Проект "Наглядная геометрия"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы

«Школа № 1359 имени авиаконструктора М.Л. Миля»

Проект

«Наглядная геометрия»

5 - 6 классы

Оглавление

1. Аннотация. Гипотеза. Цели. Задачи………………………………… 3

2. Введение………………………………………………………………..4

3. Содержание:

3.1. Куб (гексаэдр)………………………………………………………. 5

3.2. Тетраэдр …………………………………………………………….. 6

3.3. Октаэдр……………………………………………………………… 6

3.4. Икосаэдр ……………………………………………………………. 7

3.5. Додекаэдр ……………………………………………………………8

3.6. Таблица зависимости количества вершин, граней, рёбер правильных многогранников (формула Эйлера)…………………………………….. 9

4. Заключение……………………………………………………………. 9

5. Используемые источники……………………………………………..11

6. Приложения:

• интернет-ресурсы (1)……………………………………………...12

• фотоматериалы (2)………………………………………………. 15-19

Краткая аннотация проекта

Основная идея проекта «Наглядная геометрия» – научиться с помощью самостоятельного ознакомления с темой стереометрии «Правильные многогранники» конструировать свои собственные модели, которые станут элементами декора. В процессе выполнения проекта каждый сможет получить необходимые знания и проявить свои творческие способности.

Гипотеза

Учащиеся 5 – 6 классов смогут познакомиться с темой стереометрии

10 – 11 классов «Правильные многогранники», научатся изображать правильные многоугольники, делать модели правильных многогранников, создавать простейшую информационную модель – таблицу, читать и заполнять таблицу, делать выводы.

Цели:

самостоятельно познакомиться с темой геометрии «Правильные многогранники», заняться моделированием многогранников. Найти практическое применение приобретённым знаниям.

Задачи проекта:

• организовать сбор материала по каждому правильному многограннику;

• создать информационную таблицу;

• вывести формулу Эйлера;

• познакомиться со способами моделирования;

• найти подходящие материалы для моделей;

• изготовить новогодние игрушки в виде правильных многогранников (элементы декора);

• создать арт-объект к Новому году.

Методы: поиск, наблюдение, сравнение, исследование, анализ.

Введение

Геометрия – это раздел математики, в котором изучаются свойства фигур. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Есть в математике особые темы, которые ждёшь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему стереометрии "Правильные многогранники". Здесь нам открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами.

Сведения о правильных многогранниках присутствуют в программах многих учебных предметов (геометрия, химия, физика, биология…). Возникает необходимость создания моделей правильных многогранников, а для этого требуется изучение их свойств и свойств разверток. Применение приобретённых знаний при создании новогодних игрушек, создание арт-объекта к празднику, – в этом, на наш взгляд, и заключается актуальность данной темы.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (Приложение, 1.1). Они занимали важное место в философии Платона

об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "всё сущее", символизировал всё мироздание, считался главным.

Названия многогранников пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» - грань.

Правильный многогранник – это многогранник, поверхность которого состоит из одинаковых правильных многоугольников, в каждой вершине которого сходится одно и то же число рёбер.

Первое, чему мы должны были научиться, прежде чем строить модели правильных многогранников, это точно и аккуратно вычерчивать нужные нам детали, которыми будут только правильные многоугольники с 3, 4 и 5 сторонами (приложение, 2.1- 2.3). Также следует помнить, что у правильных многогранников все рёбра имеют одну и ту же длину. Следовательно, все многоугольники, образующие один многогранник, должны иметь стороны одной длины. В каждой вершине правильного многогранника сходятся одно и то же количество рёбер.

Куб (гексаэдр)

В переводе с греческого языка: «гекса» - 6, «эдра» - грань. Поверхность куба состоит из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. В каждой вершине сходятся по три ребра. Куб символизировал одну из четырёх стихий – землю.

Куб или его фрагменты – вокруг нас: в быту, в архитектуре (приложение, 1.3-1.4), в химии. Кристаллическая решётка поваренной соли представляет собой куб. Маленькие шарики-ионы натрия, большие – ионы хлора. Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую форму (приложение, 1.5). Головоломка – кубик Рубика (приложение, 1.2).

Для изготовления модели куба нам понадобился трафарет квадрата. Мы научились строить квадрат с помощью циркуля, линейки (приложение, 2.1). Затем сделали развёртку куба (приложение, 2.4). Из развёртки получилась модель куба. Мы сделали каркасную модель куба. Для этого использовали гибкую проволоку, трубочки для коктейля (приложение, 2.5)…Осталось проявить фантазию, чтобы обычную модель куба преобразовать в новогоднюю игрушку (приложение, 2.6-2.8).

