Программа элективного курса "Решение задач на составление уравнений"

14

Теоретическая часть программы курса

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указанны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой – либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования (вопрос), каковы условия, исходя, из которых надо решать задачу. Результаты предварительного анализа задачи надо как-то зафиксировать, записать. Схематичная запись задачи должна быть удобна, компактна и в то же время достаточно наглядна. Первой отличительной особенностью схематичной записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т. д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указанны объекты и их характеристики. Наконец, в схематичной записи фиксируется лишь то, что необходимо для решения задачи, все другие подробности отбрасываются. Эти положения соблюдены в сетевых графах.

Чтобы каждому ученику обеспечить возможность решать задачу с необходимыми объяснениями и в определённой последовательности, ему дается список указаний. Этот список предлагается или в готовом виде, или составляется вместе с учащимися класса. Ученики читают его и одновременно выполняют упражнение:

1. О каком процессе идет речь в задаче?

2. Какие величины характеризуют этот процесс? Есть ли связь между одноименными элементами?

Отвечая на эти вопросы (вопросник этот висит на стенде в кабинете, записан на закладках или обложках тетрадей учащихся), ученики анализируют условие задачи, записывают его схематично. Эта схема – сетевой граф. Осталось добавить, что таким способом можно решать текстовую задачу, величины которой связаны соотношением А=В∙С, т. е. задачи, которые решаются учащимися с трудом: задачи на движение, на совместную работу, заполнение резервуара водой и т. п.

Задача№1

Расстояние между деревнями Ельня и Сосновка равна 30 км. Изобразите дорогу между этими деревнями в виде шкалы, деления которой обозначают 3 км. Покажите на этой шкале, где окажется через 1 час, через 2 часа после выхода пешеход, идущий из Ельни в Сосновку со скоростью 6 км/ч. Покажите, где он окажется через 3 ч после выхода, через 4 ч, через 5 ч?

При ответе на поставленные вопросы получается удобным повторение следующих моментов:

1. Расстояние между двумя пунктами удобнее всего изображать в виде отрезка, само же расстояние, как число, есть длина этого отрезка;

2. Что такое скорость? Скорость движения - это расстояние, которое проходит «человек» за единицу времени (1ч, 1мин. и т. п.). Одновременно показать, что есть общепринятые обозначения терминов – расстояние (пройденный путь), скорость движения, время: S, v, t. Повторить единицы измерения этих величин.

Говоря о движении, мы имеем в виду, что три величины характеризуют этот процесс: путь S, скорость v, время t. Где был пешеход через 1 час после выхода? Это расстояние, которое прошел пешеход за 1 час, или скорость движения пешехода. Последний вопрос: где оказался пешеход через 5 часов? Делаем вывод: чтобы найти пройденный путь S, надо скорость движения умножить на время нахождения в пути. Записываем формулу S=v∙t, повторяем тут же, как найти скорость, зная расстояние и время движения, как найти время, зная расстояние и скорость движения.

0 3 6 12 18 24 30

Теперь можно приступать к решению текстовых задач.

Задача №2

Автобус шел 2 часа со скоростью 45 км/ч и 3 часа со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошел автобус за эти 5 часов?

Все записи на сетевом графе делаются простым карандашом от руки, можно использовать ластик для корректирования. В левом столбце предлагаемой ниже таблицы описываются действия учителя и учащихся (вопросы, ответы, комментарии). В правом – сетевой граф, который параллельно вычерчивается на доске и тетрадях.

1. О каком процессе идёт речь в задаче? - о движении.
2. Какие величины характеризуют этот процесс? - Путь, скорость, время (на доске и в тетради рисуют три кружка, подписываются буквы).	S v t
3. Каким соотношением связаны величины? -S=v·t	S v t
4. Сколько различных процессов описывается в задаче? - Два: одно движение со скоростью 45 км/ч, второе –60 км/ч (у букв S, v, t ставим внизу 1 и рисуем еще три кружка, соединяя их линией и обозначаем S2, v2, t2).	S1 v1 t1 S2 v2 t2
5. Есть ли связь между одноименными элементами? (Поясняю, что одноименными элементами являются S1 и S2, v1 и v2, t1 и t2. Отыскиваем связь, читая условие; заштриховываем сплошным кружок, величина, которого известна и подписываем) Два часа со скоростью 45 км/ч. Три часа со скоростью60 км/ч. Какое расстояние прошел автобус за 5 часов? – надо найти весь путь, который прошел автобус, поэтому через S1 и S2 провожу линию и завершаю её кружком S1+S2.	S1 v1 t1 S2 v2 t2 S1+S2

