
- делать простейшие умозаключения, опираясь на знание свойств геометрических фигур, на основе классификаций углов, треугольников, четырёхугольников;
- вычислять периметры многоугольников, площади прямоугольников, объёмы параллелепипедов;
- распознавать на чертежах, рисунках, находить в окружающем мире и изображать симметричные фигуры; две фигуры, симметричные относительно прямой; две фигуры, симметричные относительно точки; применять полученные знания в реальных ситуациях.
Ученик получит возможность научиться:
- исследовать и описывать свойства геометрических фигур (плоских и пространственных), используя наблюдения, измерения, эксперимент, моделирование, в том числе компью-терное моделирование и эксперимент;
- конструировать геометрические объекты, используя бумагу, пластилин, проволоку и др.;
- конструировать орнаменты и паркеты, изображая их от руки, с помощью инструментов, а также используя компьютер;
- определять вид простейших сечений пространственных фигур, получаемых путём предметного или компьютерного моделирования.
7 класс (Алгебра)
владеет базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания (функция,
координатная плоскость, степень, одночлен, многочлен, область допустимых значений переменных);
применяет математическую терминологию и символику, используя различные языки математики;
умеет выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих степень с натуральным показателем;
умеет выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами;
умеет использовать графические способы для анализа и решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей;
умеет строить графики линейных функций, описывать свойства линейной функции по графику, использовать функционально-графические представления для описания и анализа математических задач и реальных зависимостей;
решает задачи практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера;
умеет находить статистические величины: среднее, размах, моду числовых наборов.
8 класс (Алгебра)
владеет базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания (алгебраическая дробь, квадратный корень, модуль действительного числа); - умеет читать свойства по графику функции;
умеет выполнять преобразования выражений, содержащих степень с целым показателем;
умеет выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня;
умеет выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений на основе правил действий над алгебраическими дробями; - умеет решать квадратные уравнения; - умеет решать дробно-рациональные уравнения; - умеет решать линейные неравенства; - умеет решать квадратные неравенства;
применяет графические представления для решения и исследования уравнений и неравенств; - решает текстовые задачи путем составления уравнений;
-умеет строить графики квадратичной функции, функции у=√х, у=|х|, у=к/х, кусочные функции, описывать их свойства, использовать функционально-
графические представления для описания и анализа математических задач и реальных зависимостей;
- умеет применять правила комбинаторного умножения для решения задач на нахождение числа объектов или комбинаций.
9 класс (Алгебра)
владеет базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания (множество, числовая функция, область определения и область значения функции, прогрессия, вероятность);
применяет формулы, связанные с арифметической и геометрической прогрессией к решению задач, в том числе с контекстом из реальной жизни; - умеет решать системы двух уравнений с двумя переменными; - умеет решать рациональные неравенства и их системы;
умеет строить графики функции у=√х, степенной функции, кусочных функций, описывать свойства, использовать функционально-графические представления для описания
7 класс (Геометрия)
владеет базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания (аксиома, теорема, доказательство, медиана, биссектриса, высота);
умеет работать с геометрическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), грамотно применяет математическую терминологию и символику, используя различные языки математики, доказывает простейшие теоремы;
владеет навыками инструментальных измерений и построений: построение угла, равного данному, построение биссектрисы угла, построение перпендикулярных прямых, середины отрезка, построение треугольника по трём элементам;
знает определения, элементы, виды и свойства плоских фигур: прямая, отрезок, луч, угол, треугольник, умеет применять эти знания для решения геометрических и практических задач;
8 класс (Геометрия)
- владеет базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания (симметрия, подобие, площадь);
- умеет проводить классификацию, логические обоснования, доказательства математических утверждений;
знает определения, свойства и признаки плоских фигур: параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат, окружность, умеет применять для решения геометрических и практических задач;
9 класс (Геометрия)
владеет базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания (вектор, координаты, движение);
знает основные виды многогранников: призма, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар; их элементы, свойства, формулы для нахождения площадей поверхностей и объемов;
знает и умеет применять при решении геометрических и практических задач формулы вычисления площадей и сторон правильных многоугольников;
знает и умеет применять при решении геометрических и практических задач формулы вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей;
знает и умеет применять при решении геометрических и практических задач формулу вычисления длины окружности и длины дуг.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
МАТЕМАТИКА 5 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1. Натуральные числа (75 часов) |
1.1. | Натуральные числа и шкалы | 15 |
1.2. | Сложение и вычитание натуральных чисел | 21 |
1.3. | Умножение и деление натуральных чисел | 27 |
1.4. | Площади и объемы | 12 |
2. Дробные числа (81 часов) |
2.1. | Обыкновенные дроби | 25 |
2.2. | Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей | 13 |
2.3. | Умножение и деление десятичных дробей | 26 |
2.4. | Инструменты для вычислений и измерений | 17 |
3. Повторение (14 часов) |
ИТОГО: 170 часов |
МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1. Обыкновенные дроби (95 часов) |
1.1. | Делимость чисел. | 20 |
1.2. | Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями | 22 |
1.3. | Умножение и деление обыкновенных дробей | 33 |
1.4. | Отношение и пропорции | 20 |
2. Рациональные числа (66 часов) |
2.1. | Положительные и отрицательные числа | 12 |
2.2. | Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел | 12 |