Тетраэдр

В переводе с греческого языка: «тетра» - 4, «эдра» - грань. Поверхность тетраэдра состоит из 4 равных равносторонних треугольников (граней),

в каждой вершине сходятся по три ребра. Вершин – 4. Рёбер – 6. Тетраэдр символизировал одну из четырёх стихий – огонь.

Тетраэдр или его фрагменты – вокруг нас: в быту (приложение,1.6-1.7),

в архитектуре, в химии. Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр, в центре и в четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Атомы, расположенные в вершинах тетраэдра, образуют центр нового тетраэдра и, таким образом, также окружены каждый ещё четырьмя атомами и т.д. Все атомы углерода в кристаллической решётке расположены на одинаковом расстоянии (154 пм) друг от друга (приложение 1.9-1.10). Головоломка – пирамидка Рубика (приложение, 1.8).

Для изготовления модели тетраэдра нам понадобился трафарет равностороннего треугольника. Мы научились строить правильный треугольник с помощью циркуля, линейки (приложение, 2.1-2.3). Затем сделали развёртку тетраэдра (приложение, 1.11). Из развёртки получилась модель тетраэдра. Осталось проявить фантазию, чтобы обычную модель преобразовать в новогоднюю игрушку (приложение, 2.9).

Октаэдр

В переводе с греческого языка: «окта» - 8, «эдра» - грань. Поверхность октаэдра состоит из 8 равных равносторонних треугольников (граней),

в каждой вершине сходятся по четыре ребра. Вершин – 6. Рёбер – 12. Октаэдр символизировал одну из четырёх стихий – воздух.

Октаэдр или его фрагменты можно встретить вокруг нас: в архитектуре (приложение, 1.12), в природе и химии. Форму правильного октаэдра принимают кристаллы алмаза, куприта, а также алюминиево – калиевые кварцы (приложение,1.13).

Для изготовления модели октаэдра нам понадобился трафарет равностороннего треугольника, который мы научились строить с помощью циркуля и линейки (приложение, 2.1-2.3). Затем сделали развёртку октаэдра (приложение,1-14). Из развёртки получилась модель тетраэдра. Осталось проявить фантазию, чтобы обычную модель преобразовать в новогоднюю игрушку (приложение, 2-10).

Икосаэдр

В переводе с греческого языка: «икоса» - 20, «эдра» - грань. Поверхность икосаэдра состоит из 20 равных равносторонних треугольников (граней), в каждой вершине сходятся по пять рёбер. Вершин – 12. Рёбер – 30. Икосаэдр символизировал одну из четырёх стихий – воду.

Икосаэдр тесно связан с додекаэдром, так в исследованиях формы Земли эти два правильных многогранника вставляют друг в друга, чтобы постичь тайны вселенной (модель Кеплера, приложение, 1.15).

Икосаэдр или его фрагменты встречаются вокруг нас: в природе и химии. Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую спираль, точнее на правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Есть вирусы, размножающиеся в клетках животных (позвоночных и беспозвоночных), другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами или просто фагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма встречается у вирусов всех этих трёх групп (приложение, 1.16). Очень часто можно встретить светильники, элементы декора, имеющие форму икосаэдра (приложение, 1.17-1.19). В архитектуре – геодезические купола имеют форму, напоминающую поверхность икосаэдра (приложение, 1.20).

Для изготовления модели икосаэдра нам понадобился трафарет равностороннего треугольника, который мы научились строить с помощью циркуля и линейки (приложение, 2.1-2.3). Затем сделали развёртку икосаэдра (приложение, 1.21). Из развёртки получилась модель икосаэдра. Мы ещё сделали каркасную модель икосаэдра. Для этого использовали гибкую проволоку, пластиковые трубочки, свойства правильных многогранников (приложение, 2.11). Осталось проявить фантазию, чтобы обычную модель преобразовать в новогоднюю игрушку (приложение, 2.12).

Додекаэдр

В переводе с греческого языка: «додека» - 12, «эдра» - грань. Поверхность додекаэдра состоит из 12 равных правильных пятиугольников (граней), в каждой вершине сходятся по три ребра. Вершин – 20. Рёбер – 30. Додекаэдр символизировал всё сущее (мироздание, вселенную, эфир).