На доске и в тетрадях получился сетевой граф к задаче. Чтобы решить задачу, надо заштриховать все кружки. Каждая линия, а их тут три, называется ребром. Принцип заполнения (штриховки) кружков: зная (имея) два заштрихованных кружка на одном ребре, найти (заштриховать) третий. Те кружки, которые мы заполняем, решая задачу, штрихуются редкой полоской от руки.

Поясню: первое ребро – v₁ = 45 км/ч, t₁ = 2 ч, можно найти S₁ ? Можно обратиться к формуле, записанной правее. S₁ = 45·2=90 (км) и заштриховать кружок S₁; перечеркиваем использованное ребро. Аналогично второе ребро и величина S₂. Остается третье, «вертикальное» ребро, в котором уже заштрихованы два кружка S₁ и S₂, и, значит, можно заштриховать кружок S₁ + S₂. Рассуждая так, параллельно ведется запись решения задачи с обязательным пояснением к каждому действию.

Теперь работа ученика выглядит так:

t1=2ч

v1=45 км/ч

S1=90 км

S1=90 км

S=v_∙t

t2=3ч

v2=60 км/ч

v2=60 км/ч

S2=360 км

S1+S2=90+180

1. 45∙2=90 (км) – прошел автобус за 2 часа.

2. 60∙3=180 (км) – прошел автобус за 3 часа.

3. 90+180=270 (км) – прошел автобус за 5 часов.

Ответ: 270 км.

Задача№3

Лыжник за 5 часов прошел 75 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы с той же скоростью пройти 60 км?

Заметим, что в задаче скорость движения не изменяется, поэтому v общее, и можно использовать такой вид ребра сетевого графа (хорошо еще раз выделить каждое ребро):

Очевидно, что определяем v общее, а затем t₂.

t2=4ч

S=vt

S1=75 км

v0=15 км/ч

t1=5ч

S2=60 км

Задача №4

Путь от одной станции до другой товарный поезд прошел за 9 часов, а пассажирский – за 6 часов. Найдите скорость пассажирского поезда, если скорость товарного поезда равна 40 км/ч

В этой задаче один и тот же путь проходят с разными скоростями, поэтому кружок S общий, можно так же использовать обозначения S_т и S_п, v_т и v_п, t_т и t_п, а не s1,v1,t1,s2,v2,t2.

t_т =6ч

V_т=60км\ч

S=360 км

t _п=9ч

V_п=40км/ч

Задача №5

Мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за три часа, двигаясь со скоростью 54 км/ч. Сколько времени потребуется мотоциклисту на обратный путь, но уже по другой дороге, если она длиннее первой на 22 км, а его скорость будет меньше прежней на 8 км/ч?

В этой задаче описывается два процесса: движение по двум дорогам разной длины. При сравнении одноименных величин через «их» кружки надо провести ребро, третий кружок показывает это сравнение.

Очевидно, что заполняется сначала v₂ или S₁, затем S₂, t₂ или S₁-S₂-v₂-t₂, второй вариант: v₂-S₁-S₂-t₂ .

V1=54 км/ч

t₂=4ч

t₁=3ч

S1=162 км

V2=46 км/ч

V1V2 на 8 км/ч

км

S1S2 на 22 км

км

S2=184

км

Задача №6

От деревни Ивантеевка до деревни Вороново 20 км. Миша шел из Ивантеевки до Воронова со скоростью 5 км/ч, Витя – со скоростью 4 км/ч. Насколько Витя потратил больше времени, чем Миша?

Покажем только сетевой граф.

