Проектная работа " Аннуитетные и дифференцированные платежи при решении банковских задач" Куприянова В.И - ученица 11 класса, научный руководитель Тирский АС

МБОУ Районная гимназия «Эврика» Проектная работа « Аннуитетные и дифференцированные платежи при решении банковских задач» Выполнила: ученица 11 кл Куприянова Вика Научный руководитель: учитель математики Тирский А.С. г.Олекминск Содержание Аннотация ……………………………………………………............. Аннуитетные платежи………………………………………………. Задачи…………………………………………………………………. Дифференцированные платежи…………………………………… Задачи…………………………………………………………………. Главная задача………………………………………………………. Заключение…………………………………………………………… Список литературы…………………………………………………. Аннотация Актуальность: В настоящее время банковская система играет значительную роль в экономике нашей страны. Огромное количество людей вкладывает свои средства в банки под проценты, берут кредиты. Планирование семейного бюджета, выгодное вложение денег в банки невозможны без умения производить процентные вычисления. Новизна: Решение банковских задач носит не абстрактный характер, а используются в повседневной жизни человека в вопросе планирования семейного бюджета. Гипотеза: Возникает ли объективная возможность рационально спланировать семейный бюджет, решая вопрос о целесообразности взятия кредита в банке, на примере аннуитетных или дифференцированных платежей, учитывая уровень дохода и финансовые потребности семьи? Цель: Показать важность и необходимость применения математики в планировании семейного бюджета на примере решения задачи: 1 января 2022 года Виктор Геннадьевич взял кредит в банке на сумму 2 млн рублей под 26% годовых для покупки нового автомобиля, стоимостью 1,5 млн рублей, учитывая то, что для покупки автомобиля нужно построить гараж, стоимостью 300000 рублей. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы весь долг с % выплатить за 5 лет, при этом ,внося платеж в виде фиксированного транша? Целесообразно ли взять такой кредит, основываясь на бюджете семьи и их затратах, или лучше от такого кредита отказаться? Задачи: 1. Изучить аннуитетные и дифференцированные платежи. 2. Рассмотреть большинство типов банковских задач на кредиты с аннуитетными и дифференцированными платежами. 3. Применить полученные знания для решения практической задачи Аннуитетные платежи

Аннуитетные платежи-это вид платежа, выплаты которого осуществляются равными частями через равные промежутки времени. Размер взноса остается неизменным на протяжении всего периода кредитования. Сам платеж складывается из двух частей — основного долга и процентов, которые начисляются банком.

Главная особенность в том, что в начале ежемесячный взнос практически полностью уходит на уплату процентов, тогда как основной долг заемщика не уменьшается. Постепенно это соотношение выравнивается: если первое время вы гасите в основном проценты, то потом средства идут в счет задолженности.

Так банк себя подстраховывает: он получает проценты авансом и почти ничего не теряет, даже если ипотека выплачивается раньше срока. При дифференцированной системе в начале заемщик делает крупные ежемесячные взносы, но с каждым месяцем их размер уменьшается. Это происходит за счет того, что тело кредита гасится равными частями на протяжении всего периода кредитования, а уже поверх фиксированной суммы начисляются проценты. При досрочном погашении ипотеки переплата будет меньше: разница особенно ощутима при больших суммах и сроках кредитования.

Плюсы:

• У аннуитетных платежей есть преимущества. Прежде всего, это простота. Аннуитет более удобен в бытовом смысле — заемщик точно знает, какую сумму нужно вносить каждый месяц, и может заранее планировать бюджет. Намного легче запомнить одну цифру, чем постоянно сверяться с графиком платежей.

• Аннуитет также подходит тем, кто хочет уменьшить размер ежемесячного взноса, растянув платежи по кредиту на более продолжительный период. Но помните, что при увеличении срока кредита растет и сумма переплаты.

• Важное преимущество аннуитета — его доступность. Ипотеку с такой схемой погашения можно оформить в любом банке. А требования к заемщику будут мягче, чем при выборе дифференцированного платежа. Поскольку ежемесячный взнос по аннуитету всегда меньше первого взноса по дифференцированной системе, вы можете брать более крупные суммы. Дело в том, что в первую очередь банки обращают внимание на соотношение платежа с доходами потенциального заемщика. Аннуитет повышает доступность кредитных продуктов, особенно если речь о крупном долгосрочном займе.

