Проект "Биссектриса знакомая и не очень"

Проектно-исследовательская работа

Тема: Биссектриса знакомая и не очень

Выполнил: Лавринов Никита,

ученик 7 класса

Руководитель: Сотникова И.А.,

учитель математики

Содержание

Введение 3

1. Определение и построение биссектрисы угла 4

2. Определение биссектрисы угла треугольника и замечательное свойство биссектрис треугольника 6

3. Занимательная информация о биссектрисе 9

Заключение 11

Литература 12

Приложения 13

Введение

Казалось бы, что такое биссектриса угла – знает каждый. Что тут сложного? Однако, просто знать – это одно, а вот использовать знание, применять его в деле – это другое. На уроках геометрии мы говорили о биссектрисе угла, биссектрисе угла треугольника и замечательном свойстве биссектрис треугольника.

Актуальность данной работы определяется тем, что биссектриса угла, биссектриса угла треугольника - это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена.

Целью моей работы: показать замечательное свойство биссектрис треугольника с помощью построений циркуля и линейки.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и дать определение биссектрисы угла, биссектрисы треугольника.

2. Выяснить, каким замечательным свойством обладают биссектрисы углов треугольника.

3. Выполнить построения с помощью циркуля и линейки.

Объект исследования: биссектриса угла и биссектриса угла треугольника.

Предмет исследования: замечательное свойство биссектрис треугольника.

Гипотеза исследования: «Что можно найти интересного о биссектрисе за страницами школьного учебника?»

1. Определение и построение биссектрисы угла

 Биссектриса - это место равноудаленных точек сторон угла. В более простых терминах биссектриса представляет собой линию, которая делит угол пополам.

Биссектриса - луч, выходящий из верхней части угла и разделяющий его на два других равных угла.

Слово «биссектриса», переведенное с французского языка, означает, в два, рассекающий или равномерный угол в два.

Как построить биссектрису угла с помощью циркуля?

1. Задан угол с вершиной в точке А, биссектрису которого нужно построить. Данный угол выходит из вершины А.

Ставим циркуль в точку A и проводим окружность любого радиуса R. Заданный угол пересечется с начерченной окружностью в двух точках. Назовем их В и С.

1. Чертим еще две окружности такого же радиуса с центрами в точках В и С. При пересечении этих двух начерченных окружностей получаем точку, которую назовем буквой D.

1. С помощью линейки из точки А через точку D проводим луч. Полученный луч и будет биссектрисой заданного угла А.

Есть несколько правил, которые могут помочь Вам найти биссектрису. К примеру:

— биссектриса делит противоположную сторону треугольника в таком отношении, которое равно отношению двух остальных сторон;

— две биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны;

— все три биссектрисы любого треугольника пересекутся в центре вписанной в этот треугольник окружности (эти утверждения мы докажем в 8 классе).

Я построил с помощью циркуля и линейки биссектрису угла по данному алгоритму.(см Приложение №1)

Также можно построить биссектрису с помощью транспортира.
Например, если Вам нужно построить биссектрису угла, равного 78 градусов, то нужно приложить транспортир к одной из сторон этого угла, отметить точку возле метки 78 / 2 = 39 градусов и провести луч из вершины заданного угла через полученную точку. Это и будет биссектриса угла 78 градусов. (см Приложение №2)

1. Определение биссектрисы угла треугольника и

замечательное свойство биссектрис треугольника

В дополнение к биссектрисе угла имеется также биссектриса треугольника, поскольку треугольник содержит до трех углов, так что каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы. Что такое биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющего его вершину с точкой на противоположной стороне треугольника.

Треугольник и его построения имеют важное значение в начальной геометрии. Одно из построений треугольника – биссектриса - представляет собой прямой отрезок, исходящий из одной вершины треугольника и соединяющийся с точкой на противолежащем ребре. При этом биссектриса делит пополам угол данной вершины. В общем случае построение биссектрисы треугольника сводится к проведению биссектрисы угла конкретной вершины. Это построение можно выполнить с помощью транспортира, с помощью циркуля и линейки. Однако построение биссектрисы равнобедренного и правильного треугольников можно провести с учетом их геометрических свойств без дополнительных инструментов.

1. Постройте заданный треугольник. Возьмите транспортир и измерьте угол вершины, из которой необходимо провести биссектрису. Поделите данный угол пополам.

