Прогрессии(Вперед в прошлое)

Внеклассное мероприятие.

Устный журнал.

Вперед в прошлое.

Цель мероприятия: расширить кругозор учащихся, повысить их интеллект, общую культуру, интерес к изучению математики, к истории математики, познакомить с развитием темы «Прогрессия».

Оборудование: плакаты с высказываниями, портреты великих математиков, математические газеты, таблицы.

1^й ученик. Почему торжественность вокруг?

Слышите, как смолкла речь?

Это о царице всех наук

Начинаем мы сегодня вечер.

2^й ученик. Не случайно ей такой почет.

Это ей дано давать ответы,

Как хороший выполнить расчет,

Для постройки здания, ракеты.

3^й ученик. Есть о математике молва,

Что она в порядок ум приводит.

Потому хорошие слова

Часто говорят о ней в народе.

4^й ученик. Ты нам, математика, даешь

Для победы трудностей закалку,

Учится с тобою молодежь

Развивать и волю и смекалку.

5^й ученик. И за то, что в творческом труде

Выручаешь в трудные минуты,

Мы сегодня искренне тебе

Посылаем гром аплодисментов.

Учитель. Дорогие ребята! В школе вы изучаете основы всех наук, причем математикой занимаетесь почти каждый день с первого класса и каждый день открываете что – то новое. Без математики нельзя изучить ни физику, ни химию, ни географию, ни черчение и даже в рисовании без нее не обойтись. Предлагаем вам узнать о математике, а именно о прогрессиях, много нового и интересного. Сейчас вам покажут необычный «Устный журнал». Он называется «Вперед-в прошлое». Его не надо читать, нужно только смотреть и слушать, отвечать на вопросы. Он перенесет в прошлое, и вы увидите, что много лет назад люди учили, решали и знали прогрессии.

1. Страница первая .

Арифметические прогрессии в древности.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Одна из самых древних задач на прогрессии записана в египетском папирусе Ринда, найденном в 1872 году в тайниках одной из пирамид. Ширина найденного папируса 33 см , длина 544 см. Написан папирус около 4000 лет назад . Сейчас этот папирус хранится в Лондоне. Он был приобретен английским собирателем предметов старины Риндом и поэтому называется папирусом Ринда . Среди прочих ,в нем имеется такая задача

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того двое первых должны получить в семь раз меньше трех остальных . Сколько нужно дать каждому ?

Попробуем решить эту задачу , рассмотрев арифметическую прогрессию и составив систему

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅ = 100

7(а₁+а₂) = а₃+а₄+а₅

Решая, получим прогрессию 10/6, 65/6, 120/6, 175/6, 230/6. Значит, 1^й получит 1 ²/₃ мер хлеба, 2^й----10⁵/₆меры хлеба, 3^й----20 мер, 4^й---29¹/₆ , 5^й-----28 ¹/₃ мер хлеба.

В одной из задач папируса Ринда дается выражение для первого члена убывающей арифметической прогрессии. В современной символике это выражение можно записать так

а = S / n - (n-1) ^d / ₂ ,

где а-первый член арифметической прогрессии, n -число членов, S - сумма n членов, d -разность.

Задание ученикам. Докажите, что эта формула совершенно правильна.

А вот еще одна древневавилонская задача. 10 братьев , 1 ²/₃ мины серебра. Брат над братом поднимается ,на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько выше ?

Итак, 1 ²/₃ мины ( 1мина=60шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так , чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии ,зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики ,ни готовых формул, вынужнен придерживаться строго арифметических рассуждений.

Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли ), деля 1 ²/₃ мины на 10 и получая 10/60 мины, ее умножает затем на два . Итак, удвоенная средняя доля есть 20/60 мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого брата, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого, отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет 8/60 мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии, равная 1/5 от 8/60 мины, или 1/60 + 36/3600 мины.

2. Страница вторая.

Геометрические прогрессии в древности .

В одном древнегреческом папирусе приводиться задача:

Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7мышей, каждая мышь съедает по7 колосьев, каждый из которых , если посеять зерно дает по7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев, и мер зерна.

Решение этой задачи приводит к сумме 7+7²+7³+7⁴+7⁵, т. е. сумме пяти членов геометрической прогрессии, где первый член равен 7, разность прогрессии равна 7. Получим,

S₅=7(7⁵-1)/(7-1)=19607.

Издавна большой популярностью пользуется задача-легенда о шахматах ,о которой мы узнали на уроках. Сейчас мы расскажем другую задачу-легенду «НАГРАДА».

Вот что по преданию произошло много веков назад в Древнем Риме.

Полководец Терентий по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.

Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные заслуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате.

Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:

-Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать, прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.

-Чего желал бы ты от меня , Теренций,—спросил император.

-Выслушай со снисхождением , государь. За долгие годы военной жизни ,изо дня в день обагряя меч свой кровью , я не успел устроить себе денежного благополучия .Я беден государь.

-Продолжай, храбрый Теренций.

-Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, то пусть щедрость твоя поможет мне дожить в достатке годы подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.