2.3. | Умножение и деление положительных и отрицательных чисел | 13 |
2.4. | Решение уравнений | 15 |
2.5 | Координаты на плоскости | 14 |
3. Повторение (9 часов) |
ИТОГО: 170 часов |
АЛГЕБРА 7 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1 | Дроби и проценты | 13 |
2 | Прямая и обратная пропорциональности | 9 |
3 | Введение в алгебру | 9 |
4 | Уравнения | 11 |
5 | Координаты и графики | 12 |
6 | Свойство степени с натуральным показателем | 8 |
7 | Многочлены | 17 |
8 | Разложение многочленов на множители | 15 |
9 | Частота и вероятность | 4 |
10 | Повторение | 4 |
ИТОГО: 102 часа |
АЛГЕБРА 8 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1 | Алгебраические дроби | 23 |
2 | Квадратные корни | 17 |
3 | Квадратные уравнения | 20 |
4 | Система уравнений | 18 |
5 | Функции | 14 |
6 | Вероятность и статистика | 6 |
7 | Повторение | 4 |
ИТОГО: 102 часа |
АЛГЕБРА 9 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1 | Неравенства | 19 |
2 | Квадратичная функция | 20 |
3 | Уравнения и системы уравнений | 25 |
4 | Арифметическая и геометрическая прогрессии | 17 |
5 | Статистика и вероятность | 6 |
6 | Повторение | 15 |
ИТОГО: 102 часа |
ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1. Начальные геометрические сведения (10 часов) |
1.1. | Прямая и отрезок | 1 |
1.2. | Луч и угол | 1 |
1.3. | Сравнение отрезков и углов | 1 |
1.4. | Измерение отрезков | 1 |
1.5. | Измерение углов | 1 |
1.6. | Перпендикулярные прямые | 2 |
1.7. | Решение задач | 3 |
2. Треугольники (20 часов) |
2.1. | Первый признак равенства треугольников | 4 |
2.2. | Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | 3 |
2.3. | Второй и третий признаки равенства треугольников | 6 |
2.4. | Задачи на построение | 5 |
2.5. | Решение задач | 2 |
3. Параллельные прямые (13 ч) |
3.1. | Признаки параллельности двух прямых | 4 |
3.2. | Аксиома параллельных прямых | 9 |
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника (17 ч) |
4.1. | Сумма углов треугольника | 2 |
4.2. | Соотношения между сторонами и углами треугольника | 4 |
4.3. | Прямоугольные треугольник | 5 |
4.4. | Построение треугольника по трем элементам | 6 |
5. Повторение (8 часов) |
ИТОГО: 68 часов |
ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. (14 ч.) |
1.1. | МНОГОУГОЛЬНИКИ. | 2 |
1.2. | ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ. | 6 |
1.3. | ПРЯМОУГОЛЬНИК, РОМБ И КВАДРАТ. | 6 |
2. ПЛОЩАДЬ. (14 ч.) |
2.1. | ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА. | 2 |
2.2. | ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ | 6 |
2.3. | ТЕОРЕМА ПИФАГОРА | 6 |
3. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. (20 ч.) |
3.1. | ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. | 2 |
3.2. | ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. | 6 |
3.3. | ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. | 7 |
3.4. | СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. | 5 |
4. ОКРУЖНОСТЬ. (17 ч.) |
4.1. | КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ. | 3 |
4.2. | ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. | 4 |
4.3. | ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА. | 3 |
4.4. | ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ. | 7 |
5. ПОВТОРЕНИЕ (3 часа) |
ИТОГО: 68 часов |
ГЕОМЕТРИЯ 9 КЛАСС
№ пп | Название раздела | Кол-во часов |
1. ВЕКТОРЫ(9ч.) |
1.1. | ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. | 2 |
1.2. | СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. | 3 |
1.3. | УМНОЖЕНИЕ ВЕКТРОА НА ЧИСЛО. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ. | 4 |
2. МЕТОД КООРДИНАТ. (9ч.) |
2.1. | КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. | 3 |
2.2. | ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ. | 3 |
2.3. | УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ. | 3 |
3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ (14 часов) |
3.1. | СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА. | 3 |
3.2. | СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. | 7 |
3.3. | СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. | 4 |
4. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА (10ч.) |
4.1. | ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. | 4 |
4.2. | ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА. | 6 |
5. ДВИЖЕНИЯ. (7ч.) |
5.1. | ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ. | 2 |
5.2. | ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ. | 5 |
6. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ (5ч.) |
6.1. | МНОГОГРАННИКИ. | 4 |
6.2. | ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. | 1 |
7. ОБ АКСИОМАХ ПЛАНИМЕТРИИ. (2ч.) |
8. ПОВТОРЕНИЕ (10 часов). |
ИТОГО: 66 часов |
Содержание учебного предмета
Настоящая программа основного общего образования по математике составлена на основе Фундаментального ядра содержания общего образования и Требований к результатам общего образования, представленных в Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования, с учетом преемственности с Примерными программами для начального общего образования. В ней также учитываются основные идеи и положения Программы развития и формирования универсальных учебных действий для основного общего образования.
Содержание математического образования применительно к основной школе представлено в виде следующих содержательных разделов. Это арифметика; алгебра; функции; вероятность и статистика; геометрия. Наряду с этим в содержание основного общего образования включены два дополнительных методологических раздела: логика и множества; математика в историческом развитии, что связано с реализацией целей общеинтеллектуального и общекультурного развития учащихся. Содержание каждого из этих разделов разворачивается в содержательно-методическую линию, пронизывающую все основные разделы содержания математического образования на данной ступени обучения. При этом первая линия — «Логика и множества» — служит цели овладения учащимися некоторыми элементами универсального математического языка, вторая — «Математика в историческом развитии» — способствует созданию общекультурного, гуманитарного фона изучения курса.
Содержание раздела «Арифметика» служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию их логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рациональными и иррациональными числами, формированием первичных представлений о действительном числе. Завершение числовой линии (систематизация сведений о действительных числах, о комплексных числах), так же как и более сложные вопросы арифметики (алгоритм Евклида, основная теорема арифметики), отнесено к ступени общего среднего (полного) образования.
