Производная функции. Понятие производной.

Производная функции

Лекция № 8

Понятие производной

Определение. Производной функции y = f ( x ) в точке х 0 называется предел при  х  0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Пример: Вычислить производную функции y = x 2 в точке х = 5.

Если для некоторого значения х 0 выполняется условие то говорят, что в точке х функция имеет бесконечную производную знака «+» или знака «–». В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной .

или

Геометрический смысл производной

Касательная к кривой – прямая, имеющая с кривой единственную общую точку.

Определение . Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке М называется предельное положение секущей MN , когда точка N стремится к точке М по кривой f ( x ).

Уравнения касательной и нормали к кривой

Производная f’ ( x 0 ) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох ) касательной к графику функции y = f ( x ) в точке M ( x 0 , f ( x 0 )). При этом

Для касательной всегда выполнятся

Если взять

Уравнение касательной:

Определение . Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.

Для перпендикулярных прямых

Уравнение нормали к кривой:

Физический смысл производной

Если функция s = f ( t ) описывает закон движения материаль- ной точки по прямой как зависимость пути от времени, то

Путь, пройденный за интервал времени D t .

Средняя скорость за время D t

Мгновенная скорость точки

В определенном смысле производную функции y = f ( x ) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f’ ( x ), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f ( x ) и быстрее растет функция.

Правая и левая производные

Пример:

Рассмотрим точку x = 0

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке, называет дифференцируемой в этой точке.

Определение . Функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке х 0 , если ее приращение в этой точке можно представить в виде  y = A  D x +  (  x )  x , где А – некоторое число, не зависящее от  х , а  (  х ) – функция аргумента  х , являющаяся бесконечно малой при  х  0, т.е.

Теорема Если функция f ( x ) дифференцируема в данной точке х 0 , то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Например, функция f ( x ) = | x | непрерывна в точке х = 0, но не является дифференцируемой.

Таким образом, требование дифференцируемости является более сильным, чем требование непрерывности.

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

Теорема . Если функции u = u ( x ) и v = v ( x ) дифференцируемы в точке х , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии v ( x )  0) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы

Доказательство: (приведем только для суммы, остальные аналогично)

Теорема о производной обратной функции

Пусть функция х =  ( у ) является обратной для функции y = f ( x ).

Теорема. Если функция y = f ( x ) имеет в точке х 0 производную f ( x )  0, то обратная функция х =  ( у ) также имеет в соответствующей точке у 0 = f ( x 0 ) производную, причем

Доказательство. Учтем, что Перейдем к пределу при  у  0. Обратная функция х =  ( у ) непрерывна в точке у 0 , то

 х  0 при  у  0. Получим Ч.т.д.

Теорема имеет простой геометрический смысл и отражает очевидный факт:

Правило дифференцирования сложной функции

Теорема . Если функция u =  ( x ) имеет производную в точке x 0 , а функция y = f ( u ) имеет производную в соответствующей точке u 0 =  ( x 0 ), то сложная функция f [  ( x )] имеет производную в точке x 0 и справедлива следующая формула

Доказательство: т.к. функция y = f ( x ) дифференцируема в точке х 0 , то

Так как по условию u =  ( x ) дифференцируема, то она и непрерывна в точке x 0 , следовательно

и

при

Переходя к пределу в предыдущем равенстве получим

Замечание. Правило дифференцирования остается тем же, если зависимость более сложная – с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных.

Производные простейших элементарных функций

В частности

В частности

В частности

На основе правил и формул дифференцирования можно сделать вывод: операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Доказательство.

Для a = e получаем, в частности, формулу:

5.–8.

Логарифмическая производная

Вычислим производную сложной функции

которая называется логарифмической производной (знак модуля обычно не записывается).

Логарифмическую производную удобно использовать при нахождении производных функций, выражения которых значительно упрощаются при логарифмировании.

Пример . Степенно-показательная функция

Прологарифмируем:

Пусть

Техника нахождения производных

Основные правила:

• Ввести функцию u ( x ), так чтобы y = f ( u )

содержалось в таблице производных

• Использовать правила дифференцирования

Примеры:

Понятие дифференциала функции

Пусть функция f ( x ) дифференцируема в точке х 0 , тогда её приращение в этой точке можно записать в виде суммы:  y =A   x +  (  x )  x ,

где Слагаемое  (  х )  х при  х  0 – бесконечно малая более высокого порядка, чем  х .

Определение. Дифференциалом функции y= f ( x ) в точке х 0 называется главная, линейная относительно  х , часть приращения функции в этой точке: dy = A  x

Учитывая, что А=f '( x 0 ), формулу можно записать в виде dy = f '( x 0 )   x . Дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной dx =  x. Соотношение принимает теперь вид: dy = f '( x 0 ) dx

Геометрический смысл дифференциала

y

 y

dy



M

 x

y = f ( x )



0

x

x 0 +  x

x 0

Производные высших порядков

Производная f '( x ) функции y = f ( x ) сама является некоторой функцией аргумента х . Назовём f '( x ) производной первого порядка функции f ( x ).

Производная от производной некоторой функции называется производной 2 -го порядка (или второй производной ) этой функции.

Производная от второй производной называется производной 3 -го порядка (или третьей производной ) и т.д.

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у '', у ''', у (4) , …, у (n) , … или f ''( x ), f '''( x ), f (4) ( x ), …,

f ( n ) ( x ), …

Производная n -го порядка является производной от производной ( n -1)-го порядка:

y ( n ) = ( y ( n -1) )'.

Если функция y = f ( x ) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то 1-ая производная

f '( x ) есть мгновенная скорость точки в момент времени х , а 2-ая производная равна ускорению точки в момент х

Параметрическое задание функции и ее дифференцирование

Пусть заданы две функции x =  ( t ), y =  ( t ) (1)

одной независимой переменной t , определенные и непрерывные в одном и том же промежутке.

Если x =  ( t ) строго монотонна, то обратная функция t = F ( x ) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t , называемый параметром : y =  [ F ( x )].

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (1). Предположим, что функции (1) имеют производные, причем  '( t )  0 на некотором промежутке. По теореме о производной обратной функции функция F ( x ) имеет производную: а по теореме о производной сложной функции функция y =  [ F ( x )] имеет производную :

y '( x ) =  '[ F ( x )]  F '( x ) 

Найдем вторую производную: y ''( x ) = ( y '( x ))' x =

Производная неявной функции

Функция задана неявно , если она имеет вид f ( x , y ) = C .

Для нахождения производной y ' x заданной неявно функции нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y ( x ), а затем из полученного уравнения найти производную y ' x .

Можно также воспользоваться свойством дифференциала функции двух переменных:

Производная неявной функции. Примеры