РОССИЯ, НОВЫЙ УОЯН
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 16.12.2021 17:20
Карагаева Татьяна Петровна
учитель математики
65 лет
4 488
9 725 
Местоположение
Специализация
Программа элективного курса по математике"Подготовка к ЕГЭ"
Категория:
Математика
15.09.2021 15:33
Просмотр содержимого документа
«Программа элективного курса по математике"Подготовка к ЕГЭ"»
Программа элективного курса
«Подготовка к ЕГЭ »
Учитель:
Карагаева Татьяна Петровна
Пояснительная записка
Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.
Цель курса
Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе.
Изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей.
Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
В результате изучения курса учащийся должен:
усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
овладеть исследовательской деятельностью.
Структура курса планирования учебного материала
Темы:
Первоначальные сведения. 2ч
Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
Модуль и параметр. 2ч.
Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
Рациональные уравнения. 2ч
Рациональные неравенства. 2 ч
Иррациональные уравнения. 2ч
Иррациональные неравенства. 2ч
Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры. 4 ч
Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры . 4ч
Производная и ее применения. 4ч
Тригонометрия и параметры. 4ч
Графические приемы решения. 4ч
Нестандартные задачи с параметрами. 6ч
количество решений уравнений;
уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями.
Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч
Краткое содержание курса
Первоначальные сведения.
Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.
Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.
II. Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр.
Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение систем уравнений.
Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.
III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.
Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.
Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.
IV. Модуль и параметр.
Определение модуля.
Алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем.
Раскрытие разных модулей.
Графический способ решения.
Цель: Выработать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр.
V. Квадратные уравнения, содержащие параметр.
Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета.
Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Графический способ. Аналитический способ решения.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.
Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.
VI. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.
Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.
Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами, решаемых с помощью свойств квадратичной функции.
VII. Рациональные уравнения.
Общая схема решения целых и дробно-рациональных уравнений.
Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.
Различные способы решения.
Цель: Сформировать умение решать рациональные уравнения с параметром.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр.
VIII. Рациональные неравенства.
Общая схема решения, «метод областей».
Различные способы решений.
Цель: Формировать умение и навыки решения рациональных неравенств с параметром.
Иррациональные уравнения.
Схемы решения иррациональных уравнений.
Область определения уравнения.
Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.
Цель: Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром.
Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр.
Х. Иррациональные неравенства.
Схемы решения иррациональных неравенств.
Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.
Цель: Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром.
XI. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения с параметрами.
XII. Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры.
Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами.
Цель: Формировать умение и навыки решения показательных и логарифмических неравенств с параметром.
XIII. Производная и ее применения.
Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.
Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.
XIV. Тригонометрия и параметры.
Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.
Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
XV. Графические приемы решения.
Использование свойств различных функций при решении заданий с параметром.
Специфика решений графическим способом.
Преимущества и недостатки графического способа.
Цель: Научить графическим приемам решения задач с параметром.
XVI. Нестандартные задачи с параметрами.
Использование различных свойств при решении задач с параметрами.
Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.
Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.
XII. Текстовые задачи с использованием параметра.
Использование различных свойств при решении задач с параметрами.
Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.
Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.