Tв- Tм=5-4=1(ч)

км

Vм=5 км/ч

км

Vв=4 км/ч

км

Tв=5 ч

км

S=20 км

км

Т_м=4ч

Задача №7

Теплоход 3 ч шел по озеру со скоростью 23 км/ч. а потом 4 часа по реке. Сколько километров прошел теплоход за эти 7 часов, если по реке он шел на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

Sр+Sо=173 км

км

Vр=23 км/ч

км

Sр=69 км

км

Sо=104 км

км

Tо=4 ч

км

Tр=3 ч

км

Vо=26 км/ч

км

VрVо на 3 км/ч

км

Задача №8

Чтобы добраться из города до села, я проехал 5 часов на поезде, 2 часа на автобусе и 3 часа прошел пешком. Скорость автобуса была 35 км/ч, скорость поезда вдвое больше скорости автобуса, а пешком я шел со скоростью на 65 км/ч меньшей, чем скорость поезда. Какой путь я проделал от города до села?

Vп=2Vа

км

Vа=35 км/ч

км

Vп=70 км/ч

км

Vпеш=5 км/ч

км

Vп-Vпеш=65 км/ч

км

Sобщ=Sа+Sп+Sпеш

км

Sа=70 км

км

Sп=350 км

км

Tпеш=3 ч

км

Tп=5 ч

км

Tр=3 ч

км

Sпеш=15 км

км

Задача №9

Машина прошла первый участок пути за 3 часа, а второй – за 2 часа. Длина обеих участков вместе 267 км. С какой скоростью шла машина на каждом участке, если скорость на втором участке была на 8,5 км/ч больше, чем на первом?

Построим сетевой граф:

Для применения уже выработанного алгоритма решения задачи нет выполнения условия – по ребру сетевого графа два заштрихованных кружка. Кружочек надо заштриховать, т.е. ввести переменную величину х, обозначив ею любой из не заштрихованных кружочков. Например: v₁=x км/ч, тогда v₂=x+8,5 км/ч, S₁=3x км, шагая по ребру 2, S₂=2(x+8,5) км по ребру 3; кружки при этом заштриховываются редкой полоской. По неиспользованному ребру 4 и составляется уравнение к задаче.

3х+2(х+8,5)=267.

Используя сетевой граф, уже легко объяснить (описать) составление уравнения по условию задачи и слово «пусть» никого пугать не будет. Пусть на первом участке пути машина шла со скоростью х км/ч, тогда на втором участке скорость была х+8,5 км/ч. За 3 часа машина прошла 3х км, за 2 часа – 2(х+8,5) км. Длина всего пути – 267 км или 3х+2(х+8,5) км. Составим уравнение: 3х=2(х+8,5)=267.

На первых порах естественным, я думаю, будет при записи объяснения пройтись ещё раз по сетевому графу в той последовательности, в которой заштриховывались кружки.

S1=3х км

км

T1=3 ч

км

V1=х км/ч

км

Sобщ=267 км

км

T2=2 ч

км

V2=х+8,5 км/ч

км

S2=2(х+8,5) км

км

V2V1 на 8,5 км/ч

км

Задача №10

Два пешехода находились на расстоянии 4,6 км друг от друга. Они пошли навстречу друг другу и встретились через 0,8 ч. Найдите скорость каждого пешехода, если скорость одного из них в 1,3 раза больше другого.

После ответа на первые четыре вопроса сетевой граф может выглядеть так:

T1

V1

S1

T2

V2

S2

И вполне понятно, как будет выглядеть ребро по v. Как проработать связи по t и S? Чтобы ответить на вопрос «Как связаны величины S₁ и S₂ с величиной 4,6 км» можно использовать отрезок:

0,8 ч

0,8 ч

I A

II B

S1

S2

4.6 км

Сколько времени в пути был каждый пешеход? Ответ: 0,8 ч. Почему? Ответ: пешеходы вышли одновременно и встретились через 0,8 ч. Итак, сетевой граф будет выглядеть:

Т=0,8 ч

V1V2 в 3 раза

V1=1,3х км/ч

Sобщ=4,6 км

V2=х км/ч

S2=0.8x км

S1=0.8∙1.3x км

Чтобы ребята поняли, что при сравнении величин «в несколько раз больше» удобнее обозначать за х ту величину, которая меньше, в данном случае v₂, им можно предложить составить уравнение к этой задаче, обозначив за х v₁. Кстати, советую довести работу с сетевым графом до уравнения, если вдруг кто-то из ребят предложит обозначить за х одну из величин S₁ или S₂. В первом случае уравнение к задаче:

0,8∙1,3х+0,8х=4,6

Во втором случае S₁=х км, тогда по первому «вертикальному» ребру S₂=4,6-х км, v₁=х/0,8 км/ч, v₂=(4,6-х)/0,8 км/ч по ребру 3, уравнение «читается» по еще не работающему ребру, показывающему связь между v₁ и v₂.