Минусы:

• Но из-за переплаты по процентам кредит с аннуитетной схемой всегда дороже, и с этой точки зрения заемщику выгоднее дифференцированные платежи.

• Если доходы позволяют платить ежемесячные взносы большими суммами, лучше выбирать дифференцированную систему. Если же вы не готовы платить больше на начальном этапе, вам подойдет аннуитет.

Досрочное погашение:

Зная о переплатах при аннуитете, многие ипотечные заемщики задумываются о том, чтобы погасить кредит досрочно — если не полностью, то хотя бы частично.

Такую возможность дают все российские банки. Клиент может выбрать — сократить либо сумму ежемесячного платежа, либо срок кредита. Чтобы не ошибиться, заранее продумайте, что для вас важнее — заплатить банку меньше денег или снизить свои текущие расходы.

Например, уменьшая срок погашения, вы минимизируете общую переплату. Это логично: чем меньше заемщик пользуется кредитом, тем меньше процентов он платит. Если уменьшить ежемесячный взнос, вы сразу получите свободные средства.

Специалисты рекомендуют уменьшать обязательный платеж, но при этом продолжать выплачивать полную сумму, установленную первоначально. Во-первых, так вы сократите срок погашения.

Во-вторых, при появлении материальных трудностей вы сможете снизить финансовую нагрузку и платить только минимальный обязательный платеж. Такая схема позволяет уменьшать срок ипотеки и переплату тогда, когда это комфортно для бюджета. Минус такой комбинированной схемы в том, что переплата по процентам будет больше, чем при сокращении срока.

Какой бы варианты вы ни выбрали, имейте в виду: при аннуитетных платежах выгода от досрочного погашения всегда будет напрямую зависеть от оставшегося срока кредита. То есть чем ближе его конец, тем менее выгодно погашать ипотеку досрочно.

Задачи

Рассмотрим задачу, на отыскание ежегодного транша при известной сумме кредита и процентной ставки :

Задача 1

31 декабря 2018 года Никита взял кредит в банке на сумму 9930000 под 10% годовых. Схемы выплат кредита следующая:

31 декабря каждого года банк начисляет % на оставшуюся сумму долга(т.е. долг увеличивается на 10%), затем Никита переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть ежегодная выплата, чтобы весь долг вместе с процентами Никита выплатил его тремя равными платежами.

Решение:

Пусть S-сумма кредита, S=9930000 рублей r-процентная ставка банка, r=10%, тогда

Пусть x- ежегодный платеж, тогда:

- остаток долга после первого транша

- остаток долга после второго транша

- остаток долга после третьего транша

так как после третьей выплаты(3 год) кредит был погашен, то

решим уравнение в общем виде:

Теперь подставляем числовые значения S=9930000, к=1,1, получаем

Ответ: 3993000 руб

Вычисление срока займа кредита

рассмотрим задачу на отыскание срока кредита при известной сумме кредита и процентной ставки:

Задача 2.

1 января 2015 года Игорь взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая:

1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10% на оставшуюся сумму долга(т.е. увеличивает долг на 1%)

Затем Игорь переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Игорь может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275000 рублей.

Решение:

S-сумма кредита, S-=1,1 млн рублей r-процентная ставка банка, r=10%,

Чтобы выплатить долг минимальным количеством месяцев, нужно чтобы ежемесячные выплаты были максимальными, а исходя из условий, можно сделать вывод, что ежемесячные выплаты составляют 275000.

Пусть x-ежемесячные выплаты, тогда:

1 месяц: - остаток долга после первой выплаты

2 месяц: - остаток долга после второй выплаты

3 месяц: - остаток долга после третьей выплаты

4 месяц: - остаток долга после четвертой выплаты

5 месяц: - остаток долга после пятой выплаты

6 месяц:

если мы выплатим 275000 рублей, то у нас будет переплата, значит на 6 месяце мы выплачиваем остаток долга за 5 месяц и проценты от остатка, а значит кредит будет погашен.

Делаем вывод, что минимальным количеством будет 6 месяцев.

Ответ: 6 месяцев

Вычисление процентной ставки банка

Задача 3.

31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая:

31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на r%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Решение.

Пусть S— сумма кредита.