Содержание раздела «Алгебра» способствует формированию у учащихся математического аппарата для решения задач из разных разделов математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей процессов и явлений реального мира. В задачи изучения алгебры входят также развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики, овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символьных форм вносит специфический вклад в развитие воображения учащихся, их способностей к математическому творчеству. В основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений, а вопросы, связанные с иррациональными выражениями, с тригонометрическими функциями и преобразованиями, входят в содержание курса математики на старшей ступени обучения в школе.
Содержание раздела «Функции» нацелено на получение школьниками конкретных знаний о функции как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов. Изучение этого материала способствует развитию у учащихся умения использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), вносит вклад в формирование представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.
Раздел «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности — умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.
При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.
Цель содержания раздела «Геометрия» — развить у учащихся пространственное воображение и логическое мышление путем систематического изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве и применения этих свойств при решении задач вычислительного и конструктивного характера. Существенная роль при этом отводится развитию геометрической интуиции. Сочетание наглядности со строгостью является неотъемлемой частью геометрических знаний. Материал, относящийся к блокам «Координаты» и «Векторы», в значительной степени несет в себе межпредметные знания, которые находят применение как в различных математических дисциплинах, так и в смежных предметах.
Особенностью раздела «Логика и множества» является то, что представленный в нем материал преимущественно изучается при рассмотрении различных вопросов курса. Соответствующий материал нацелен на математическое развитие учащихся, формирование у них умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи.
Раздел «Математика в историческом развитии» предназначен для формирования представлений о математике как части человеческой культуры, для общего развития школьников, для создания культурно-исторической среды обучения. На него не выделяется специальных уроков, усвоение его не контролируется, но содержание этого раздела органично присутствует в учебном процессе как своего рода гуманитарный фон при рассмотрении проблематики основного содержания математического образования.
Данная программа по математике для основной школы является логическим продолжением программы для начальной школы и вместе с ней составляет описание непрерывного курса математики с 1-го по 9-й класс общеобразовательной школы.
МАТЕМАТИКА 5 класс
Натуральные числа и шкалы
Чтение и запись натуральных чисел. Отрезок. Измерение и построение отрезков.
Координатный луч, единичный отрезок, координаты точек. Сравнение чисел.
Сложение и вычитание натуральных чисел
Сложение, свойства сложения. Вычитание. Числовые и буквенные выражения. Уравнение.
Умножение и деление натуральных чисел
Умножение, свойства умножения. Деление. Упрощение выражений, раскрытие скобок.
Порядок выполнения действий. Степень числа.
Площади и объемы
Площадь, единицы измерения площади. Формула площади прямоугольника. Объем.
Единицы измерения объема. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Обыкновенные дроби
Окружность и круг. Доли, обыкновенные дроби. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел.
Десятичные дроби
Десятичная запись дробных чисел. Сравнение, сложение и вычитание десятичных дробей.
Приближенные значения. Округление чисел.
Умножение и деление десятичных дробей
Умножение и деление десятичных дробей на натуральные числа. Умножение и деление десятичной дроби на десятичную дробь. Среднее арифметическое.
Инструменты для вычислений и измерений
Микрокалькулятор. Проценты. Угол, измерение и построение углов. Чертежный треугольник, транспортир. Круговые диаграммы.
Повторение изученного материала.
МАТЕМАТИКА 6 класс
Делимость чисел
Делители и кратные. Признаки делимости на10, на 5и на 2.Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание смешанных чисел.
Умножение и деление обыкновенных дробей
Умножение дробей. Нахождение дроби от числа. Применение распределительного свойства умножения. Взаимно обратные числа. Деление. Нахождение числа по его дроби. Дробные выражения.
Отношения и пропорции
Отношения. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Масштаб.
Длина окружности и площадь круга. Шар.
Положительные и отрицательные числа
Координаты на прямой. Противоположные числа. Модуль числа. Сравнение чисел.
Изменение величин.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
Сложение чисел с помощью координатной прямой. Сложение отрицательных чисел.
Сложение чисел с разными знаками. Вычитание.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
Умножение. Деление. Рациональные числа. Свойства действий с рациональными числами.
Решение уравнений
Раскрытие скобок. Коэффициент. Подобные слагаемые. Решение уравнений.
Координаты на плоскости
Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые. Координатная плоскость. Столбчатые диаграммы. Графики.
Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей
Понятие о случайном опыте и событии. Достоверное и невозможное события. Сравнение шансов.
Повторение изученного материала.
АЛГЕБРА 7 класс
Дроби и проценты
Обыкновенные и десятичные дроби. Сравнение дробей. Вычисления с рациональными числами. Степень с натуральным показателем. Задачи на проценты. Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, размах.
Основная цель - систематизировать и обобщить сведения об обыкновенных и десятичных дробях, обеспечить на этой основе дальнейшее развитие вычислительных навыков, умение решать задачи на проценты; сформировать первоначальные умения статистического анализа числовых данных.
В соответствии с идеологией курса данная тема представляет собой блок арифметических вопросов. Основное внимание уделяется дальнейшему развитию вычислительной культуры: отрабатываются умения находить десятичные эквиваленты или десятичные приближения обыкновенных дробей, выполнять действия с числами, в том числе с использованием калькулятора.
Продолжается начатая в 6 классе работа по вычислению числовых значений буквенных выражений. Вычислительные навыки учащихся получают дальнейшее развитие при изучении степени с натуральным показателем; учащиеся должны научиться находить значения выражений, содержащих действие возведения в степень, а также записывать большие и малые числа с использованием степеней числа 10. Продолжается решение более сложных по сравнению с предыдущим годом задач на проценты. Основное содержание последнего блока темы — знакомство с некоторыми статистическими характеристиками. Учащиеся должны научиться в несложных случаях находить среднее арифметическое, моду и размах числового ряда.