Задача№11

За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

В задачах на движение «по и против течения» я ввела дополнительный сетевой граф:

Работаем с дополнительным графом: v собственная = х км/ч, затем скорость по и против течения: v по течению = х+2 км/ч, v против течения = х-2 км/ч и переносим результаты на основной граф. «Шагаем» по ребру 3: S=(х+2)∙9 км, по ребру 4: S=(х-2)∙11 км/ч. Получим уравнение:

8(х+2)=11(х-2).

Vсоб=х км/ч

Vтеч=2 км/ч

Vпот=х+2 км/ч

Vпрт=х-2 км/ч

Tпот=9 ч

Vпрт=х-2 км/ч

Vпот=х+2 км/ч

Тпрт=11 км

11(х-2)=S=8(х+2) км

Задача №12

Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в В, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из А. Расстояние между А и В равно 120 км. Найдите скорость мотоциклистов и расстояние места встречи от В.

Для того, чтобы выяснить связь между S₁ и S₂, изобразим эти величины на отрезке прямой.

Первый мотоциклист проехал расстояние, равное АВ+ВС, второй АС, очевидно, что АВ+ВС+АС=2АВ.

Каждый мотоциклист был в пути 2 ч24 мин., или 2,4 ч. Почему? Процитируем текст, выделив – мотоциклисты выехали одновременно; первый (если мы условились, что он ехал быстрее) прибыв в В, сразу же поехал обратно и встретил второго через 2 ч 24 мин. после выезда из А.

По ребру 4 получим уравнение:

2,4∙1,5х+2,4х=2∙120

2S=S1+S2 =2*120 км км

V1V2 в 1,5 раза

S1=2 *1,5х км

2

5

Т=2,4 ч

V1=1,5х км/ч

S2=2 км

2

5

V2=х км/ч

В

А

С

120 км

Задача №13.

1

15

Тм

1

15

Тм=х ч

Тм=х+ ч

Т=2 ч

1 15

1 .

х+

Vв=2 км/ч

1

х

Vм= км/ч

S=1 км

1

х

Vм= км/ч

1

х

Vв=2 км/ч

1 .

х+

1 15

1 15

1 .

х+

Sв=2 км

Sм=2 км

Sм-Sв=40 км

Мотоциклист и велосипедист совершили двухчасовую безостановочную поездку. При этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 мин. быстрее, чем велосипедист. Найдите скорость каждого, если расстояния, пройденные каждым из них за 2 ч, отличаются на 40 км.

В этой задаче составим дополнительный граф, используя текст: при этом мотоциклист проезжал каждый километр на 4 мин. быстрее, чем велосипедист, а затем перенесём величины vм и vв на основной граф.

Составим уравнение по ребру 6:

2∙1/х-2∙1(х+1/15)=40

Задача №14

Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого. Оба вместе они выполняют задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них выполнит это задание?

1. В задаче идёт речь о работе.

2. Выполненная работа –А, время работы –t, количество работы, выполняемой за единицу времени (производительность) – k.

3. А=k∙t

4. Три процесса: работа каждого из двух штукатуров по отдельности и совместная работа.

Выполняемую работу, а она в задаче не имеет числового значения, для простоты обозначим за 1.

Получим уравнение:

1/х+1/(х+5)=1/6

работая по схеме t₁ – t₂ – k₁ – k₂ – k_с = k₁ + k₂.

Т1

Т1=х ч

Т2=х+5 ч

Тс=6 ч

1

6

Кс=К1+К2= р р

1 _.

х+5

К1= р

1

х

К1= р

А=1

Задача №15.

Туристы совершили три перехода в 12,5; 18 и 14 км, причем скорость на первом переходе была на 1 км меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?