Император, гласит легенда, не отличался щедростью. Он любил копить деньги на себя и скупо тратил их на других. Просьба полководца заставила его задуматься.

-Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной?-спросил он.

-Миллион динариев, государь.

Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову.

Наконец император эаговорил.

-Доблестный Теренций ! Ты великий воин. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.

Теренций поклонился и вышел.

На следуюшее утро в назначенный час полководец явился во дворец императора и смиренно склонил голову.

-Я пришел государь, чтобы выслушать твое решение.

Император ответил:

-Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои заслуги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету ,стоящую 4 брасса , в четвертый – стоящую 8 брассов и так далее, все удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока у тебя хватит сил поднимать монеты, будешь ты их выносить из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе, ты должен пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету,остановись , уговор наш кончится . Но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.

Жадно впивал Теренций каждое слово, сказанное императором. Ему чудилось огромное множество монет , одна больше другой, которые он вынесет из казначейства.

-Я доволен. Поистине щедра награда твоя, мой император,-ответил Теренций.

Начались ежедневные посещения Теренцием казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной императора ,и первые переходы не стоили Теренцию никаких усилий.

В первый день вынес он всего один брасс. Это небольшая монета ,21 мм в поперечнике и 5г весом .

Легки были и следуюшие переходы.

Седьмая монета весила в наших современных мерах 320г и имела в поперечнике 8,5см (точнее 84мм).

На восьмой день пришлось вынести монету, соответствуюшую 128 единичным монетам. Она весила 640г и была шириною около 10,5см.

На девятый вынес монету весом более 1,25кг, шириной 13см.

На двенадцатый день монета достигла почти 27см в поперечнике и весила 10,25 кг.

Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монеток .

На четырнадцатый день Теренций вынес тяжелую монету в 41кг весом и около 42см шириной.

-Не устал ли ты, мой храбрый Теренций ?-спросил его император, сдерживая улыбку.

-Нет, государь мой, –хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.

На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32768 единичным монетам и весившая 164кг, поперечник ее достигал 67см .Полководец был обессилен и тяжело дышал.

Когда Теренций явился в приемную залу императора на следующий день, он был встречен громким смехом. Теренций не мог уже нести свою ношу в руках, а катил ее впереди себя. Монета имела в поперечнике 84см и весила 328кг.

Восемнадцатый день был последним. Пользуясь своим копьем, как рычагом, Теренций едва вкатил монету весом 655кг. С грохотом упала она к ногам императора.

-Не могу больше , довольно, –прошептал полководец.

Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций.

Сосчитаем и мы.

В1день 1 брасс весом 5г

2 2 брасса 10г

3 4 брасса 20г

4 8 40г

5 16 80г

6 32 160г

7 64 320г

8 128 640г

9 256 1кг280г

10 512 2кг560г

11 1024 5кг120г

12 2048 10кг240г

13 4096 20кг480г

14 8192 40кг960г

15 16384 81кг920г

16 32768 163кг840г

17 65536 327кг680г

18 131072 655кг360г

Найдем сумму первых восемнадцати членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. S₁₈=(2¹⁸-1) 18=262143 (брасса).

Теренций просил у императора 1 миллион динариев ,т. е. 5 000 000 брассов ( 1динарий=6 брассам). Значит, он получил меньше просимой суммы в

5 000 000 : 262143 = 19 раз

Вот как император наказал дерзкого полководца.

3. Страница третья.

Архимед и Штифель.

Великий Архимед (ок. 287-212 до н.э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял особый метод , для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Например, он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел

1²+2²+3²+4²+…+n²=1/6*n*(n+1)(2n+1),

хотя ею пользовались и до него.

Архимед, по –видимому, первый обратил внимание на связь между прогрессиями. В «Псаммите» (Исчисление песчинок) он впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии .

Но в печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г, когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу

В верхней строке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней-геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической , это очень важный факт.

А теперь представьте себе, что вы не умеете умножать и делить, но вам потребовалось умножить, например, ½ на 128. В таблице над ½ написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа.-1+7=6. Под числом 6 читаем 64. Это и есть искомое число.

Другой пример. Разделим 32 на 8.Поступим аналогично: 32—5, 8—3, 5-3=2, 2—4,значит,

32:8=4.

Если вспомнить тождества а^ка^т =а^к+т, а^к:а^т=а^к-т, а нижнюю строчку таблицы Штифеля переписать так:

2^-4 2^-3 2^-2 2^-1 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ 2⁵ 2⁶ 2⁷ 2⁸,

то нетрудно сообразить, в чем тут дело. Если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. Это удивительное открытие. Но как улучшить таблицу Штифеля? Надо ее «уплотнить», вставляя между числами их среднее арифметическое и среднее геометрическое соответственно в верхней и нижней строке. Уменьшая расстояния между соседними числами, мы можем уменьшить их, скажем, до 0,01 и даже еще меньше. Именно этот путь привел в начале 17века швейцарского математика И . Бюрги и шотландца Д.Непера к созданию таблиц логарифмов, о которых вы узнаете в старших классах.