2

1. Отмерьте от стороны треугольника, прилегающей к данной вершине, высчитанный угол. Поставьте точку, обозначающую половину угла вершины.

3

1. Проведите через вершину и отмеченную точку прямую линию так, чтобы она ограничивалась вершиной с одной стороны и противолежащей стороной треугольника с другой. Биссектриса треугольника построена.

4

1. Если заданный треугольник является равнобедренным или правильным, то есть у него равные две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника, будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая сторона будет делиться биссектрисой пополам.

2. Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника, куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку.

6

1. Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника.

Биссектрисы треугольника обладают замечательным свойством: «Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке». Я в своей работе по пытаюсь показать это свойство, с помощью построения биссектрис циркулем и линейкой в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольниках. (см Приложение №3)

Построив биссектрисы углов остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников увидел, что биссектрисы треугольников пересеклись в одной точке. Интересно, а как это доказать? Об этом я и мои одноклассники узнаем на уроках геометрии в 8 классе.

3. Занимательная информация о биссектрисе

Мнемоническое (Мнемо́ника - греч. τα μνημονιχα — искусство запоминания), правило:

Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. (См Приложение№4).

Также есть много стихотворений, сказок и рассказов о биссектрисе, вот некоторые из них.

1. Стихотворение: Биссектриса

В углу у кипариса, фактически, в тени,
влачила Биссектриса безрадостные дни.
- Ах, я иного круга! Я не халам-балам!
На что мне этот угол,  деленный пополам?

Сумела исхитриться  на дерзкие дела,
сбежала Биссектриса, осталась без угла.
Но долетели сплетни, что, якобы, она
в окружности соседней Диаметру жена.

Живет с улыбкой гордой в нездешней стороне.
Теперь зовется Хордой и счастлива вполне.
А я сижу, не евши, вдали от Биссектрис,
в углу осиротевшем несчастный кипарис.

Пью чай из барбариса, а сердце – просто хлам! -
разбито Биссектрисой, как  угол, пополам.
Все будто бы  в тумане и тенькает висок...
Схожу-ка к Медиане – развеюсь на часок!

2. Биссектриса.

Заспорили Стороны угла, никак между собой не поладят.

— Я, со своей стороны, считаю… — говорит одна Сторона.

— А я считаю, со своей стороны… — возражает ей другая.

Ничего не поделаешь: хоть у них и общий угол зрения, но смотрят-то они на мир с разных сторон!

Проходила как-то между ними Биссектриса. Обрадовались Стороны: вот кто будет их посредником! Спрашивают Биссектрису:

— А вы как думаете?

— А ваше мнение каково?

Стоит посредник посрединке, колеблется.

— Ну, скажите же, скажите! — тормошат Биссектрису со всех сторон.

— Я думаю, вы совершенно правы, — наконец произносит Биссектриса, кивая в правую сторону.

— Ах, какая вы умница! — восхищается правая Сторона. — Как вы сразу все поняли!

А Биссектриса между тем поворачивается к левой Стороне:

— Ваша правда, я тоже всегда так думала.

Левая Сторона в восторге:

— Вот что значит Биссектриса! Сразу сообразила, что к чему!

Стоит Биссектриса и знай, раскланивается: в одну сторону кивнет — мол, правильно, в другую сторону кивнет — мол, совершенно верно. Мнение Биссектрисы ценится очень высоко, поскольку оно устраивает обе стороны.

Заключение

Свою работу я начал с рассмотрения множества пособий по математике, использовал сеть Интернет. Из них я выбрал нужную информацию, изучил теорию. При изучении материала по этой теме, узнал очень много нового. В своей работе я выполнил построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки, а также с помощью транспортира. И доказал с помощью построений замечательное свойство биссектрис углов треугольника.

Нашу гипотезу: «Что можно найти интересного о биссектрисе за страницами школьного учебника?» мы подтвердили. Я считаю, что те знания, которые я приобрел, готовя эту работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе.

Литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2002;

2. Г.К.Пак.П13 Биссектриса. Серия: Готовимся к математической олимпиаде. Учебное пособие. // Владивосток. Издательство Дальневосточного университета, 2003,28 с.

3. . Ресурсы сети Интернет.

Приложение №1

Приложение №2

Приложение №3

Приложение №4