V₁ – v₂ – v₃ – t₂ – t₃ – (t₃ –t₂)= 1/2

Получили уравнение: 14/(х-1)-18/(х+1)=1/2

V1V2 на 1 км/ч

12,5

х

S1=12,5 км

Т1= ч

V1=х км/ч

18

х+1

S2=18 км

Т2= ч

V2=х+1 км/ч

14

х-1

S3=14 км

Т3= ч

V3=х-1 км/ч

1

2

Т3Т2 на ч

V3V1 на 1 км/ч

Задача№16

Автомобиль прошел с некоторой скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошел половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 2/5 ч меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью шел автомобиль из А в В?

В задаче описывается три различных движения: движение от А до В, движение от В до А первой половины пути и движение дальше к пункту А.

Vоб1 – vкв – vоб2 – tкв – tоб1 – tоб2 – tкв – (tо1 – tо1)

240/х – (120/х + 120/ (х+10))= 2/5

Vк=Vо1=х км/ч

240

х

Тк= ч

Vк=х км/ч

Sк=240 км

120

х

То1= ч

Vо1=х км/ч

Sо1=120 км

120 х+10

То2= ч

Vо2=х+10 км/ч

Sо2=120 км

2

5

То2+То2Vк на ч

Vо2Vо1 на 10 км/ч

Задача №17

Кп=К1=х п

768

х

Тп= д

Кп=х п

Ап=768 п

Т1=5 д

К1=х п

А1=5х п

844 -5х

х+6

Т2= д

К2=х+6 п

А2=844 -5х п

ТпТ1+Т2 на 1 д

844 п=Аф=А1+А2

К2К1 на 6 п

Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 768 пылесосов. Первые пять дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна изготовлять бригада по плану?

1. В задаче идет речь о работе.

2. Выполняемая работа А, производительность k и время работы t.

3. А=k∙t

4. В задаче описаны три вида работы: работа по плану, а фактическая работа состоит из двух «частей» - первые 5 дней с прежней производительностью и остальная часть работы.

Схема порядка продвижения по схеме:

K1 – kn – k2 – A1 – A2 – t2 – tn = t1 +t2 +1

768/х=5+(844-5х)/(х+6)+1

Предлагаю другой вариант работы с этим графиком.

Схема:

K1 – kn – k2 – tn – t2 – A1 – A2 – A1 +A2

5х+[(768/х)-6](х+6)=844

К2=х+6 п

К2К1 на 6 п

К1=х п

Кп=х п

Кп=К1=х п

Ап=768 п

768

х

ТпТ1+Т2 на 1 д

А1=5х п

Т1=5 д

Тп= д

Т2=т-5-1= -6 д

768

х

А2=( -6)(х+6)п

768

х

А1+А2=844 п

Задача №18.

Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 часов больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 часов меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

1. Речь идет о работе.

2. Выполняемая работа А (заполненный бассейн), производительность k (количество воды, протекающей через трубу за единицу времени), время работы t.

3. А=k∙t

4. В задаче описаны три работы: работа каждой трубы по отдельности и обеих одновременно.

Tb – kb – t1 – t2 – k2 – k1 – kb = k1 + k2

Получили уравнение: 1/(х+9)+1/(х+16)=1/х

1 .

х+9

Т1= х+9 ч

А=1

К1= б

Т1

1 .

х+16

Т2= х+9+7 ч

К2= б

Тв=х ч

1

х

Кв=К1+К2= б

Т1ТВ на 9 ч

Задача №19

Турист проехал на велосипеде 28 км по шоссе и 25 км по проселочной дороге, затратив на весь путь 3 ч 36 мин. С какой скоростью ехал турист по проселочной дороге, если известно, что по шоссе он ехал в 1,4 раза быстрее?

Метод сетевых графов хорош еще и тем, что опираясь на составленную схему, можно легко написать пояснение, какую величину мы взяли за переменную, как составили уравнение или систему уравнений. Как правило, такие требования обязательны для любой письменной работы ученика, особенно пятерочной. Покажу составление объяснения на примере этой задачи.

Пусть скорость, с которой турист ехал по проселочной дороге, равна х км/ч. Тогда, согласно условию задачи, скорость, с которой он двигался по шоссе, равна 1,4х км/ч.

