Проект по математике "Математическая логика"

ФЕСТИВАЛЬ УЧЕНИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ -2018

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа п. Советский»

Искитимского района Новосибирской области

Секция - Точные науки, предмет - Математика

Тип проекта - Просветительский

ПРОЕКТ

Математическая логика

Выполнил: Бодунов Михаил

Руководитель: Литвинова Ирина Васильевна

План проведения проекта.

1. Подготовительный этап - изучение теоретического материала по теме. 2. Изучение типов логических задач и способов их решения.

3. Подготовка презентации по теме проекта. 3. Создание проекта игры «В чём логика?».

Что такое логика, как не искусство доказывать?
Жан Пиаже

Актуальность этой темы.

«Никакой логики в рассуждениях», «Рассмотрим логическую цепочку событий»,

«Включи логическое воображение» - где чаще всего мы слышим эти фразы? Конечно, же на уроках математики, при решении задач.

А, что такое логика, откуда она берется, что нужно делать, чтобы человек умел логически мыслить?

Вся наша жизнь - это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато. 
Логические навыки применяются во многих профессиях: например, водителю транспорта нужно уметь логически мыслить, чтобы выбрать верный путь. Рабочим в цехах нужно знать логику, чтобы сократить время производства одной единицы вырабатываемого объекта и, следовательно, увеличить дневную выработку. Космонавтам при проблемах с космическим кораблём необходима логика для продумывания дальнейшей стратегии. Планировщикам также нужна логика, чтобы подобрать правильное место для строительства здания и т.д. Также логика используется и в обычной жизни, например, поход за продуктами, выбор одежды, сбор вещей и т.д.

В течение всех лет обучения в школе, на уроках математики, мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т. п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место логики, уделено в математике. Задачи, решение которых развивает логическое мышление, способствуют успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

-ознакомиться с понятиями «логика», «математическая логика», «логические задачи»;
- изучить типы логических задач; - рассмотреть некоторые способы решения логических задач; - создать мультимедийную презентацию по данной теме

- разработать проект игры «В чём логика?» для учащихся 6-8 классов.

Что такое логика?

Логика – древняя наука. Ее название происходит от древнегреческого многозначного слова «логос» - мысль, речь, слово, понятие, разум.

Логика – наука здравомыслия, наука правильно рассуждать (по толковому словарю Даля).

Логика – это наука, изучающая такие человеческие рассуждения, которые позволяют получать истинное знание об окружающем мире. Логикой называют также ход рассуждений, умение делать правильные выводы. 

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Древние философы пытались найти ответ на вопрос, как и по каким законам мыслит человек, какими путями мышления можно прийти к истине в рассуждениях о событиях и явлениях окружающего мира.

1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Он изучал правила мышления. Аристотель впервые отделил ло­гические формы мышления от его содержания, подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменит простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.

Математическая логика.

Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу».

Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов».

В целом, определение «математическая логика» подчёркивает её сходство с математикой, основывающееся, прежде всего, на методах построения логических исчислений на основе строгого символического языка.

Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.
Математическая логика необходима при решении задач, которые называют «логическими».

Определение логической задачи.

Логические задачи, так же как и математику, называют «гимнастикой ума». Но, в отличие от математики, задачи на логику - это занимательная гимнастика, которая в увлекательной форме позволяет испытывать и тренировать мыслительные процессы, иногда в неожиданном ракурсе. Для их решения нужна сообразительность, иногда интуиция, но не специальные знания. Решение задач на логику состоит в том, чтобы досконально разобрать условие задачи, распутать клубок противоречивых связей между персонажами или объектами. Логические задачи для детей – это, как правило, целые истории с популярными действующими лицами, в которые нужно просто вжиться, почувствовать ситуацию, наглядно ее представить и уловить связи. Даже самые сложные задачи на логику не всегда содержат числа. Но математический способ мышления здесь необходим: главное, осмыслить и понять условие логической задачи. Не всегда самое очевидное решение, лежащее на поверхности, является правильным. Но чаще всего, решение задачи на логику оказывается гораздо проще, чем кажется на первый взгляд, несмотря на путаное условие.

К логическим задачам отнесём такие, при решении которых главное, определяющее – это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели.

Профессор Е. С. Канин, не ставя цель определить понятие «логическая задача», относит к ним такие задачи, которые на первый взгляд не являются математическими, но в то же время требуют для своего решения формулирования суждений (высказываний), построения умозаключений и их цепочек. Поскольку при решении логических задач строятся умозаключения, то при этом приходится применять и общие методы решения математических задач, такие как метод выведения, метод исчерпывающих проб, метод сведения к противоречию и др.

Иногда математическая задача, не являющаяся чисто вычислительной, есть логическая задача, так как требует анализа данных, построения цепочки рассуждений, вывода, оценки его правильности. Но среди логических задач встречается множество таких, которые, на первый взгляд, не несут чисто математического содержания.

Типы логических задач и способы их решений. 

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями. Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач

• метод рассуждений;

• с помощью таблиц истинности;

• метод блок-схем;

• средствами алгебры логики (алгебры высказываний);

• графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);

• метод математического бильярда.

Мы рассмотрим лишь три способа решения логических задач: 
1. Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

Пример:

На столе лежат Голубой, Зеленый, Коричневый и Оранжевый карандаши.

Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым.

Разложи карандаши в описанном порядке.

2. Второй способ - Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств.
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. 
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. 
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

"Обитаемый остров" и "Стиляги"

Некоторые ребята 7 класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение

Чертим два множества таким образом: 

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. 
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». 
Получаем: 

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

3. Решение логических задач табличным способом
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. 
Рассмотрим способ решения на конкретной задаче 

Три спортсмена (красный, синий и зеленый) играли в баскетбол.

Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый». Зеленый сказал: «Я не забрасывал».
Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?

Решение:

Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-».

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный«), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный«), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-».
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-».
Утверждение «мяч забросил зеленый« — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-».

И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий«.
Тогда утверждение «мяч забросил синий« — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-». Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-»). Подходит третий столбец.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

В ходе работы над выбранной темой, у меня родилась идея, кроме презентации по теме, создать проект игры «В чём логика?». Данная игра «решается» первым способом - «Методом рассуждений».

Игра была проведена для учащихся 6-8 классов, которые в последствие выразили свои положительные эмоции и оценили её очень высоко.

Основные выводы:

Изучив материал по теме «Математическая логика», я пришел к следующему, что применение логических методов решения задач в изучении математики, могло бы значительно повысить интерес учащихся к предмету.

Но применяя только изученные методы решения логических задач, невозможно решить все математические и жизненные задачи. В дальнейшем буду продолжать работу над изучением видов логических задач и методов их решения.

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

• более глубокое изучение литературы по «Логическим задачам» и по способам их решений.

• подбор задач, решаемых определенным методом

Данная работа может быть полезна учителю математики, для проведения внеклассного мероприятия, с целью повышения интереса учащихся к предмету.

Используемая литература и интернет ресурсы: 1. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. 2. http://festival.1september.ru/articles/516693/ 3.http://wiki.iteach.ru/index.php/ 4. Библиотека журнала «Математика в школе».