Прямая и обратная пропорциональности
Представление зависимости между величинами с помощью формул. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Пропорции, решение задач с помощью пропорций. Пропорциональное деление
Основная цель - сформировать представления о прямой и обратной пропорциональностях величин; ввести понятие пропорции и научить учащихся использовать пропорции при решении задач.
Изучение темы начинается с обобщения и систематизации знаний учащихся о формулах, описывающих зависимости между величинами. Вводится понятие переменной, которое с этого момента должно активно использоваться в речи учащихся. В результате изучения материала учащиеся должны уметь осуществлять перевод задач на язык формул, выполнять числовые подстановки в формулы, выражать переменные из формул. Особое внимание уделяется формированию представлений о прямой и обратной пропорциональной зависимостях и формулам, выражающим такие зависимости между величинами. Формируется представление о пропорции и решении задач с помощью пропорций.
Введение в алгебру
Буквенные выражения. Числовые подстановки в буквенное выражение. Преобразование буквенных выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
Основная цель - сформировать у учащихся первоначальные представления о языке алгебры, о буквенном исчислении; научить выполнять элементарные базовые преобразования буквенных выражений.
В 7 классе начинается систематическое изучение алгебраического материала. Введение буквенных равенств мотивируется опытом работы с числами, осознанием и обобщением приемов вычислений. На этом этапе раскрывается смысл свойств арифметических действий как законов преобразований буквенных выражений, формируются умения упрощать несложные произведения, раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые.
Уравнения
Алгебраический способ решения задач. Корни уравнения. Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений
Основная цель - познакомить учащихся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения», с некоторыми свойствами уравнений; сформировать умение решать несложные линейные уравнения с одной переменной; начать обучение решению текстовых задач алгебраическим способом.
Рассматриваются некоторые приемы составления уравнения по условию задачи, возможность составления разных уравнений по одному и тому же условию, формируется умение выбирать наиболее предпочтительный для конкретной задачи вариант уравнения. Переход к алгебраическому методу решения задач одновременно служит мотивом для обучения способу решения уравнений. Основное внимание в этой теме уделяется решению линейных уравнений с одной переменной, показываются некоторые технические приемы решения.
Координаты и графики
Числовые промежутки. Расстояние между точками на координатной прямой. Множества точек на координатной плоскости. Графики зависимостей у = х, у = х2, у = х3, у = | х |. Графики реальных зависимостей.
Основная цель - развить умения, связанные с работой на координатной прямой и на координатной плоскости; познакомить с графиками зависимостей у = х, у = -х, у = х2, у = х3, у = | х |; сформировать первоначальные навыки интерпретации графиков реальных зависимостей.
При изучении курса математики в 5 - 6 классах учащиеся познакомились с идеей координат. В этой теме рассматриваются различные множества точек на координатной прямой и на координатной плоскости, при этом формируется умение переходить от алгебраического описания множества точек к геометрическому изображению и наоборот. Рассматривается формула расстояния между точками координатной прямой. При изучении темы учащиеся знакомятся с графиками таких зависимостей, как у = х, у = - х,
у = х2, у = х3, у = | х |. В результате учащиеся должны уметь достаточно быстро строить каждый из перечисленных графиков, указывая его характерные точки. Сформированные умения могут стать основой для выполнения заданий на построение графиков кусочно-заданных зависимостей. Специальное внимание в данной теме уделяется работе с графиками реальных зависимостей - температуры, движения и пр., причем акцент должен быть сделан на считывание с графика нужной информации. Важно, чтобы учащиеся получили представление об использовании графиков в самых различных областях человеческой деятельности.
Свойства степени с натуральным показателем
Произведение и частное степеней с натуральными показателями. Степень степени, произведения и дроби. Решение комбинаторных задач. Формула перестановок.
Основная цель - выработать умение выполнять действия над степенями с натуральными показателями; научить применять правило умножения при решении комбинаторных задач.
Учащимся уже знакомо определение степени с натуральным показателем, и у них есть некоторый опыт преобразования выражений, содержащих степени, на основе определения. Основное содержание данной темы состоит в рассмотрении свойств степени и выполнении действий со степенями. Сформированные умения могут найти применение при выполнении заданий на сокращение дробей, числители и знаменатели которых - произведения, содержащие степени. В этой же теме продолжается обучение решению комбинаторных задач, в частности задач, решаемых на основе комбинаторного правила умножения. Дается специальное название одному из видов комбинаций - перестановки и рассматривается формула для вычисления числа перестановок. Это первая комбинаторная формула, сообщаемая учащимся.
Многочлены
Одночлены и многочлены. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Решение задач с помощью уравнений
Основная цель - выработать умения выполнять действия с многочленами, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности для преобразования квадрата и куба двучлена в многочлен.
Изучение данной темы опирается на знания, полученные при изучении темы «Введение в алгебру». Используются свойства алгебраических сумм и произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Терминами «одночлен» и «многочлен» называются такие алгебраические выражения, с которыми учащиеся, по сути, уже имели дело. Основное внимание в данной теме уделяется рассмотрению алгоритмов выполнения действий над многочленами - сложения, вычитания, умножения, при этом подчеркивается следующий теоретический факт: сумму, разность и произведение многочленов всегда можно представить в виде многочлена. В ходе практической деятельности учащиеся должны выполнить задания комплексного характера, предусматривающие выполнение нескольких действий. Однако следует иметь в виду, что на этом этапе основным результатом является овладение собственно алгоритмами действий над многочленами, а преобразованиям целых выражений будет уделено внимание еще и в 8 классе. Овладение действиями с многочленами сопровождается развитием умений решать линейные уравнения и применять алгебраический метод решения текстовых задач.
Разложение многочленов на множители
Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки. Формула разности квадратов, формулы суммы кубов и разности кубов. Разложение на множители с применением нескольких способов. Решение уравнений с помощью разложения на множители.