Время, затраченное им не езду на шоссе, равно 28:1,4х=20:х ч. а время прохождения проселочной дороги равно 25:х ч. По условию задачи их сумма равна 3,6 ч. Составим уравнение:

20:х+25:х=3,6

Решая данное уравнение, получим х=12,5 км/ч. Это и является ответом.

Ответ: 12,5 км/ч.

Тш=20/х ч

Vш=1,4х

Sш=28 км

Тп=2,5/х ч

Vп=х км/ч

Sп=25 км

Тш+Тп=3,6

Vш=1,4Vп

Задача №20

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км. Вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт В на 54 мин. позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Путь, пройденный каждым из туристов, одинаков, поэтому кружок S – общий.

Уравнение в этой задаче составляем по вертикальному ребру «время»:

18:(х-1)=18:х+0,9.

Решив его, находим скорость одного туриста – 5 км\ч но, так как нас просят найти скорость каждого путешественника, то обыкновенным вычитанием вычисляем скорость движения другого: 4 км\ч.

Ответ: 4 км/ч, 5 км\ч.

Т1=18/(х-1) ч

V1=х-1 км/ч

Т1=Т2+0,9 ч

Т2=18/х ч

V1=V2-1

V2=х км/ч

S=18 км

Задача №21

Из населенных пунктов А и В, удаленных друг от друга на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в А на 25 мин. раньше, чем другой в В.

Как видите, вместо одной переменной можно взять и две, это зависит от выбора того, кто решает.

График в данном примере схож с предыдущим, а при решении простенькой системы уравнений получим ответ 60 км\ч, 40 км/ч.

Задача №22

Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км, прошла 139 1\3 км вниз по течению реки и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч.

При решении задач, в текстах которых употребляются слова «по и против течения реки», необходимо учитывать данные условия при построении графов. Например, в данной задаче скорость, с которой лодка движется по течению, на графе обозначена 15+х км/ч, а против течения, соответственно, 15-х км\ч.

Уравнение опять составляем по ребру «время»:

418 /(45 =3х)+418/(45-3х)=20.

Решая его, получаем ответ: 4 км/ч.

V1=х км/ч

S=50 км

Т1=50/х ч

Т2=50/у ч

V2=у км/ч

Т2=Т1+5/12 ч

Задача №23

S1=12/(х+2)

V1=1/(х+2)

V2=1/х

S2=12/х

Т1=12 с

V1=1/(х+2)

Т1=

Т1=х+2

Т2=х ч

S=1 ед.

V2=1/х

S2=S1+1

Два тела движутся по окружности равномерно и в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 сек. Быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 сек. За какое время каждое тело проходит окружность?

Эта на первый взгляд трудная (в силу своей нестандартности) задача решается довольно просто, если разложить движение по окружности на прямолинейное движение. Здесь я приведу сетевой граф с необходимыми пояснениями.

Пусть длина окружности равна 1 единице (неважно какой – метр, сантиметр, километр т.п.). Положим время прохождения окружности вторым телом за х сек. Тогда согласно условию время прохождения окружности вторым телом равно х+2 сек., а скорости прохождения окружности телами равны соответственно 1/х и 1/(х+2). Переносим эти данные (скорости тел) на второй граф, время одинаково – 12 сек. Выразим пути, пройденные телами. Осталось найти связку между ними .Перечитаем условие задачи, особенно ту его часть, в которой говорится. Что первое тело «догоняет второе тело каждые 12 сек.». Это позволяет сделать вывод: S1=S2+1. Нарисовав, окружность и немного подумав, каждый может в этом убедиться.

И так, наше уравнение выглядит следующим образом:12/х=12/(х+2)+1, откуда х=4;

х=-6, х=-6 не является решением задачи, т.к. время - величина неотрицательная. Находим время прохождения окружности вторым телом:

T₂ = t₁ + 2 = 6 сек.

Осталось записать ответ.

Ответ: 4 сек., 6 сек.

Задача №24

Из пункта А в пункт В автомобиль доехал за 5 часов, двигаясь в пределах населенных пунктов со скоростью 60 км\ч, а по шоссе вне населенных пунктов – со скоростью 80 км\ч. Обратный путь из В в А занял 4часа 36 минут. При этом в пределах населенных пунктов автомобиль двигался со скоростью 50 км/ч, а по шоссе – 90 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В?