Обозначим ежегодные платежи , , получаем:

1) - остаток долга после первой выплаты

- остаток долга после второй выплаты

остаток долга после третьей выплаты

- остаток долга после четвертой выплаты. По условию

2) - остаток долга после первой выплаты

- остаток долга после второй выплаты

По условию,

Получаем систему уравнений

Разделив второе уравнение на первое, получим

Подставляя данные, получаем:

Значит,

Получаем, что

Ответ: 20%

Вычисление отдельно взятого транша

Задача 4

Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10% оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Решение.

k=1+0,01r=1,1

Обозначим сумму кредита через S

Пусть третий платеж равен x рублей. Тогда первые два платежа 4x и 2x рублей соответственно.

сумма долга(после 1 года кредитования):

_{ }Sk – 4x

сумма долга(после 2 года кредитования):

_{ }(Sk – 4x)k-2x =S_{ }

сумма долга(после 3 года кредитования):

По условию третья выплата равна нулю, поэтому

_{ }=0

x=_{ }

При S=804000 и k=1,1 ,получаем

x=_{ }=133100

Ответ: 133 100 рублей.

Вычисление суммы кредита

Задача 5

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равного1,458млн руб.

Сколько млн рублей было взято в банке, если известно, что он полностью погашен тремя равными платежами?

Решение:

Пусть S – сумма кредита, r=12,5% - процентная ставка банка, k=1,125. Тогда

1)В январе первого года сумма долга составит Sk

После первой выплаты: Sk-1,458

2) в январе второго года долг составит _{ }k

После второй выплаты: _{ }

3) в январе третьего года долг составит: _{ }

После третьей выплаты: _{ }
По условию, долг должен быть полностью погашен тремя равными платежами, поэтому _{ }=0, значит _{ }=_{ }

Ответ: 3,472 млн руб

Дифференцированные платежи:

Дифференцированные платеж - это вид платежа, который погашается ежемесячно разными суммами. Сумма погашения кредита в дифференцированном платеже всегда постоянна. Так как основной долг по кредиту снижается, то процентная часть в сумме дифференцированного платежа сначала большая, а потом снижается, .

Польза:

• За счет того, что в составе дифференцированного платежа при равных условиях кредита, сумма в погашение основного долга больше, чем в аннуитетном, основной долг первоначально убывает быстрее. Поэтому процентов будет начислено меньше, что более выгодно для заемщика.

• Сумма к полному досрочному погашению кредита при одинаковых датах с аннуитетным кредитом будет меньше. Заемщику потребуется меньше средств, чтоб полностью закрыть кредит.

• Размер обязательных страховых выплат в случае ипотечного кредита будет меньше, так как он зависит от остатка задолженности по кредиту.

Недостатки:

• Первоначальный платеж по кредиту для заемщика получается большим. Он больше, чем платеж, который получается при расчете аннуитета при одинаковых условиях. При большой сумме ежемесячного платежа доход заемщика может быть недостаточным для погашения кредита. Поэтому в кредите может быть отказано.

• Сам платеж менее удобен для заемщика, так как он все время разный и его не запомнить. Каждый раз нужно иметь под рукой график, чтоб понимать, какую сумму нужно оплатить

Досрочное погашение:

Досрочное погашение кредита при дифференцированных платежах также выгодно для заемщика, так как снижается остаток долга, а значит и проценты.

Поэтому стоит его делать. При этом меняется первое слагаемое (S/n) в формуле расчета, то есть платеж в погашение основного долга становится меньше. Скорость убывания основного долга уменьшается, но при этом сокращаются и проценты.

Несмотря на выгоду дифференцированных платежей, выбирать схему погашения нужно исходя из ваших целей и текущих финансовых возможностей. Дифференцированный график позволяет хорошо сэкономить на процентах, но подходит не всем. Людям с невысоким заработком лучше выбрать аннуитет — иначе первые платежи могут оказаться для них неподъемными. Если заемщик рассчитывает получить крупный кредит и не планирует погашать его досрочно, дифференцированные платежи тоже не дадут желаемого эффекта.

Если же бюджет сможет покрыть первоначальный взнос и достаточно крупные последующие платежи — дифференцированная ипотека будет оптимальным вариантом. Специалисты рекомендуют ее людям с высоким заработком и тем, у кого есть дополнительные источники дохода, которые позволят поддерживать привычный уровень жизни в период наиболее высокой кредитной нагрузки. Вы сможете сэкономить еще больше, если выплатите ипотеку раньше положенного срока. Это выгодно, так как в случае с дифференцированной схемой проценты погашаются не сразу, а распределяются в течение всего периода кредитования.

Задачи

Вычисление всей суммы выплат

рассмотрим задачу на вычисление общей суммы кредита, когда неизвестна сумма с процентами

Задача 1

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1 числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца.