Основная цель - выработать умение выполнять разложение на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки и способом группировки, а также с применением формул сокращенного умножения.
Вопрос о разложении многочленов на множители дается в виде отдельной темы, в которую отнесено также знакомство с формулами разности квадратов, разности и суммы кубов. Рассматриваются некоторые специальные приемы преобразования многочленов, после которых становится возможным применение способа группировки: разбиение какого-то члена многочлена на два слагаемых и более, а также прием «прибавить - вычесть». Следует продолжить формирование умений сокращать дроби и рассмотреть приемы решения уравнений на основе равенства произведения нулю.
Частота и вероятность
Относительная частота случайного события. Вероятность случайного события
Основная цель - показать возможность оценивания вероятности случайного события по его частоте.
Особенностью предлагаемой методики является статистический подход к понятию вероятности: вероятность случайного события оценивается по его частоте при проведении большой серии экспериментов. Процесс стабилизации частоты полезно иллюстрировать с помощью графика.
10. Повторение
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс
Начальные геометрические сведения
Простейшие геометрические фигуры: прямая, точка, отрезок, луч, угол. Понятие равенства геометрических фигур. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков, длина отрезка. Измерение углов, градусная мера угла. Смежные и вертикальные углы, их свойства. Перпендикулярные прямые.
Основная цель — систематизировать знания учащихся о простейших геометрических фигурах и их свойствах; ввести понятие равенства фигур.
В данной теме вводятся основные геометрические понятия и свойства простейших геометрических фигур на основе наглядных представлений учащихся путем обобщения очевидных или известных из курса математики 1—6 классов геометрических фактов. Понятие аксиомы на начальном этапе обучения не вводится, и сами аксиомы не формулируются в явном виде. Необходимые исходные положения, на основе которых изучаются свойства геометрических фигур, приводятся в описательной форме. Принципиальным моментом данной темы является введение понятия равенства геометрических фигур на основе наглядного
понятия наложения. Определенное внимание должно уделяться практическим приложениям геометрических понятий.
Треугольники
Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Основная цель — ввести понятие теоремы; выработать умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; ввести новый класс задач — на построение с помощью циркуля и линейки.
Признаки равенства треугольников являются основным рабочим аппаратом всего курса геометрии. Доказательство большей части теорем курса и также решение многих задач проводится по следующей схеме: поиск равных треугольников — обоснование их равенства с помощью какого-то признака — следствия, вытекающие из равенства треугольников. Применение признаков равенства треугольников при решении задач дает возможность постепенно накапливать опыт проведения доказательных рассуждений. На начальном этапе изучения и применения признаков равенства треугольников целесообразно использовать задачи с готовыми чертежами.
Параллельные прямые
Признаки параллельности прямых. Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.
Основная цель — ввести одно из важнейших понятий — понятие параллельных прямых; дать первое представление об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии; ввести аксиому параллельных прямых.
Признаки и свойства параллельных прямых, связанные с углами, образованными при пересечении двух прямых секущей (накрест лежащими, односторонними, соответственными), широко используются в дальнейшем при изучении четырехугольников, подобных треугольников, при решении задач, а также в курсе стереометрии.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Прямоугольные треугольники, их свойства и признаки равенства. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам.
Основная цель — рассмотреть новые интересные и важные свойства треугольников.
В данной теме доказывается одна из важнейших теорем геометрии — теорема о сумме углов треугольника. Она позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), а также установить некоторые свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.
Понятие расстояния между параллельными прямыми вводится на основе доказанной предварительно теоремы о том, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это понятие играет важную роль, в частности используется в задачах на построение.
При решении задач на построение в 7 классе следует ограничиться только выполнением и описанием построения искомой фигуры. В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.
Повторение. Решение задач
Основная цель. Повторить, закрепить и обобщить основные ЗУН, полученные в 7 классе.
АЛГЕБРА 8 класс
1. Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства. Выделение множителя - степени десяти - в записи числа.
Основная цель - сформировать умения выполнять действия с алгебраическими дробями, действия со степенями с целым показателем; развить навыки решения текстовых задач алгебраическим методом.
Эта тема является естественным продолжением и развитием начатого в 7 классе систематического изучения преобразований рациональных выражений. Изложение целесообразно строить, как и при изучении преобразований буквенных выражений в 7 классе, с опорой на опыт работы с числами. Главным результатом обучения должно явиться владение алгоритмами сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. Количество и уровень сложности заданий, требующих выполнения нескольких действий, определяются самим учителем в зависимости от возможностей класса. При этом необходимо иметь в виду, что в соответствии с общей идеей развития содержания курса по спирали в 9 классе предусмотрен еще один «проход» преобразования рациональных выражений.
Самостоятельный фрагмент темы посвящен изучению степени с целым показателем. Мотивом для введения этого понятия служит целесообразность представления больших и малых чисел в, так называемом стандартном виде. С этим способом записи чисел учащиеся уже встречались на уроках физики.
Завершается тема фрагментом, посвященным решению уравнений и текстовых задач. По сравнению с курсом 7 класса здесь предлагаются более сложные в техническом отношении уравнения (хотя, как и в 7 классе, это по-прежнему целые уравнения, но содержащие дробные коэффициенты).
2. Квадратные корни.
Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения квадратного корня. Свойства арифметического квадратного корня и их применение к преобразованию выражений. Корень третьей степени, понятие о корне п-й степени из числа. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Графики зависимостей и .
Основная цель - научить преобразованиям выражений, содержащих квадратные корни; на примере квадратного и кубического корней сформировать представления о корне n-й степени.
Понятие квадратного корня возникает в курсе при обсуждении двух задач геометрической (о нахождении стороны квадрата по его площади) и алгебраической (о числе корней уравнения вида х2 = а, где а - произвольное число). При рассмотрении первой из них даются начальные представления об иррациональных числах.