Планирование (64 часа)
| № урока | Тема | Дата проведения |
| 1 | Основные понятия уравнений с параметрами |
|
| 2 | Основные понятия неравенств с параметрами |
|
| 3 | Решение линейных уравнений с параметрами |
|
| 4 | Решение линейных уравнений с параметрами |
|
| 5 | Решение линейных неравенств с параметрами |
|
| 6 | Решение линейных неравенств с параметрами |
|
| 7 | Модуль и параметр |
|
| 8 | Модуль и параметр |
|
| 9 | Квадратные уравнения, содержащие параметр |
|
| 10 | Квадратные уравнения, содержащие параметр |
|
| 11 | Квадратные уравнения, содержащие параметр |
|
| 12 | Квадратные уравнения, содержащие параметр |
|
| 13 | Квадратные неравенства, содержащие параметр |
|
| 14 | Квадратные неравенства, содержащие параметр |
|
| 15 | Квадратные неравенства, содержащие параметр |
|
| 16 | Свойства квадратичной функции |
|
| 17 | Свойства квадратичной функции |
|
| 18 | Свойства квадратичной функции |
|
| 19 | Свойства квадратичной функции |
|
| 20 | Рациональные уравнения с параметром |
|
| 21 | Рациональные уравнения с параметром |
|
| 22 | Рациональные неравенства с параметрами |
|
| 23 | Рациональные неравенства с параметрами |
|
| 24 | Иррациональные уравнения с параметром |
|
| 25 | Иррациональные уравнения с параметром |
|
| 26 | Иррациональные неравенства с параметрами |
|
| 27 | Иррациональные неравенства с параметрами |
|
| 28 | Показательные уравнения с параметром |
|
| 29 | Показательные уравнения с параметром |
|
| 30 | Логарифмические уравнения с параметром |
|
| 31 | Логарифмические уравнения с параметром |
|
| 32 | Показательные неравенства с параметром |
|
| 33 | Показательные неравенства с параметром |
|
| 34 | Логарифмические неравенства с параметром |
|
| 35 | Логарифмические неравенства с параметром |
|
| 36 | Производная и ее применения |
|
| 37 | Производная и ее применения |
|
| 38 | Производная и ее применения |
|
| 39 | Производная и ее применения |
|
| 40 | Параметры в тригонометрии |
|
| 41 | Параметры в тригонометрии |
|
| 42 | Параметры в тригонометрии |
|
| 43 | Параметры в тригонометрии |
|
| 44 | Графические приемы решения |
|
| 45 | Графические приемы решения |
|
| 46 | Графические приемы решения |
|
| 47 | Графические приемы решения |
|
| 48 | Количество решений уравнений |
|
| 49 | Количество решений уравнений |
|
| 50 | Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями |
|
| 51 | Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями |
|
| 52 | Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями |
|
| 53 | Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями |
|
| 5 | Текстовые задачи с использованием параметра |
|
| 55 | Текстовые задачи с использованием параметра |
|
| 56 | Текстовые задачи с использованием параметра |
|
| 57 | Текстовые задачи с использованием параметра |
|
| 58 | Итоговая контрольная работа по курсу |
|
| 59 | Итоговая контрольная работа по курсу |
|
| 60 – 64 | Защита индивидуальных проектов |
|
Методические рекомендации при изучении некоторых тем
Линейные и квадратные уравнения
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = 
.
2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.
2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
Пример. Решить уравнение
2а(а — 2) х = а — 2. (1)
Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}
и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = 
,
откуда х = 
.
0твет: 1) Если а=0,то корней нет;
2)если а=2, то х – любое действительное число;
3) если а≠0, а≠2 , то х = .
Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами
При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для нахождения решений задачи. Обратить внимание, что тогда неравенства составляются в виде 
аf(A)или аf(A) 0 (а- старший коэффициент).
Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения
(а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а=0
больше числа а, а другой меньше числа а?
Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а нули квадратичной функции
g(х)= (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а
лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а?
Исходя из таблицы, имеем условие: аf(A)
В нашем случае это условие принимает вид
(а2-2) g(а)0.
Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства
(а2-2)((а2-2)а2+(а2+а-1)а-а3+а)а2-2
0 (а =
, а =- требованию задачи не удовлетворяют).
Решая полученное неравенство,
находим, что а (- ; -1) (1; ).
Ответ: При а (- ; -1) (1; ).
Иррациональные уравнения с параметрами
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
Пример. В зависимости от значений параметра 
решить уравнение
(1)
Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.
1.Уравнение (1) равносильно системе
или системе
(2)
Решая уравнение из системы (2), находим
(3)
откуда следует, что при 
уравнение (1) имеет одно решение 
. Если 
, то 
, и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система
,
т.е. при 
Уравнение (1) будет иметь только один корень 
, если 
, а 
. В этом случае решая систему
приходим к выводу, что 
.