• со 2-14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.

• 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 99200 рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

Пусть S – сумма кредита, r=3% - процентная ставка банка, тогда

. Так как по условию долг уменьшается равномерно, то разобьем сумму S на 15 равных частей и составим таблицу

Номер месяца	Остаток долга без %(на 1 число)	Остаток долга с % (на 1 число)
1	S	Sk
2
3
----------	------------------------	--------------------------------------------
8
9
------	----------------------	-----------------------------------------------
14
15

сначала необходимо найти сумму кредита, для этого используем тот факт, что нам известна 8 выплата:

Теперь подставляем к=1,03, получаем:

(руб)

Теперь зная сумму кредита, находим суммы всех выплат за весь срок кредитования вместе м процентами. Эта сумма составит:

Ответ:1488000 рублей

Рассмотрим задачи на вычисление процентов, когда неизвестна сумма кредита.

Задача 2:

15 января планировалось взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия возврата таковы:

• 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

• 1 числа каждого месяца долг увеличивается на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца.

• со 2-14 число необходимо выплатить часть долга.

Сколько процентов от суммы кредита составит общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение:

Пусть S – сумма кредита, r=2% - процентная ставка банка, тогда

18

, т.к по условию долг уменьшается равномерно, то разобьем сумму S на 18 равных частей и составим таблицу:

Номер месяца	Остаток долга без %	Остаток долга с %
1	S	Sk
2
3
--------------------------	------------------------------	---------------------------------
16
17
18

Cумма всех выплат составит:

=

Ответ: 119%

Рассмотрим задачу на вычисление суммы за определенный срок, когда неизвестна сумма кредита.

Задача 3:

15 января планировалось взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия возврата таковы:

• 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

• 1 числа каждого месяца долг увеличивается на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца.

• со 2-14 число необходимо выплатить часть долга. Какую сумму нужно выплатить за первые 12 месяцев?

Решение:

Пусть S – сумма кредита, S= 2,4млн руб., r=3% - процентная ставка банка,

, т.к.долг уменьшается равномерно, то разобьем сумму S на 24 равные части и составим таблицу

Номер месяца	Остаток долга без%	Остаток долга с %
1	S	Sk
2
----------------------	------------------------	------------------------
11
12
---------------------------	--------------------------	------------------------
23
24

Cумма выплат за первые 12 месяцев составит:

Ответ: 1866000 руб

Вычисление процентной ставки банка

Задача 4.

15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы :

• 1 го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца.

• Со 2-14 число необходимо выплатить часть Долга.

• 15 –го числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма всех выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы взятой в кредит. Найдите r.

Решение:

Пусть S- сумма кредита, , где r- процентная ставка банка. Так как по условию долг должен погашаться равномерно, то разобьем сумму S на 19 равных частей и составим таблицу:

Номер месяца	Остаток долга без %	Остаток долга с %
1	S	Sk
2
3
--------------------------	------------------------------
19

Общая сумма выплат составит:

Получаем, что , значит r=3%

Ответ: 3%

Задача на вычисление срока кредитования

. Задача 5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на несколько лет.

Условия возврата таковы:

1. каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года

2. с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга

3. в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение:

Пусть кредит взят на n лет. Это и есть искомая величина. Обозначим сумму кредита через S=16 млн руб. Процентная ставка банка равна r=25%, значит, к=1,25. По условию долг должен уменьшаться равномерно, поэтому разобьем сумму S на n равных частей и составим таблицу:

Год кредитования	Основной платеж (с февраля по июнь)	Дополнительный платеж	Остаток долга (в июле)
1
2
3
--------------	------------	---------------------	---------------------------------------------
n-1
n			0

Cоставим общую сумму всех выплат:

1- ая выплата:

2- ая выплата:

3-я выплата: итд.

Заметим, что . Значит выплаты образуют арифметическую прогрессию с разностью , а сумма всех выплат – это сумма n первых членов этой арифметической прогрессии. Как известно,

В нашем случае , значит

, получаем , значит n=10

Ответ: 10 лет

Вычисление общей суммы всех выплат при неизвестном сроке кредитования

Задача 6

В июле клиент взял кредит на сумму 12,8 млн рублей на несколько лет. Условия его возврата таковы:

1. в начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.

2. До 1 июля клиент должен вернуть банку часть долга таким образом, чтобы, по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму.

