Проектно-исследовательская работа по теме «Объем тел вращения»

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение "Альметьевский профессиональный колледж"

Проектно-исследовательская работа по теме

«Объем тел вращения»

Работу выполнили: студенты 2 курса

13.02.11«Техническая эксплуатация и

обслуживание электрического и

электромеханического оборудования»

Русяев Александр Иванович

Шарифуллин Ислам Ильдарович

Руководитель: Галиуллина Галия Науфаловна

г. Альметьевск, 2019 г.

Паспорт проектной работы

Содержание

1. Введение

2. История изучения объемов тел

3. История измерения объемов тел

4. Объем тел вращения

1. Цилиндр

2. Конус

3. Шар и сфера

1. Заключение

2. Литература

1. Введение

Для людей всегда важную роль играет форма окружающих предметов. По форме и цвету отличают съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Люди, добывая соль, наблюдая за снежинками, наталкиваются на кристаллы, имеющие геометрические формы. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими телами. Среди них есть и тела вращения. Действительно, вокруг нас все предметы напоминают различные геометрические фигуры. В нашем доме холодильник, микроволновая печь, газовая плита, кухонный шкаф, стиральная машина имеют форму прямоугольного параллелепипеда, на полках нашего холодильника стоят банка сгущенки, банка молока, консервы, кусок колбасы, они имеют форму цилиндра. Обычная горошина, капельки росы имеют форму шара.

Для чего нужны тела вращения? Что такое объем тела вращения? Как вычислить объемы цилиндра, конуса, шара? Вопросы, связанные с решением задач на нахождение объема геометрического тела, актуальны для каждого так, как они встречаются не только на уроках математики, но и на практике.

1. История изучения объемов тел

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением. Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит и Евдокс Книдский.

Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см³ и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут

V = 2 см³.

1. История измерения объемов тел

В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.

Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел. Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.

П
ерепишем формулу объема прямоугольного параллелепипеда в виде V = S H , где S = a b – площадь его основания, а H – высота. Рассмотрим прямоугольную треугольную призму.

Ее легко «перекроить» в прямоугольный параллелепипед

Объем V, площадь основания S и высота H параллелепипеда будут такими же, как у призмы. Следовательно, объем прямой треугольной призмы вычисляется по формуле: V = S H. Поскольку любую прямую призму можно разрезать на треугольные (рис.в), для нее справедлива та же формула.

1. Тела вращения

1. ЦИЛИНДР

Интересный исторический факт про цилиндр. Джон Гетерингтон гулял вчера по тротуару набережной, имея на голове громадную трубу, сделанную из шелка, отличавшуюся странным блеском. Действие ее на прохожих было ужасным. Многие женщины при виде этого странного предмета лишались чувств, дети кричали, а один молодой человек, возвращающийся как раз от мыловара, у которого он сделал несколько покупок, был сбит в давке с ног и сломал руку. По этому случаю господину Гетерингтону пришлось вчера отвечать перед лорд-мэром, куда он был приведен отрядом вооруженной полиции. Арестованный объявил, что он считает себя вправе показывать своим лондонским покупателям новейшее свое изобретение, с каковым мнением лорд-мэр, однако, не согласился, присудив изобретателя блестящей трубы к уплате штрафа в 500 фунтов стерлингов.

ЦИЛИНДР – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её

Цилиндр Осевое сечение цилиндра Сечение цилиндра плоскостью,

перпендикулярной

к оси

1. КОНУС

Интересный исторический факт про конус. Есть много интересных фактов о конусе. Во многих религиях и учениях, конус имеет культовое значение. Имеется множество обрядов, в которых затрагивается магические свойства конуса, например, у ведьм и колдуний имеется ритуал - «конус силы».

КОНУС — тело в евклидовом пространстве, полученное объединениемвсех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность

Развертка и площадь поверхности конуса - если боковую поверхность конуса разрезать по какой-нибудь образующей и развернуть ее на плоскости, то получится развертка боковой поверхности конуса 

Сечения конуса плоскостью - конус и плоскость могут иметь в пересечении часть конуса. В этом случае мы получаем различные сечения. Пусть плоскость сечения проходит через две образующие конуса.