Покажу только сетевой граф.

Принцип решения задач на совместную работу не отличается от принципа решения задач на движение. Чтобы не быть голословной, приведу следующие примеры.

Задача №25

Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Здесь пригодится тот вопросник, который был показан в начале работы. Приведу его ещё раз, с ответами на вопросы по тексту данной задачи:

1. О каком процессе идёт речь в задаче? - О работе.

2. Какие величины характеризуют этот процесс? – Работа, производительность, время.

3. Каким соотношением связаны эти величины? – А=k∙t.

4. Сколько различных процессов описывается в задаче? – Два: работы двух экскаваторов в отдельности и их совместная работа.

5. Есть ли связь между одноименными элементами? – Да, это связь между временем выполнения работы первого и второго экскаватора.

Сетевой график в данном случае будет выглядеть так:

Уравнение к задаче составляем по нижнему, «горизонтальному» ребру графа:

1/х + 1/(х+4) = 4/15.

Его решением будут числа 6 и –2,5; последнее из которых отбрасываем ввиду того, что время – величина положительная.

Время, за которое второй экскаватор выполнит этот же объем работ, равно 10 ч.

Ответ: 6 ч, 10 ч.

Т=3 3/4 ч

Т1=Т2+4

Т2= х

Т1= х+4

К=К1+К2

К2=1/х

К1=1/(х+4)

А=1

Задача №26

Двое рабочих вместе выполняют за час 3/4 всей работы. Если первый рабочий выполнит ¼ всей работы, а второй, сменив его, выполнит ¼ всей работы, то вместе они проработают 2,5 часа. За сколько часов каждый рабочий может выполнить всю работу, если за 1 час работы первого рабочего и за 0,5 часа работы второго рабочего будет выполнено больше половины всей работы?

При решении этой задачи я построила три графика, на каждый из которых последовательно переносила данные из остальных двух. В результате получилось нечто, которое вы можете наблюдать ниже.

Получили уравнение, составленное по ребру «производительность» графа 2:

1/4х+1/(5-2х)=3/4,

и неравенство 1/4х+1/2(5-2х)0, которое возникло из анализа последнего предложения условия задачи.

Решив полученную систему, найдем х, равное ½, а затем и время выполнения работы каждым рабочим согласно условиям t1=4x, t2=5-2x.

Ответ: 2 ч и 4 ч.

А1=1/4

Т2=2,5-х

К2=1/(5-2х)

А2=1/2

К1+К2=3/4

Т1+Т2=2,5

Т1=х

К1=1/4х

Т=1 ч

А=3/4

К=К1+К2

Т2=5-2х

Т1= 4х

К1=1/4х

А=1

К2=1/(5-х)

Задача № 27

Каждый из рабочих должен изготовить 36 одинаковых деталей. Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на 4 мин. позже второго, но 1\3 задания они выполнили одновременно. Полностью выполнив свое задание, первый рабочий после двухминутного перерыва снова приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим изготовил еще две детали. Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий?

Переиначив вопрос, поставленный к задаче, можно сказать: «найти производительность труда каждого рабочего».

Для ответа на этот вопрос удобнее будет построить два графа, опять же перенося данные из одного в другой: выполнение 1/3 работы и выполнение всей работы каждым рабочим.

В качестве пояснения можно указать, что в первой части работы по условию первый рабочий затратил на 2 мин. меньше, чем второй, а при выполнении всей работы он затратил на 6 мин. меньше, а выполнил на 2 детали больше, чем второй рабочий.

Из первого графа получаем уравнение 12/х+1/15=12/у, из второго – уравнение 38/х+1/10=36/у.

Решением системы являются числа 20 и 18. Они же будут решением задачи.

Ответ: 18 и 20 деталей в час.

Т1+1/10=Т2

Т2=36/у ч

Т1=38/х ч

К2=у д/ч

К1=х д/ч

А1=38 д

А2=36 д

Т1+1/15=Т2

Т2=12/у ч

Т1=12/х ч

К2=у д/ч

К1=х д/ч

А=12 д

Задача №28

Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была открыта только первая труба в течение ¼ времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая труба также в течение ¼ времени, которое необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что остается наполнить 11/24 полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?