В содержание темы целесообразно включить нетрадиционный для алгебры вопрос - теорему Пифагора. Это позволит продемонстрировать естественное применение квадратных корней для нахождения длин отрезков, построения отрезков с иррациональными длинами, точек с иррациональными координатами.
Целесообразно также активно использовать калькулятор, причем не только в качестве инструмента для извлечения корней, но и как средство, позволяющее проиллюстрировать некоторые теоретические идеи.
В ходе изучения данной темы предусматривается знакомство с понятием кубического корня, одновременно формируются начальные представления о корне n-й степени. Рассматриваются графики зависимостей и .
3. Квадратные уравнения.
Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Решение текстовых задач составлением квадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение на множители квадратного трехчлена.
Основная цель - научить решать квадратные уравнения и использовать их при решении текстовых задач.
В тему включен весь материал, традиционно относящийся к этому разделу курса. В то же время предлагаются и некоторые существенные изменения: рассмотрение теоремы Виета связывается с задачей разложения квадратного трехчлена на множители; в систему упражнений должны постоянно включаться задания на решение уравнений высших степеней; следует активно использовать метод подстановки.
Большое место должно быть отведено решению текстовых задач, при этом рассматриваются некоторые особенности математических моделей, описывающих реальные ситуации.
В связи с рассмотрением вопроса о разложении на множители квадратного трехчлена появляется возможность для дальнейшего развития линии преобразований алгебраических выражений.
4. Системы уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Примеры решения уравнений в целых числах. Система уравнений; решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными, графическая интерпретация. Примеры решения нелинейных систем. Решение текстовых задач составлением систем уравнений. Уравнение с несколькими переменными.
Основная цель - ввести понятия уравнения с двумя переменными, графика уравнения, системы уравнений; обучить решению систем линейных уравнений с двумя переменными, а также использованию приема составления систем уравнений при решении текстовых задач.
Основное содержание данной темы курса связано с рассмотрением линейного уравнения и решением систем линейных уравнений. В то же время приводятся примеры и нелинейных уравнений, рассматриваются их графики, решаются системы, в которых одно уравнение не является линейным.
Особенностью изложения является акцентирование внимания на блоке вопросов, по сути относящихся к аналитической геометрии. Тема начинается с вопроса о прямых на координатной плоскости: рассматривается уравнение прямой в различных формах, специальное внимание уделяется уравнению вида , формулируется условие параллельности прямых, а в качестве необязательного материала может быть рассмотрено условие перпендикулярности прямых. Сформированный аналитический аппарат применяется к решению задач геометрического содержания (например, составление уравнения прямой, проходящей через две данные точки, прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, и пр.).
Продолжается решение текстовых задач алгебраическим методом. Теперь математической моделью рассматриваемой ситуации является система уравнений, при этом в явном виде формулируется следующая мысль: при переводе текстовой задачи на математический язык удобно вводить столько переменных, сколько неизвестных содержится в условии.
5. Функции.
Функция. Область определения и область значений функции. График функции. Возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, нули функции. Функции и их графики. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы.
Основная цель - познакомить учащихся с понятием функции, расширить математический язык введением функциональной терминологии и символики; рассмотреть свойства и графики конкретных числовых функций: линейной функции и функции ; показать значимость функционального аппарата для моделирования реальных ситуаций, научить в несложных случаях применять полученные знания для решения прикладных и практических задач.
Материал данной темы опирается на умения, полученные в результате работы с графиками реальных зависимостей между величинами. Акцент делается не столько на определение понятия функции и связанных с ним понятий, сколько на введение нового языка, новой терминологии и символики. При этом новый язык постоянно сопоставляется с уже освоенным: внимание обращается на умение переформулировать задачу или вопрос, перевести их с языка графиков на язык функций либо уравнений и пр.
Особенностью данной темы является прикладная направленность учебного материала. Основное внимание уделяется графикам реальных зависимостей, моделированию разнообразных реальных ситуаций, формированию представления о скорости роста или убывания функции. При изучении линейной функции следует явно сформулировать мысль о том, что линейной функцией описываются процессы, протекающие с постоянной скоростью, познакомить учащихся с идеей линейной аппроксимации.
6. Вероятность и статистика.
Статистические характеристики ряда данных, медиана, среднее арифметическое, размах. Таблица частот. Вероятность равновозможных событий. Классическая формула вычисления вероятности события и условия ее применения. Представление о геометрической вероятности.
Основная цель - сформировать представление о возможностях описания и обработки данных с помощью различных средних; познакомить учащихся с вычислениями вероятности случайного события с помощью классической формулы и из геометрических соображений.
Материал данной темы знакомит с ситуациями, требующими вычисления средних для адекватного описания ряда данных. Основное внимание уделяется целесообразности использования моды, медианы или среднего арифметического в зависимости от ситуации.
В предыдущих классах был рассмотрен статистический подход к понятию вероятности, на основе которого вводится гипотеза о равновероятности событий, позволяющая в ситуации с равновозможными исходами применять классическую формулу вычисления вероятности события. Кроме того, рассматривается геометрический подход к понятию вероятности, позволяющий в некоторых ситуациях с бесконечным количеством исходов вычислять вероятность наступления события как отношения площадей фигур.
7. Повторение.
ГЕОМЕТРИЯ 8 класс
Четырехугольники
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Осевая и центральная симметрии.
Основная цель — изучить наиболее важные виды четырехугольников — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапецию; дать представление о фигурах, обладающих осевой или центральной симметрией.
Доказательства большинства теорем данной темы и решения многих задач проводятся с помощью признаков равенства треугольников, поэтому полезно их повторить в начале изучения темы.
Осевая и центральная симметрии вводятся не как преобразование плоскости, а как свойства геометрических фигур, в частности четырехугольников. Рассмотрение этих понятий как движений плоскости состоится в 9 классе.