Замечая теперь, что при 
дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем
Ответ: если , то решений нет;
если , то ;
если , то 
;
если , то 
.
Заключение
Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики.
Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:
принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;
принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;
принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;
принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.
Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка.
Список литературы.
Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике. – 2-е изд. - Мн. ООО «Асар», 2012. – 464 с.; ил.
Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – 4-е изд. – Просвещение, 2007. – 271 с.; ил.
Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. – 3-е изд. – М.; Илекса, Харьков: Гимназия, 2008, - 336 с.
Дорофеев Г. В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2010. – 672 с.; ил.
Сканави М. И. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – 7-е изд. – М. 1996. – 528 с.; ил.
Подбор задач с параметрами 7-11 классы.
7 класс
1. При каком значении параметра 
, 
является корнем уравнения 
7?
Решение: Так как корень уравнения 7 , то при подстановке в уравнение получим верное равенство
7 , откуда находим 
.
Ответ: при .
2. Решить уравнение 
Если 
, 
, то уравнение примет следующий вид
,
, это уравнение не имеет корней.
Если 
,
Ответ: при , корней нет;
при 
3. Решить уравнение 
относительно переменной 
.
Решение: Раскроем скобки:
Запишем уравнение в стандартном виде:
.
В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если 
, имеем решение
.
Если 
равно нулю, т.е.
, то имеем равенство
, поэтому
– любое число.
Ответ: при 
;
при - любое число.
4.Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 5у – 40 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:
а) (3; 2); б) (9; -1)
5. Найдите значение коэффициента b в уравнении 6х + bу – 35 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:
а) (0; 1); б) (3; 8,5)
6. Найдите значение коэффициента с в уравнении 8х + 3у – с = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел: а) (2; -1); б) (3; 0)
7. При каком значении m решением уравнения mх + 4у – 12 m = 0 является пара чисел: а) (0; 3); б) (12; 0)
8. Дана система уравнений х + ау = 35,bх + 2у = 27.Известно, что пара чисел (5; 6) является её решением, найдите значения а и b.
9. При каком значении р график функции у = рх + 1 пройдёт через точку пересечения прямых 6х – у = 13 и 5х + у = 20 ?
10. При каких значениях р график функции у = р2 – 2рх проходит через точку (-1; 0) ?
8класс
1. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х2+2(а + 3) – 3(а + 3) = 0
имеет более одного корня?
Решение.
Рассмотрим три случая.
1). а и а-3
При таких значениях параметра а уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение имеет более одного корня ( 2 различных ), когда дискриминант Д0.
Д = 4 ( а +3 )2 + 12а ( а + 3 )2 = 4 ( а + 3 )2( 1 + 3а ) 0.
Решая данное неравенство методом интервалов получаем ано так как а, то получаем, что а.
2). а = 0. Тогда данное уравнение принимает вид 6х – 9 = 0 и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
3). а= -3. Получаем уравнение 0х2 + 0х + 0 = 0, которое имеет бесконечное множество решений, что удовлетворяет условию задачи.
Ответ: при а ; а = - 3.
2. При каких значениях a уравнение ax2—x+3=0 имеет единственное решение?
Решение.
Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:
а) a=0. При этом уравнении принимает вид –x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно.
б) a≠0, тогда ax2—x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно чтобы D=0, откуда
ответ: 
или
3. при каких значениях a уравнение (a-2)x²+(4-2a)x+3=0 имеет единственное решение?
Решение.
1)При a=2 исходное уравнение не имеет решения.
2) a≠2, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид
Искомые значения параметра- это корни дискриминанта, который обращается в нуль при
Ответ:
4. Решить уравнение при всех значениях параметра.
c - 2 = x + 2 (Какое значение будет иметь корень уравнения при ?