Додекаэдр или его фрагменты встречаются вокруг нас: в архитектуре (приложение, 1.22), в природе и химии (приложение, 1.23). Дан Уинтер

в своей книге «Математика сердца» утверждает, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений додекаэдров и икосаэдров, а также некоторый вирус полиомиелита имеет подобно другим икосаэдрическим додекаэдрическую форму строения. Игральная кость имеет форму додекаэдра (приложение, 1.24).

Для изготовления модели додекаэдра нам понадобился трафарет равностороннего пятиугольника, который мы научились строить с помощью циркуля, транспортира и линейки (приложение, 2.1-2.3). Затем сделали развёртку додекаэдра (приложение, 2.13). Из развёртки получилась модель. Мы ещё сделали каркасную модель додекаэдра. Для этого использовали медную проволоку, паяльник, свойства правильных многогранников (приложение, 2.14). Осталось проявить фантазию, чтобы обычную модель преобразовать в новогоднюю игрушку (приложение, 2.15).

Таблица зависимости количества вершин, граней, рёбер правильных многогранников (формула Эйлера)

Мы самостоятельно заполнили таблицу и вывели формулу Эйлера.

Заключение

В процессе проекта мы познакомились с удивительными особенностями строения правильных многогранников, их видами и свойствами. Самостоятельно заполнив таблицу, установили связь между количеством рёбер и количеством вершин и граней правильных многогранников. У нас получилась формула, которую, как оказалось, доказал ещё в 18 веке выдающийся немецкий математик Леонард Эйлер (приложение, 2.16) .

Мы научились выполнять построения правильных многоугольников. Узнали, что называют элементами многогранника, развёртками многогранника. Познакомились со способами моделирования. Увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, хотя их всего пять. Узнали, что в строении нашей планеты присутствуют правильные многогранники, кристаллы многих веществ имеют форму правильных многогранников, в архитектуре используют фрагменты правильных многогранников, что доказывает их огромное значение в окружающем нас мире (приложение, . И многие современные ученые склоняются к гипотезе, что вещества в природе состоят именно из этих уникальных фигур. Изготовили новогодние игрушки на ёлку.

Подводя итоги, можно считать цели проекта достигнутыми. В дальнейшем тему проекта «Наглядная геометрия» можно продолжить, например, рассмотреть использование свойств, особенностей симметрии правильных многогранников в архитектуре, технике, искусстве…

Используемые источники

Интернет-ресурсы:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• Многогранники в природе и химии ( https://nsportal.ru )

• Собственные фотоматериалы

Приложения

1. Интернет-ресурсы:

2. Собственные фотоматериалы

8

Проект

«Наглядная геометрия»

5 - 6 классы

Ответственный за проект:

Кавжарадзе Георгий

Участники проекта:

Канунников Владимир,

Огнянер Юлия,

Беляева Анастасия,

Конищев Ярослав, Масленникова Алёна,

Макеев Александр и др.

Руководитель проекта:

учитель математики

Смирнова Надежда Викторовна

Проект «Наглядная геометрия»

Гипотеза :

учащиеся 5 – 6 классов смогут познакомиться с темой стереометрии 10 – 11 классов «Правильные многогранники», научатся изображать правильные многоугольники, создавать простейшую информационную модель – таблицу, читать и заполнять таблицу, делать выводы; создавать модели правильных многогранников.

Цели :

• самостоятельно познакомиться с темой геометрии «Правильные многогранники», заняться моделированием многогранников.
• Найти практическое применение приобретённым знаниям.

Задачи нашего проекта :

• организовать сбор материала по каждому правильному многограннику;
• создать информационную таблицу;
• вывести формулу Эйлера;
• познакомиться со способами моделирования;
• найти подходящие материалы для моделей;
• изготовить новогодние игрушки в виде правильных многогранников (элементы декора);
• создать готовый арт-объект к Новому году.

Методы : поиск, наблюдение, сравнение, исследование, анализ

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами

Правильный многогранник – это многогранник, поверхность которого состоит из одинаковых правильных многоугольников, в каждой вершине которого сходится одно и то же число рёбер

https://infourok.ru

КУБ (Гексаэдр)

«ГЕКСА» – 6, «ЭДРА» - грань

Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов (граней), в каждой вершине сходятся по три ребра. Вершин – 8. Рёбер – 12.