Площадь
Понятие площади многоугольника. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Теорема Пифагора.
Основная цель — расширить и углубить полученные в 5—6 классах представления учащихся об измерении и вычислении площадей; вывести формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции; доказать одну из главных теорем геометрии — теорему Пифагора.
Вывод формул для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции основывается на двух основных свойствах площадей, которые принимаются исходя из наглядных представлений, а также на формуле площади квадрата, обоснование которой не является обязательным для учащихся.
Нетрадиционной для школьного курса является теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Она позволяет в дальнейшем дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В этом состоит одно из преимуществ, обусловленных ранним введением понятия площади.
Доказательство теоремы Пифагора основывается на свойствах площадей и формулах для площадей квадрата и прямоугольника. Доказывается также теорема, обратная теореме Пифагора.
Подобные треугольники
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Основная цель — ввести понятие подобных треугольников; рассмотреть признаки подобия треугольников и их применения; сделать первый шаг в освоении учащимися тригонометрического аппарата геометрии.
Определение подобных треугольников дается не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональность сходственных сторон.
Признаки подобия треугольников доказываются с помощью теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.
На основе признаков подобия доказывается теорема о средней линии треугольника, утверждение о точке пересечения медиан треугольника, а также два утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Дается представление о методе подобия в задачах на построение.
В заключение темы вводятся элементы тригонометрии — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Окружность
Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности, ее свойство и признак. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности.
Основная цель — расширить сведения об окружности, полученные учащимися в 7 классе; изучить новые факты, связанные с окружностью; познакомить учащихся с четырьмя замечательными точками треугольника.
В данной теме вводится много новых понятий и рассматривается много утверждений, связанных с окружностью. Для их усвоения следует уделить большое внимание решению задач.
Утверждения о точке пересечения биссектрис треугольника и точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника выводятся как следствия из теорем о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Теорема о точке пересечения высот треугольника (или их продолжений) доказывается с помощью утверждения о точке пересечения серединных перпендикуляров.
Наряду с теоремами об окружностях, вписанной в треугольник и описанной около него, рассматриваются свойство сторон описанного четырехугольника и свойство углов вписанного четырехугольника.
Повторение. Решение задач
Основная цель. Повторить, закрепить и обобщить основные ЗУН, полученные в 8 классе.
АЛГЕБРА 9 класс
1. Неравенства.
Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Точность приближения, относительная точность.
Основная цель - познакомить учащихся со свойствами числовых неравенств и их применением к решению задач (сравнение и оценка значений выражений, доказательство неравенств и др.); выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.
Изучение темы начинается с обобщения и систематизации знаний о действительных числах, повторения известных учащимся терминов: натуральные, целые, рациональные, действительные числа - и рассмотрения отношений между соответствующими числовыми множествами. При этом бесконечная десятичная дробь не является исходным понятием для определения действительного числа, а рассматривается как его «универсальное имя». Вопрос о периодических и непериодических дробях может быть отнесен к необязательному материалу.
Свойства числовых неравенств иллюстрируются геометрически и подтверждаются числовыми примерами. Рассмотрение вопроса о решении линейных неравенств с одной переменной сопровождается введением понятий равносильных уравнений и неравенств, формулируются свойства равносильности уравнений и неравенств. Приобретенные учащимися умения получают развитие при решении систем линейных неравенств с одной переменной. Рассматривается также вопрос о доказательстве неравенств. Учащиеся знакомятся с некоторыми приемами доказательства неравенств; система упражнений содержит значительное число заданий на применение аппарата неравенств.
2. Квадратичная функция.
Функция и ее график. Свойства квадратичной функции: возрастание и убывание, сохранение знака на промежутке, наибольшее (наименьшее) значение. Решение неравенств второй степени с одной переменной.
Основная цель — познакомить учащихся с квадратичной функцией как с математической моделью, описывающей многие зависимости между реальными величинами; научить строить график квадратичной функции и читать по графику ее свойства; сформировать умение использовать графические представления для решения квадратных неравенств.
Особенность принятого подхода заключается в том, что изучение темы начинается с общего знакомства с функцией ; рассматриваются готовые графики квадратичных функций и анализируются их особенности (наличие оси симметрии, вершины, направление ветвей, расположение по отношению к оси х), при этом активизируются общие сведения о функциях, известные учащимся из курса 8 класса; учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на ее симметрию. Далее следует более детальное изучение свойств квадратичной функции, особенностей ее графика и приемов его построения. В связи с этим может рассматриваться перенос вдоль осей координат произвольных графиков. Центральным моментом темы является доказательство того, что график любой квадратичной функции может быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболы . Теперь учащиеся по коэффициентам квадратного трехчлена могут представить общий вид соответствующей параболы и вычислить координаты ее вершины.
В системе упражнений значительное место должно отводиться задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические представления. Завершается эта тема рассмотрением квадратных неравенств, прием решения которых основан на умении определять промежутки, где график функции расположен выше (ниже) оси абсцисс.
3. Уравнения и системы уравнений.
Рациональные выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Тождество, доказательство тождеств. Решение целых и дробных уравнений с одной переменной. Примеры решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач. Графическая интерпретация решения уравнений и систем уравнений.
Основная цель - систематизировать сведения о рациональных выражениях и уравнениях; познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших степеней, обучить решению дробных уравнений, развить умение решать системы нелинейных уравнений с двумя переменными, а также текстовые задачи; познакомить с применением графиков для исследования и решения систем уравнений с двумя переменными и уравнений с одной переменной.
В данной теме систематизируются, обобщаются и развиваются теоретические представления и практические умения учащихся, связанные с рациональными выражениями, уравнениями, системами уравнений. Уточняется известное из курса 7 класса понятие тождественного равенства двух рациональных выражений; его содержание раскрывается с двух позиций - алгебраической и функциональной. Вводится понятие тождества, обсуждаются приемы доказательства тождеств.