Ответ: х = с - 4,
5. Решить уравнение при всех значениях параметра.
x + 4 = a - 3 (Выяснить, при каких значениях параметра а корень уравнения равен -7)
Ответ: х = а - 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.
6. Решить уравнение при всех значениях параметра.
b - 8 + 2x = 2b (Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)
Ответ:
7. При каких значениях параметра а уравнение (а2 - 6а + 5) = а - 1 имеет
1) один корень;
2) ни одного корня;
3) бесконечно много корней?
Ответ: 1) а ≠ 1; а ≠ 5;
2) а = 5;
3) а = 1.
Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 6).
8. (2 - х)а = х + 1.
Ответ: а ≠ -1 ⇒x = (2a - 1)/(1+a).
9. (а2 - 1)х = а + 1.
Ответ: а ≠ 1 ⇒ х = 1/(а - 1).
10*. |3x - c| = |x + 2|.
Ответ: с = -6 ⇒x = -2;c ≠ -6 ⇒x1 = 0,5(c + 2), x2 = 0,25(c - 2).
9 класс
1. Найдите все значения параметра а, при которых график функции
у=ах2+2х-а+2 пересекает ось Ох в одной точке.
Решение:1)Если а =0,то у=2х+2—линейная функции, графиком которой является прямая, пересекающая ось Ох в одной точке, т.к. к=2≠0
2)Если а≠0, то у=ах2+2х-а+2 - квадратичная функция, графиком которой является парабола, и пересекающая ось Ох в одной точке, если ув=0
Итак, ув= -(4-4а(-а+2))/4а, ув=0
-(4+4а2-8а)/4а=0,
(4а2-8а+4)/4а=0
Т.к. а ≠ 0, то 4а2-8а+4=0,
а2-2а+1=0,
(а-1)2=0,
а=1.
2. Найдите все значения m, при которых парабола у=х2- х+1 имеет с прямой х + my - 1= 0 одну единственную общую точку.
Решение: Парабола и прямая имеют единственную общую точку, если система y=x2-x+1,x+my -1=0 имеет единственное решение.
Выясним, при каких m это возможно:
y=x2-x+1,
x+my-1=0;
x=1-my,
y=(1-my)2-(1-my)+1.
Преобразуем второе уравнение системы:
у=1-2my+m2y2 - 1+my+1,
m2y2 – (1+m)y+1=0.
Очевидно, что рассматриваемая система имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет единственное решение.
Если m=0, то уравнение примет вид: у+1=0, которое имеет единственное решение и условие задачи выполняется.
Если m ≠ 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение, если его D=0
D = (1+m)2- 4m2= 1+2m+m2- 4m2= 1+2m-3m2,
3m2- 2m -1 = 0
Ответ: 0; 1.
3. Найдите все значения а, при которых уравнение |3|x| - a2| =x – a имеет ровно три различных решения. (Ответ: а=-3, а=-1)
4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||x – a| - 2| =x+4 имеет бесконечное число корней. (Ответ: а=-2, а=-6)
Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает график функции у= ||2x – 10|-4| в четырех различных точках. (Ответ: 0k
5. Найдите все положительные значения k, при которых прямая y=kx пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями:
1, если |x|≤ 3
у= -2x-5, если х
2x-5, если x3
(Ответ: 
k
6.Найдите все значения m, при котором точки А(-3;15), В(9;-5) и С(24;m) лежат на одной прямой. (Ответ: m=-30)
7. Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых у=2х+1 и у=а-5х находится в первой координатной четверти. (Ответ:а1)
8. Парабола у=х2+bx+c, симметричная относительно прямой х=-2, касается прямой у= х+3. Найдите коэффициенты b, c. (Ответ: b=4,c=4)
9. При каких значениях а парабола у=3х2-2ах+4 и прямая у=а-2 не имеют общих точек? (Ответ: -6a
10. Постройте график функции y=f(x), где
2x2+8x+8, если x
f(x) = |x|+1, если -1≤x≤3
, если x3.