Конус Развертка прямого конуса

Осевое сечение конуса Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной

к оси

1. СФЕРА и ШАР

Интересный исторический факт про шар. Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.

СФЕРА - поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Сечение - всякое сечение шараплоскостью есть круг, асферу плоскостьпересекает поокружности.

Чем дальше проходит секущая плоскость от центра сферы, тем меньше радиус сечения.

ШАР- геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Шар Сечение шара плоскостью

Таблица формул вычисления объемов тел

Исследование на тему «Как помогают экономить тела вращения?»

Задачи:

1. Доказать, что при равных объёмах площадь сферической поверхности меньше площади цилиндрической поверхности.

2. Найти применение полученным расчётам.

3. Объяснить шарообразную форму природных объектов.

Гипотеза. Природа экономит за счёт сферы.

Ход исследования.

Сначала обратим внимание на предметы сферической формы.

Это планеты, спутники, лампы, чайники, самовары, капли воды, камни и другие.

Задача. Два самовара вмещают одинаковое количество стаканов. Один имеет форму шарообразную, а другой цилиндрическую. Определим, какой из них экономичней.

или

План исследования:

1. объёмы цилиндра и шара равны V_цил = V_ш, пусть r_цил=h_цил

2. Объём цилиндра и шара рассчитать по формулам

Vцил =πr²h,

V= πr³

3. Приравнять значения объёма цилиндра и шара

4/3πR³= πr³,4/3R³=r³,4R³=3r³;

4. Выразим R_ш через r_цил; R³=3/4 r³.

5. Сравнить радиусы цилиндра и шара R_ш r_цил

6. Рассчитать площадь шара по формуле

S_ш= 4 πR²; площадь цилиндра по формуле S_цил = 4πr²

7. Сравнить площади шара и цилиндра S_ш S_цил

При равном V, S_шS_цил , следовательно шарообразный самовар экономичнее цилиндрического.

Результат: При равном V, S_ш S_цил, следовательно шарообразный самовар экономичнее цилиндрического, так как остывает медленнее.

Вывод: В результате исследования было подтверждено, что тела, имеющие сферическую поверхность экономнее, т.е. занимают меньшую площадь. Этим объясняется изобилие предметов, имеющих шарообразную форму.

1. Заключение

В процессе проведения данной проектной работы увидели, сколько самых разнообразных геометрических фигур, тел и поверхностей использует человек в своей повседневной жизни, в своей деятельности. Вокруг нас находится большое количество предметов, имеющих форму геометрических фигур. При исследовании по данной теме мы добились поставленных целей: не много узнали о истории геометрии, изучили геометрические фигуры вокруг нас. Невозможно представить современную жизнь без геометрических фигур, мы живем среди них, они нам нужны.

Объем тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Тела вращения нам в жизни нужны, так как красота и духовность в сочетании с целесообразностью рождает гармонию. А еще мы должны уметь рассчитывать какое количество материала нужно приобрести для изготовления предмета, имеющего форму тел вращения.

Например, цилиндр - предметы имеющие эту форму встречаются в быту, в технике и в строительстве.

VI. Литература

1. История математики. Т. 1 /Ппод ред. Юшкевича А.Г. - М., 1970

2. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М: Аванта плюс, 2002.

3. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. - М: Издательство АСТ, 1999.

4. Ворошилов А. В. Математика и искусство. - М. просвещение, 1992. - 352

5. Рыбников К. А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 495 с

6. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. - М.: Аванта +, 1999.

7. http://nsportal.ru/detskii-sad/raznoe/skazka-o-geometricheskikh-figurakh

8. http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/blog/geometriya-v-nashei-zhizni

9. http://psiholog1.com/testydlyavseh/test-risunok-chelovechka-in-geometricheskix-figur. html

10. Энциклопедический словарь юного натуралиста/ сост. А.Г Рогожкин. - М. : Педагогика, 1981.

11. Энциклопедия для детей. Математика. - М. : Аванта +, 2003. 11

12. http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/geom_rapsodiya.html - Левитин К.Ф.

13. https://infourok.ru/voprosi-po-matematike-po-teme-tela-vrascheniya-1513831.html