Значительное место в теме отводится решению рациональных уравнений с одной переменной. Систематизируются и углубляются знания учащихся о целых уравнениях, основное внимание уделяется решению уравнений третьей и четвертой степени уже знакомыми учащимся приемами - разложением на множители и введением новой переменной. Здесь же учащиеся впервые встречаются с решением уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби. Продолжается решение систем уравнений, в том числе рассматриваются системы, в которых одно уравнение первой, а другое - второй степени, и примеры более сложных систем.
В заключение проводится графическое исследование уравнений с одной переменной. Вообще графическая интерпретация алгебраических выражений, уравнений и систем должна широко использоваться при изложении материала всей темы.
4. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и суммы п членов арифметической и геометрической прогрессий. Простые и сложные проценты.
Основная цель - расширить представления учащихся о числовых последовательностях; изучить свойства арифметической и геометрической прогрессий; развить умение решать задачи на проценты.
В данной теме вводятся необходимые термины и символика, в результате чего создается содержательная основа для осознанного изучения числовых последовательностей, которые неоднократно встречались в предыдущих темах курса. Характерной ее особенностью должны являться широта и разнообразие практических иллюстраций, акцент на связь изучаемого материала с окружающим миром. Введение понятий арифметической и геометрической прогрессий следует осуществлять на основе рассмотрения примеров из реальной жизни. На конкретных примерах вводятся понятия простых и сложных процентов, которые позволяют рассмотреть большое число практико-ориентированных задач.
5. Статистические исследования. Комбинаторика.
Генеральная совокупность и выборка. Ранжирование данных. Полигон частот. Интервальный ряд. Гистограмма. Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Комбинаторные задачи. Перестановки, размещения, сочетания.
Основная цель — сформировать представление о статистических исследованиях, обработке данных и интерпретации результатов.
В данной теме представлен завершающий фрагмент вероятностно-статистической линии курса. В ней рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. В ходе описания исследований вводятся некоторые новые статистические понятия, отражающие специфику данного исследования. Они позволяют понять как центральные тенденции ряда данных, так и меру вариации. Включение данного материала направлено прежде всего на формирование умений понимать и интерпретировать статистические результаты, представляемые в средствах массовой информации.
Предполагается не столько формальное заучивание новых терминов, сколько первоначальное знакомство с понятийным аппаратом этой области знаний, необходимой каждому современному человеку.
6. Повторение
ГЕОМЕТРИЯ 9 класс
Векторы. Метод координат
Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Уравнения окружности и прямой. Применение векторов и координат при решении задач.
Основная цель — научить учащихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов и метода координат при решении геометрических задач.
Вектор определяется как направленный отрезок и действия над векторами вводятся так, как это принято в физике, т. Е. как действия с направленными отрезками. Основное внимание должно быть уделено выработке умений выполнять операции над векторами (складывать векторы по правилам треугольника и параллелограмма, строить вектор, равный разности двух данных векторов, а также вектор, равный произведению данного вектора на данное число).
На примерах показывается, как векторы могут применяться к решению геометрических задач. Демонстрируется эффективность применения формул для координат середины отрезка, расстояния между двумя точками, уравнений окружности и прямой в конкретных геометрических задачах, тем самым дается представление об изучении геометрических фигур с помощью методов алгебры.
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах.
Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.
Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.
Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.
Основное внимание следует уделить выработке прочных навыков в применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.
Длина окружности и площадь круга
Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности Площадь круга.
Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления.
В начале темы дается определение правильного многоугольника, и рассматриваются теоремы об окружностях, описание около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2п-угольника, если дан правильный п-угольник.
Формулы, выражающие сторону правильного многоугольник и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.
Движения
Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Осевая и центральная симметрии. Параллельный перенос. Поворот. Наложения и движения.
Основная цель — познакомить учащихся с понятие: движения и его свойствами, с основными видами движений, с взаимоотношениями наложений и движений.
Движение плоскости вводится как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками. При рассмотрении видов движений основное внимание уделяется построению образов точек, прямых, отрезков, треугольников при осевой и центральной симметриях, параллельном переносе, поворот. На эффектных примерах показывается применение движений при решении геометрических задач.
Понятие наложения относится в данном курсе к числу основных понятий. Доказывается, что понятия наложения и движения являются эквивалентными: любое наложение является движением плоскости и обратно. Изучение доказательства не является обязательным, однако следует рассмотреть связь понятий наложения и движения.
Начальные сведения из стереометрии
Предмет стереометрии. Геометрические тела и поверхности Многогранники: призма, параллелепипед, пирамида, формулы для вычисления их объемов. Тела и поверхности вращения: цилиндр, конус, сфера, шар, формулы для вычисления их площадей поверхностей и объемов.
Основная цель — дать начальное представление о телах и поверхностях в пространстве; познакомить учащихся с основ новыми формулами для вычисления площадей поверхностей и объемов тел.
Рассмотрение простейших многогранников (призмы, параллелепипеда, пирамиды), а также тел и поверхностей вращений (цилиндра, конуса, сферы, шара) проводится на основе наглядных представлений, без привлечения аксиом стереометрии. Формулы для вычисления объемов указанных тел выводятся на основе принципа Кавальери, формулы для вычисления площади и боковых поверхностей цилиндра и конуса получаются с помощью разверток этих поверхностей, формула площади сферы приводится без обоснования
Об аксиомах геометрии
Беседа об аксиомах геометрии.
Основная цель — дать более глубокое представление о системе аксиом планиметрии и аксиоматическом методе.
В данной теме рассказывается о различных системах аксиом геометрии, в частности о различных способах введения понятия равенства фигур.
Повторение. Решение задач
Основная цель. Повторить, закрепить и обобщить основные ЗУН за основную школу