Производная функции нескольких переменных. Нахождение частных производных функции нескольких переменных. Применение производной к исследованию функций нескольких переменных

ОГБПОУ «НОВГОРОДСКИЙ АГРОТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Инструкционная карта на выполнение

Практического занятия № 5 по дисциплине

«Математика»

Тема: Производная функции нескольких переменных

Наименование работы:. Нахождение частных производных функции нескольких переменных. Применение производной к исследованию функций нескольких переменных

Норма времени: 4 часа;

Условия выполнения: учебный кабинет;

Оснащение рабочего места: инструкционная карта, калькулятор

Правила по технике безопасности: С правилами техники безопасности на рабочем месте ознакомлены;

Литература: Хрипунова М.Б. Высшая математика. Учебник и практикум для спо М.:Юрайт.2018г.-474с

Уровни усвоения: 1 – 4 задания – 2 уровень

Домашнее, самостоятельное задание – 3 уровень

Теоретическая часть.

1.Частные производные первого порядка

Определение. Если существует конечный предел отношения частного приращения по х функции z=f(x;y) в точке М₀(х₀;у₀) к приращению , то этот предел называется частной производной по х функции z=f(x;y) в точке М₀ и обозначается одним из символов:

Аналогично частная производная по у от функции z=f(x;y) определяется как предел отношения частного приращения функции у к приращению при стремлении к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов:

Пример. Вычислить частные производные следующих функций:

2. Частные производные высших порядков.

Определение. Частными производными второго порядка от функции z=f(x;y) называются частные производные от функций Общее число вторых производных от функции двух переменных – четыре, так как каждую производную можно продифференцировать как по х, так и по у.

Пример. Найти вторые частные производные от функции

Сначала находим первые частные производные:

Находим вторые производные:

3. Экстремум функции нескольких переменных.

Теорема. (необходимое условие экстремума). Если функция u=f(M) непрерывна в некоторой области D и во внутренней точке М₀ области D имеет экстремум, то в этой точке все ее частные производные первого порядка или не существуют, или обращаются в нуль.

Точки, в которых частные производные не существуют, или равны нулю, называются критическими точками функции.

Рассмотрим функцию двух переменных. Обозначим значения вторых частных производных в точке

М₀(х₀,у₀) через А, В, С.

Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области, содержащей точку М₀(х₀,у₀), функция u=f(x,y) непрерывна со своими частными производными до третьего порядка включительно и пусть М₀(х₀,у₀) - критическая точка функции f(x,y), т.е. . Тогда в точке М₀:

1. Функция u=f(x,y) имеет максимум, если АС-В²0, А

2. Функция u=f(x,y) имеет минимум, если АС-В²0, А0;

3. Функция u=f(x,y) не имеет экстремума, если АС-В²

4. Если АС-В²=0, то требуются дополнительные исследования, т.к. в этом случае функция может иметь, а может не иметь экстремума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

Решение:

1. Находим первые частные производные и приравниваем их к нулю.

1. После решения уравнений мы нашли точки, подозреваемые на экстремум:

1. Вычисляем вторые частные производные в точках, подозреваемых на экстремум:

1. Проверяем выполнение достаточных условий экстремума:

В точке , - функция имеет минимум

В точке - функция не имеет экстремума

Практическая часть.

1. Найти частные производные первого порядка:

а) б)

1. Найти частные производные функции в точке

1. Найти частные производные второго порядка для функций. Покажите, что

а) б)

1. Исследовать функции на экстремум.

а) б)

Домашнее задание:

1. Найти частные производные второго порядка функции

1. Исследовать функцию на экстремум:

Самостоятельная работа:

1 вариант.

1. Найти частные производные второго порядка функции

1. Исследовать функцию на экстремум:

2 вариант.

1. Найти частные производные второго порядка функции

1. Исследовать функцию на экстремум:

Критерии оценки:

«5» - Правильно решены 2 задания.

«4» - Правильно решено 1-е задание, второе выполнено не до конца, либо допущена одна вычислительная ошибка.

«3» - Правильно решено 1 задание.

«2» - Одно задание выполнено, но с ошибками; либо не выполнено ничего