Задачи на наполнение резервуара водой являются одной из разновидностей задач на работу и производительность. Здесь производительность трубы – это объем жидкости, вытекающей из неё в единицу времени. Из первого графа получим уравнение 1/х+1/у=1/(12/5),

Из второго – у/4х+-х/4у=13/24.

Решив систему, найдем х и у: 4 и 6 ч.

Ответ: 4 ч, 6 ч.

1-А1-А2=11/24

Т2=х/4 ч

Т1=у/4 ч

К2=1/у

К1=1/х

А2=х/4у

А1=у/4х

К=К1+К2=5/12

К1=1/х

К2=1/у

Т2=у ч

Т1=х ч

Т= 2,4 ч

А=1

Задача №29

Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен был изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?

P_ф. – A_ф. – A_n. – t_n. – t_ф.,

За д а ч а 30

Грузчики планировали за некоторое время разгрузить 160 ящиков. Однако они справились с работой на 3 часа раньше срока, т. к. разгружали в час на 12 ящиков больше, чем планировали раньше. Сколько ящиков в час они разгружали?

P_ф. – P_n. – t_n. – t_ф.

З а д а ч а 31

Швея получила заказ сшить 60 сумок к определенному сроку. Она шила в день на 2 сумки больше, чем планировалось, поэтому уже за 4 дня до срока ей оставалось сшить 4 сумки. Сколько сумок в день шила швея?

A_ф. – P_ф. – P_n. – t_n. – t_ф.

З а д а ч а 32

Велосипедист должен был проехать 48 км, чтобы успеть к поезду. Однако он задержался с выездом на 48 минут. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем планировал первоначально. С какой скоростью ехал велосипедист?

V_ф. – V_п. – t_п. – t_ф.

За д а ч а 33

Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 ч. Если первый печник будет работать два часа, а второй 3 ч, то они выполнят только 20 % всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно?

Делаем пояснения по составлению сетевого графа: речь в задаче идет о трех «работах» – каждый печник работает отдельно, «совместная работа». При этом важно уточнить, что «всю работу» мы примем за 1, а совместная производительность складывается из производительностей всех участников, выполняющих работу.

Р_с – P₁ – P₂ – A₁ – A₂

З а д а ч а 34

Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

P_с – P₁ – P₂ – A₁ – A₂

З а д а ч а 35

Из города M в город N, расстояние между которыми 80 км, одновременно выехали два автомобиля.

Во время пути один из автомобилей сделал остановку на 15 мин, но в пункт N приехал на 5 минут раньше второго. Известно, что его скорость в 1,5 раза больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля.

V₂ – V₁ – t₁– t₂

В этой задаче необходимо правильно сравнить время в пути каждого автомобиля: оба выехали одновременно, но первый сделал остановку на 15 мин (в это время движения не было) и приехал раньше второго на 5 мин, т. е. был в пути на 20 мин меньше.

З а д а ч а 36

Из пунктов A и B, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из B в A вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью на 8 км/ч большей скорости пешехода и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость каждого, если известно, что они встретились в 24 км от пункта A.

При составлении сетевого графа может помочь «схема» движения.

S_п – V_п – V_в – t_в – t_п

З а д а ч а 37

Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B, расстояние между которыми 27 км. Через час велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать с той же скоростью.

Первый прибывает в B на 27 мин позже, чем второй в A. Определите скорость каждого велосипедиста.

Этот сетевой граф для первого уравнения системы.

2) Учитывая, что через 1 час после выезда (велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу) велосипедисты встретились, то x + y = 27 – второе уравнение системы.

З а д а ч а 38

На двух копировальных машинах, работающих одновременно, сделали копию пакета документов за 20 мин. За какое время можно было выполнить эту работу на каждой из них в отдельности, если известно, что при работе на первой машине для этого требуется на 30 мин меньше, чем при работе на второй?

t₁ – t₂ –p₁ – р₂ – р_c,

З а д а ч а 39

Одна из двух труб может наполнить водой бак на 10 мин быстрее другой. За какое время может наполнить этот бак каждая труба, если при совместном действии этих труб в течение 8 мин было заполнено 2/3 бака?

A_c – t₁ – t₂ – p_c – p₁ – p₂;