Презентация: Свойства педального треугольника. Точка Брокара.

Научно-практическая конференция « Свойства педального треугольника. Точка Брокара »

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Автор работы: Кыржинаков Денис

Обучающийся 9 класса

МБОУ Лестранхозовская СОШ

Научный руководитель: Артемьева

Татьяна Юрьевна

Учитель математики

Введение

Треугольник — одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьном курсе геометрии рассматриваются свойства и теоремы о произвольных, равносторонних, равнобедренных, прямоугольных треугольниках. Чтобы расширить представления о треугольниках и их свойствах, познакомимся с педальным треугольником.

Актуальность темы исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ЕГЭ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и геометрии.

.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

2

Цели и задачи работы:

Цель: расширить геометрические представления о свойствах треугольника и рассмотреть их практическое применение при решении задач.

Задачи:

• Дать общую характеристику треугольнику как геометрической фигуры.
• Рассмотреть педальный треугольник как разновидность треугольника, точку Брокара.
• Показать практическое применение свойств педального треугольника и расположения точки Брокара.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

3

Объект исследования:

треугольник как геометрическая фигура.

Предмет исследования:

свойства педального треугольника.

Гипотеза:

если выяснить свойства педального треугольника, месторасположение точки Брокара и овладеть ими, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

4

Пусть Р — любая точка внутри треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны АВ, ВС, АС треугольника, будут РС 1, РА 1 , и РВ 1 . Педальный треугольник -  треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. Сама эта точка называется   педальной точкой .

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Если при построении педального треугольника углы получаются равными, то они называются углами Брокара , а педальная точка - точкой Брокара .

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

1 0 . Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z , то длины сторон педального треугольника равны где R – радиус описанной окружности.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Следствие 2. Если Р является центром вписанной окружности, то где

Следствие 1 . Если Р является центром описанной окружности (х=у= z = R ), длины сторон педального треугольника равны

.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

2 0 . Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

3 0 . Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры l a , l b , l c , соответственно на стороны а, b , с треугольника, то .

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

4 0 . Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков .

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

AL 2 + BM 2 + CN 2 = LB 2 + MC 2 +AN 2

5 0 . Третий педальный треугольник подобен исходному.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Задача из ЕГЭ: Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р , АР = 12 . Найдите периметр этого треугольника .

I способ:

BCF – равнобедренный треугольник с основанием BF .

Проведем высоту CH . Тогда BH = HF =18. Тогда по \

свойству касательных AB = BH = HF = FP =18.

Поскольку СН – ось

симметрии треугольника ВС F , то центр вписанной окружности лежит на СН. Следовательно, точки А и Р симметричны относительно прямой СН и поэтому АР || BF . Значит, треугольники АСР и BCF подобны. Пусть АС = х . Из подобия треугольников ACP и BCF следует .

. Отсюда получаем , значит, х =9. Поэтому,

ВС = С F = х +18=27.

Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен BF +2 BC =36+54=90 .

Ответ: P=90

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Задача из ЕГЭ: Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р , АР = 12 . Найдите периметр этого треугольника .

I I способ:

Так как дана вписанная окружность, то J – есть

педальная точка, тогда треугольник АРН – педальный.

BC = CF , так как треугольник BCF - равнобедренный,

ВС = х , АР=12, . По изученным свойствам

педального треугольника

,

ВС =27, CF =27, BF =36. P BCF =27+27+36=90.

Ответ: Р=90.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Заключение

В результате проведенной работы я познакомился с понятием и свойствами педального треугольника, а также показал применение его свойств при решении геометрических задач. Следует отметить, что это позволяет решать сложные математические задачи просто, красиво, понятно. На примере задачи из ЕГЭ продемонстрировано значительное упрощение хода ее решения за счет знания понятия педального треугольника, его свойств.

Таким образом, выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в данной работе, а все поставленные цели и задачи были успешно решены.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

15