При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции три общих точки. (Ответ: m (0;1)∪(2;4))
10-11 класс
1. При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
больше чем 12?
Решение: Дискриминант уравнения равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и 
. Отсюда 
. Решениями неравенства
12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a 2.
Ответ: a 2.
2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения |x²-7|x|+6| =а .
Решение:
Заметим, что количество решений уравнения
|x²-7|x|+6| =а .
равно количеству точек пересечения графиков функций
y= |x²-7|x|+6| и y = a.
График функции y=x²-7x+6=(x
)²- 
показан на рис.1.
Рис.1
Рис. 2
Рис. 3
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 a a = 6 – семь решений; при
6 a a 25/4 – два решения.
Метод симметрии.
Довольно часто среди задач с параметрами встречаются такие, в которых требуется единственность решения. В ряде случаев необходимо обратить внимание на внешний вид условия задачи. Различного рода симметрии (симметрия областей значений, областей определения; симметрия относительно переменных) могут значительно упростить поиск искомых значений параметра.
Для решения задач данным методом можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1.Изучить условие задачи.
2. Выполнить преобразования.
3. Решить задачу в данном виде.
3.Выбрать достаточное условие для даной задачи .
3. Найти все значения параметра b, при которых уравнение
имеет единственное решение. [1]
Решение:
Уравнение не меняет своего вида при замене x на (−x) (ведь x ² и cos x это чётные функции).
Уравнение симметрично относительно преобразования x → (−x) (по другому относительно отражения в начале координат). Значит, данной симметрией будут обладать и решения данного уравнения. Если x₀ — корень уравнения , то и число (−x₀) будет его корнем. Однако, условию задачи решение должно быть одно. Соответственно, корнем уравнения является ноль. Если уравнение имеет ненулевое решение, то всего решений будет как минимум два.
Подставляя x = 0 в уравнение , получаем
.
Это — необходимое условие на b (только при таком b уравнение может иметь нулевое решение).
Является ли это условие достаточным; то есть, окажется ли при b = ctg 1 нулевое решение и в самом деле единственным, или же уравнение будет иметь и другие корни помимо нуля.
Для выяснения условия достаточности значение b подставляется в уравнение :
Тангенс является возрастающей функцией на интервале (–
; ) . Косинус, являющийся аргументом тангенса, принимает значения из отрезка [−1; 1], а этот отрезок находится внутри интервала (– ; )
Тогда, справедливо неравенство tg(cos (x))
Итак, при b = ctg 1 уравнение имеет единственное (нулевое) решение. Ответ: b = ctg 1.
Метод изменения ролей переменных.
Достаточно часто бывает необходимым поменять роли искомой переменной и одного из параметров, чтобы, по крайней мере, получить возможность проведения анализа представленного условия. Достаточно часто бывает, что степень искомой переменной гораздо выше, чем степень входящего в условие параметра. Изменение ролей в этом случае приводит к реальному упрощению процесса решения.
Для решения задач данным методом можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. Выполнить преобразования исходя из условия задачи.
3. Решить задачу в данном виде.
3.вернуться к первоначальному варианту и завершить решение.
4. Указать все значения параметра а , для которых уравнение имеет решение: [4]
=sinx
Sinx = t
│t│
=t
│t│
Решение: Обозначим исходное уравнение равносильно системе
рассмотрим квадратное уравнение относительно параметра, найдём дискриминант данного уравнения :
(2
или
Последняя система равносильна
y= t²-t (
)[ ;0]
Ответ 
5. При каких значениях параметра уравнение
имеет единственный корень?
Ответ: 
) .
6. При каких значениях параметра уравнение 
имеет ровно три корня?
ответ:
.
7. При каких уравнение 
имеет ровно три корня?
Ответ:
.
8. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
ответ: 
.
9. Найти все значения параметра 
, при которых система
имеет ровно два решения.
ответ: 
10. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение 
имеет два корня.
ответ: 
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