3. Известно, что последняя выплата составит 1,6 млн рублей.

Найти общую сумму выплат, которую клиент заплатит банку.

Решение:

понятно, что сначала необходимо найти срок кредитования.

Пусть кредит взят на n лет. Обозначим сумму кредита через S=12,8 млн руб. Процентная ставка банка равна r=25%, значит, к=1,25. По условию долг должен уменьшаться равномерно, поэтому разобьем сумму S на n равных частей и составим таблицу:

Год кредитования	Основной платеж (с февраля по июнь)	Дополнительный платеж	Остаток долга (в июле)
1
2
3
--------------	------------	---------------------	---------------------------------------------
n-1
n			0

По условию, последняя выплата равна 1,6 млн руб. Получаем:

т.е или получаем n=10, т.е срок кредитования 10 лет.

Теперь найдем общую сумму всех выплат:

1. ая выплата:

2. ая выплата:

3. ая выплата : (это очевидно)

Следует заметить,что , т.е выплаты образуют арифметическую прогрессию с разностью . Учитывая, что в нашем случае выплат будет ровно 10, то найдем сумму первых 10 членов этой арифметической прогрессии.

,

При n =10 .

Получаем

Ответ: 30,4 млн руб

Задача 7 .

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн руб на некоторое количество лет. Условия возврата таковы:

• Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года

• С февраля по июнь надо выплатить часть долга

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем на июль предыдущего года

Чему будет равна общая сумма долга всех выплат, если наибольший годовой платеж составит 3,4 млн рублей.

Решение:

Пусть кредит взят на n лет. Так как долг должен уменьшаться равномерно, то разобьем сумму кредита на n равных частей и составим таблицу:

год	Основной платеж	Дополнительный платеж	Остаток долга
1
2
3
--------	----------------	---------------------	------------------------
n-1
n			0

Очевидно, что наибольшая выплата – это первая выплата:

. Значит срок кредита 10 лет.

Теперь найдем общую сумму всех выплат:

Первая выплата:

Вторая выплата:

Третья выплата: итд…

Следует заметить, что , т.е. все выплаты образуют арифметическую прогрессию с разностью

Надо найти сумму первых 10 членов этой прогрессии:

, при n=10, получаем

При n=10 получаем:

Ответ: 26,35 млн руб

Задача 8

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше величины долга на июль предыдущего года

На какой минимальный срок следует взять кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,4млн рублей?

Решение:

Пусть S = 5 млн руб – сумма кредита, r=15% - процентная ставка банка, значит k=1,15, n- срок кредита.

Так как долг должен уменьшаться равномерно, то разобьем сумму кредита на n равных частей и составим таблицу

Год кредитования		Основной платеж	Дополнительный платеж	Остаток долга
1			5 
2
3
--------------	-------------		-------------------------	----------------
n-1
n				0

Очевидно, что наибольший годовой платеж – первый и он составляет:

_{ }. Необходимо найти наименьший срок кредита n, при котором наибольший годовой платеж (т.е первый платеж) не превысит 1,4 млн.руб. Таким образом получаем:_{ }. Решая данное неравенство методом интервалов получаем что n_{ } ( что не удовлетворяет смыслу задачи) либо n_{ }. Наименьшее значение n это n=8

Ответ:8

Задача 9

15 декабря планируется взять в кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

-1 числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего года

- со 2-14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

- 15 числа каждого месяца с 1 по 20-ый долг должен быть на 30 тыс рублей меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

- к 15 числу 21 месяца долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604тыс руб?

Решение:

Пусть S – сумма кредита, r=3% - процентная ставка банка, к=1,03

Составим таблицу выплат:

№месяца	Остаток долга без%	Остаток долга с %	выплаты
1	S	Sk	30+S(k-1)
2	S-30	(S-30)k	30+(S-30)(k-1)
3	S-30 	(S-30 	30+(S-30 
--------	-------------	------------	--------------------------
20	S-30 	(S-30 	(S-30 
21	S-30 	(S-30 	(S-30 

Общая сумма всех выплат составит:

30 21Sk 

По условию _{ }

_{ }, S=1100

Ответ: 1100 (тыс руб)

Задача 10

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300тыс рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1 числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

Со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

- 15 числа каждого месяца с 1 по 20-ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15- е число предыдущего месяца.

- 15 го числа 20-го месяца долг составит 100 тыс.руб.

- 15- го числа 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного его погашения?