Вот куда ведут прогрессии - недаром само слово progressio означает «движение вперед».

4.Страница четвертая.

Пифагор и Алкуин.

В древней Греции жил ученый Пифагор (род. Около 580г. ,умер в 500г. до н. э.) На юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейская школа сыграла большую роль в развитии науки древних. Там было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Вот задача, приписываемая Пифагору.

Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат

1+3+5+7+9+11+….= n²

В пифагорейской школе это положение доказывалось геометрически.

Посмотрим на рисунок.

На рисунке изображен первый квадрат. Его как бы охватывают 3 таких же квадрата, стоящие уголком ( такой уголок древнегреческие математики называли гномоном )и образуют с первым квадратом новый квадрат, состоящий из 4 квадратов.

Значит, если к 1 прибавим гномон 3, получаем квадратное число 4,

Если к 4 прибавим гномон 5, получаем квадратное число9,

Если к 9 прибавим гномон 7, получаем квадратное число 16,

И так далее.

Правда, красивое решение?

Задание ученикам. Докажите эту формулу современными методами.

Алкуин (ок. 735-804 гг.)

О начале жизненного пути Алкуина известно немного. Родился он в Йорке ( Ирландия ).Воспитывался в монастыре. Впоследствии Алкуин прославился как один из образованнейших людей своего времени. Алкуин окончил монастырскую школу и занялся педагогической деятельностью, много путешествовал. Во время одного из путешествий в 772г. Алкуин встретился с франкским королем Карлом Великим, после чего в 780г. Карл призвал его ко двору и назначил его придворным учителем. Его перу принадлежит руководство по математике « Задачи для изощрения ума юношей». В задачнике Алкуина можно встретить и арифметическую прогрессию. В то время не умели находить сумму произвольной арифметической прогрессии, однако в частных случаях предлагали остроумные способы ее отыскания.

Задача 42. Лестница имеет 100 ступеней. На первой сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три, и так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

Алкуин так находит сумму этой прогрессии. На 1-й и 99-й ступенях сидят всего 100 голубей, на 2-й и 98-й тоже 100 и т. д. Таким образом, на лестнице 49*100+50+100= 5050

голубей.

Задание ученикам. Вспомните, у кого вы видели похожее решение похожей задачи.

5.Страница пятая.

Занимательная.

1. Предсказание.

На каком – нибудь листке помесячного табель – календаря зритель заключает в квадрат шестнадцать чисел. Показывающий после беглого взгляда на обведенную фигуру записывает предсказание -число. Затем зритель выбирает в квадрате четыре числа, по возможности произвольных, но с соблюдением следующего правила. Первое из чисел выбирается (обводится кружочком )совершенно произвольно. Затем вычеркиваются все числа .находящиеся в той же строчке и в том же столбце, что и только что обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести любое число, оставшееся незачеркнутым. После этого он вычеркивает все числа, оказавшиеся в одной и той же строчке и в одном и том же столбце со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие строчка и столбец вычеркиваются. В результате этих операций останется незачеркнутым одно единственное число. Его зритель также обводит кружочком. Если теперь взять сумму четырех отмеченных нами чисел, то она окажется в точности равной предсказанному числу.

(Секрет в том, что сумма чисел, выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца квадрата, равна сумме чисел по диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии(с разностью 8) и равна , в силу известной формулы, удвоенной сумме первого и последнего члена.)

Объяснение. Показывающий замечает два числа ,находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата. Какая из двух возможных пар это будет - безразлично.

Чтобы получить ответ, нужно сложить эти два числа и найденную сумму удвоить.

П 1 8 15 22 29

В 2 9 16 23 30

С 3 10 17 24

Ч 4 11 18 25

П 5 12 19 26

С 6 13 20 27

В 7 14 21 28

1+9+17+25=(4+22)*2=52. Предсказание -- 52.

2.Составь магический квадрат.

Напомним, что магический квадрат-это квадрат, у которого сумма чисел в каждом столбце равна сумме чисел в каждой строке, равна сумме чисел в каждой диагонали.

Попробуйте, составьте магический квадрат 3 * 3 за несколько минут.

Ну что, трудно? Нам поможет арифметическая прогрессия.

Дело в том , что из каждых девяти последовательных членов арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. В самом деле , пусть дана арифметическая прогрессия:

a , a+d , a+2d, a+3d, a+4d, a+5d , a+6d, a+7d, a+8d,

где а и d - натуральные. Расположим ее члены так, как показано на рисунке

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат , константа которого равна 3a+12d.

Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали равна 3a+12d

1^й ученик. Ну вот – закончились страницы.

В кругу друзей «прочтен» журнал.

И даже Архимед Великий

Сегодня нам всем помогал.

Вперед, друзья, дела-за вами!

Вперед прогрессия зовет.

За вами--- тысячи открытий.

За грани «неоткрытого» полет!

Учитель. Вот и закончился наш журнал, дорогие ребята! Надеемся, что он был познавательным и поучительным для вас, что вы узнали много нового и интересного и о математиках и о связях математики с повседневной жизнью, ну и, конечно, о прогрессиях.