Каркасная модель куба

Стихия - земля

Развёртка куба

https://otvet.mail.ru

Игрушки на ёлку

Куб – в химии

Кристаллическая решётка поваренной соли представляет собой куб. Маленькие шарики-ионы натрия, большие – ионы хлора. Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую форму.

Куб – в архитектуре

https://infourok.ru

Головоломка – кубик Рубика

https://pixabay.com/en/architecture

http://555vip.ru

https://infourok.ru

Тетраэдр

«ТЕТРА» – 4, «ЭДРА» - грань

Поверхность тетраэдра состоит из 4 равных равносторонних треугольников (граней),

в каждой вершине сходятся по три ребра. Вершин – 4. Рёбер – 6

Каркасная модель тетраэдра

Стихия - огонь

Развёртки тетраэдра

Игрушки на ёлку

https://urokimatematiki.ru

Тетраэдр – в химии

Тетраэдры вокруг нас

https://urokimatematiki.ru

- кристаллическая решётка метана

- тетра-пакет для молока

https://urokimatematiki.ru

- горка из мандаринов

https://yandex.ru/images/search

Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр, в центре и в четырех вершинах которого расположены атомы углерода...

Головоломка – пирамидка Рубика

Октаэдр

«ОКТА» – 8, «ЭДРА» - грань

Поверхность октаэдра состоит из 8 равных равносторонних треугольников (граней),

в каждой вершине сходятся по четыре ребра. Вершин – 6. Рёбер – 12

https://yandex.ru/images/search

Модель октаэдра

Развёртка октаэдра

Стихия - воздух

Игрушки на ёлку

Трафарет в виде правильного треугольника

Октаэдр – в природе и химии

Форму правильного октаэдра принимают кристаллы алмаза, куприта, а также алюминиево – калиевые кварцы

https://yandex.ru/images/searc

Октаэдр – в архитектуре

http://joyreactor.cc/post/324639

https://www.homify.hk/projects

http://www.photoforum.ru/photo/341652

Додекаэдр

«ДОДЕКА» – 12, «ЭДРА» - грань

Поверхность додекаэдра состоит из 12 равных правильных пятиугольников (граней), в каждой вершине сходятся по три ребра. Вершин – 20. Рёбер – 30

Модели

Стихия – вселенная Эфир/Прана

Развёртка додекаэдра

Шаблон правильного пятиугольника

Додекаэдр – в природе и химии

Фрагменты додекаэдра в архитектуре

https://infourok.ru

https://medium.com

Додекаэдр тесно связан с икосаэдром, так в исследованиях формы Земли эти два правильных многогранника вставляют друг в друга, чтобы постичь тайны вселенной…

… в университетском городке

https://yandex.ru/images/searc

Своими руками…

Икосаэдр

«ИКОСА» – 20,

«ЭДРА» - грань

Поверхность икосаэдра состоит из 20 равных равносторонних треугольников (граней), в каждой вершине сходятся по пять рёбер. Вершин – 12. Рёбер – 30

Модель

Каркасная модель

Стихия – ВОДА

Трафарет в виде правильного треугольника

Новогодняя игрушка

Развёртка додекаэдра

Икосаэдр – в природе и химии

Икосаэдр в жизни

Флорариум икосаэдр

https://yandex.ru/images/search

http://www.playcast.ru/view

https://yandex.ru/images/search

Элементы правильных многогранников вокруг нас

Куполообразный домик

Спасская башня

в штате Миссури США

Модель солнечной системы И. Кеплера

Интернет-ресурсы

https://yandex.ru/images/search

Наблюдаем, исследуем, заполняем таблицу

Количество

Правильный

граней

многогранник

вершин

Тетраэдр 

4

граней

  Куб  

6

4

Октаэдр  

8

и вершин

рёбер +

8

8

Додекаэдр  

  Икосаэдр

12

6 +

6

(Г + В)

14

20

14

20

12 +

12 +

32

12

32

30 +

30 +

=

2

2

2

2

2

2

Г + В = Р + 2 – формула немецкого математика Леонарда Эйлера (18 век)

Работа над проектом

Заключение

Наш арт-объект

Подводя итоги, можно считать, что цели проекта достигнуты. В дальнейшем тему проекта «Наглядная геометрия» можно продолжить, например, рассмотреть использование свойств, особенностей симметрии правильных многогранников в архитектуре, технике, искусстве…

С наступившем Новым годом!

Спасибо за внимание!