Решение:

Пусть S=300(тыс.руб) - сумма кредита, r=2% - процентная ставка банка, k=1,02. По условию с 1 по 20 месяцы долг уменьшается равномерно, обозначим через х - сумму ежемесячсного уменьшения долга и составим таблицу выплат:

№месяца	Остаток долга без %	Остаток долга с %	выплаты
1	S	Sk	S(k-1)+x
2	S-x	(S-x)k	(S-x)(k-1)+x
3	S-2x	(S-2x)k	(S-2x)(k-1)+x
-------------	----------------	----------	-------------
20	S-19x	(S-19x)k	(S-19x)(k-1)+x
21	S-20x	(S-20x)k	(S-20x)k

По условию, S-20x =100,значит 300-20x_{ }

Решая это уравнение

Общая сумма всех выплат составит

S(k-1)+(S-x)(k-1)+(S-2x)(k-1)+…+(S-19x)(k-1)+(S-20x)k+20x=

(k-1)(S+(S-x)+(S-2x)+…+(S-19x))+(S-20x)k+20x=(k-1)(20S-(1+2+3+…+19)x) +(S-20x)k+20x=(k-1)(20S-190x)+(S-20x)k+20x=(1,02-1)(20_{ }

Ответ: 384(тыс.руб)

Основная задача.

1 января 2022 года Виктор Геннадьевич взял кредит в банке на сумму 2 млн рублей под 26% годовых для покупки нового автомобиля, стоимостью 1,5 млн рублей, учитывая то,что для покупки автомобиля нужно построить гараж,стоимостью 300000 рублей.

Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы весь долг с % выплатить за 5 лет, при этом ,внося платеж в виде фиксированного транша?

Целесообразно ли взять такой кредит, основываясь на бюджете семьи и их затратах, или лучше от такого кредита отказаться, учитывая, что

• Семья состоит из 2 взрослых и 3 детей.

• Общий бюджет семьи составляет 160000 рублей в месяц, то есть 1920000 рублей в год.

• Затраты:

продовольственные товары: 50000 рублей в месяц

хозяйственные товары: 15000 рублей в месяц

коммунальные услуги: 12000 рублей в месяц

неожиданные покупки: 8000 рублей в месяц

разное(одежда и т.д.): 15000 рублей в месяц

Итого: 100000 рублей в месяц, то есть 1200000 рублей в год

• При этом семья каждый год ездит в отпуск, для этого им нужно 300000 рублей в год

• Николай хочет держать в запасе 50000 рублей в год?

Решение:

Пусть S-сумма кредита, S=2000000 рублей

r-процентная ставка банка, r=26%

k=1+  =1,26

Вычтем из всех затрат, общую сумму заработка:

1920000-1200000-300000-50000=370000

Получим максимальный платеж равный 370000 рублей

Для того чтобы погасить кредит за 5 лет, нужно чтобы платеж был меньше или равен 370000 рублям

Пусть x- ежегодный платеж, тогда

1. S k-x - остаток долга после 1 транша

2. (S k-x)k-x=S -xk-x - остаток долга после 2 транша

3. (S -xk-x)k-x= S -x -xk-x - остаток долга после 3 транша

4. (S -x -xk-x)k-x= - - -xk-x-остаток долга после 4 транша

5. ( - - -xk-x)k-x= -x - - -xk-x-остаток долга после 5 транша

так как после пятой выплаты(5 год) кредит был погашен, то

 -x - - -xk-x=0

 =x + + +xk+x

 =x( + + +k+1)

x= = 

=  млн рублей  758993 рублей

Ответ:

1. Чтобы выплатить весь долг с % за 5 лет, при этом, внося платеж в виде фиксированного транша, ежегодный платеж должен составлять около 758993 рублей.

2. Виктору Геннадьевичу нецелесообразно брать этот кредит, по-скольку, учитывая расходы и заработную плату, он не сможет погасить кредит за 5 лет.

Заключение

Таким образом, изучив теоретический материал, решив задачи в том числе основную задачу настоящей работы, я пришла к выводу, что поставленная гипотеза нашла свое полное подтверждение.

Список литературы

1. Математика. Подготовка к ЕГЭ -2018. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. учебно-методическое пособие. Издательство «Легион»- М.,2018г

2. А.П.Власова, Н.В. евсеева и др. Математика: 50 типовых вариантов экзаменационных работ. «АСТ»,2017г

3. Ресурсы Интернет: официальный сайт Сбербанка России www.sbrf.ra

28