«Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы» - конспект открытого урока в 10 классе

Урок алгебры в 10 классе по теме:

«Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы».

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Дата проведения: 14.04. 2016

Цели:

1. Образовательные:

• повторить определение возрастающей, убывающей функций, точек минимума и максимума, наименьшего и наибольшего значений функции;

• формировать представления о связи свойств функции с её производной ;

• ознакомить учащихся со способом исследования функции с помощью производной.

1. Развивающие:

• развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности;

• развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру у учащихся;

• способствовать развитию интереса к исследованиям и поиску закономерностей, умению осуществлять наблюдение, формулировать выводы.

1. Воспитательные:

• воспитывать у учащихся волю и настойчивость для достижения конечного результата;

• воспитывать у учащихся умение выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться со сложностью.

Планируемый результат урока:

1. Знать: признак возрастания функции на интервале, признак убывания функции на интервале, признаки максимума и минимума функции;

2. Уметь: по графику производной и схематическому изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции.

Организационные формы общения: индивидуальная.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели и задач урока. Постановка учебной задачи.

3. Лабораторная работа. Обсуждение результатов деятельности учащихся, теоретическое обоснование этих результатов.

4. Первичное закрепление.

5. Включение в систему знаний и повторение.

6. Вывод по уроку.

7. Рефлексия деятельности.

Оборудование кабинета: ПК, проектор, экран.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Приветствие учеников. Знакомство с учениками. Проверка отсутствующих учеников.

2. Актуализация опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Цель: актуализация опорных знаний, активизировать внимание, показать недостаточность знаний для определения свойств функции.

(1,2 слайд).

- Друзья, это история произошла со мной совершенно недавно. Мой друг занимается видео редактированием и однажды, с ним случился такой случай. (Слайд 2) В одном из его видео перед ним стояла задача отрегулировать движение камеры. Она должна была двигать по кривой, которая описывалась графиком. И в точках когда камера уходила на максимальное расстояние от объекта или слишком приближалась к объекту она должна была задержаться. Но вот незадача, программа выдала только формулу графика, а самого рисунка графика не выдала. Посмотрите внимательно на формулу и скажите, можем ли мы помочь моему другу построить эту функцию и найти эти точки? Конечно это очень сложная задача, ведь вы таких функций еще не изучали. И как же быть?

- Тогда расскажите мне, пожалуйста, что вы знаете о функциях? (Беседа с детьми о свойствах функций. Демонстрируются слайды 3, 4, 5). Повторение определений возрастающей, убывающей функций, точек минимума, максимума, определения производной.

- Мы вспомнили некоторые свойства функций и что у функции есть производная. А вот интересно, есть ли какая-нибудь связь между производной функции и ее свойствами (монотонностью и точками экстремума)?

Объявления темы урока. (6 слайд).

Тема урока: Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

Исходя из темы урока, какие цели и задачи на сегодня мы должны поставить?

(Дети самостоятельно пытаются поставить цели и задачи урока).

Постановка цели и задач урока. (Слайд 7, 8)

1. Лабораторная работа. Обсуждение результатов деятельности учащихся, теоретическое обоснование результатов.

Цель: обсудить выводы учащихся по результатам лабораторной работы, познакомиться с теоремами, показывающими, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке, внести необходимые корректировки в сформулированные гипотезы, составить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

- Для выполнения поставленных перед нами целей и задач, предлагаю провести вам самим некоторые исследования. Скажите, какую самую простую функцию вы изучали в школе? (График прямой y = kx+b).

- От чего зависит вид такого графика? (От коэффициента k).

- Сейчас вы должны построить два разных графика прямой, найти их производные и посмотреть как ведет себя этот график в зависимости от значения его производной.

Учащиеся озвучивают сформулированную ими гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

- Мы с вами выяснили некоторую закономерность для знака производной и монотонности функции. А как же быть с точками экстремума? - Можно ли на примере прямой выяснить это обстоятельство. (Нет так как у прямой нет точек экстремума).

- А можете ли вы предложить какую-нибудь функцию из известных для исследования, но так чтоб у нее была хоть одна точка минимума или максимума. (Предложить детям исследовать график квадратичной функции).

Открываются слайды 9-10, идёт сопоставление построенных графиков и выдвинутых гипотез.

Учитель формулирует Теоремы 1,2 и теоремы 3,4 ( § 30-31 – учебника). Сравнение выдвинутой гипотезы с содержанием теоремы.

Формулируется учащимися окончательный вывод: чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые стационарные и критические точки разбивают область определения функции.

Составляется алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы: (Слайд 11).

4. Первичное закрепление.

Цель: научить применять полученные выводы для решения задач

двух видов:

• по графику производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции;

• по изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

На этом этапе учащиеся выполняют следующее задание:

Непрерывная функция y = f(x) задана на . На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания и убывания функции, точки минимума и максимума. (Слайд 12)

1. Включение в систему знаний и повторение.

Цель: формировать навыки самостоятельного применения алгоритма исследования функции с помощью производной.

Учащимся предлагается выполнить задания из задачника

№ 30.14 - а,б; 30.15 - б; 30.26 - в; 30.27 в. При выполнении заданий учитель контролирует учащихся «группы риска».

Ученикам быстро выполнившим все задания предлагается решить задачу с видео камерой.

1. Итог урока.

Цель: дать оценку успешности достижения цели урока.

На этом этапе проговариваются выводы, сделанные учащимися в ходе выполнения лабораторной работы.

Учитель обязательно отмечает, что каждый ученик на уроке занимался исследовательской деятельностью, создавая свой интеллектуальный продукт.

1. Рефлексия. Цель: дать оценку уроку учащимися, высказать предложения. Отмечаются позитивные моменты урока.