Приращение функции. Производная. Лекция.

Тема 1. Приращение функции

Пусть нам дана какая- то функция y=f(x). Проведем произвольную кривую линию и будем считать, что это график нашей функции.

Возьмем на оси ОХ первоначальное значение аргумент обозначим его Хо. Найдем графически соответствующее ему значение функции y₀= f ( x₀) .

Возьмем на оси ОХ новое значение аргумента, обозначим его x. Разность между новым значением аргумента x и первоначальным x₀ – это и есть приращение аргумента ∆x (дельта x).

Определение. Разность между новым значением аргумента и первоначальным называются приращение аргумента

∆х = х – х₀ – приращение аргумента ( дельта икс равно икс минус икс нулевое).

Из этого равенства следует, что

x= x₀+∆x

Найдем графически значение функции в точке x, то есть в точке x₀+ ∆x.

Определение. Разность между новым значением функции и первоначальным называется приращением функции.

Записывается так: ∆f = f ( x₀+∆x) – f ( x₀).

f(x₀+ ∆x) – новое значение функции (эф от икс нулевое плюс дельта икс).

f ( x₀) – первоначальное значение функции.

∆f – приращение к функции (дельта эф).

Пример №1. Дано: f(x)= ; X₀= -2; ∆X= 0.1

Найти приращение функции f в точке X₀, т.е. ∆f.

Решение:

1. Формула ∆f = f(x₀+ ∆x) – f (x₀)

2. X₀+ ∆X= -2+0.1=-1.9

3. f(x₀+∆x)=f(-1.9)=

4. f(x₀)=f(-2)=

5. ∆f= ;

Ответ: ;

Тема 2. Определение производной

Определение. Аргумент - это независимая переменная величина (х).

Определение. Функция - это зависимая переменная величина (у).

Определение. Производной функции f в точке x₀ называется отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

На приращение функции f = f(x₀)+ x ) – f(x₀),

Поэтому формулу производной можем записать в виде :

(*)