Презентация "Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

" Прогрессия " – латинское слово , означающее "движение вперед", введено римским автором Боэцием (VIв) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность

Что мы знаем о прогрессиях?

Мы выучили:

• определение, формулу п - ого члена, суммы п - первых членов арифметической и геометрической прогрессий

" Сравнение – сопоставление объектов с целью выявления черт сходства и черт различия между ними " (Философский словарь)

" Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления . . . "

(К.Д. Ушинский)

Геометрическая

Арифметическая прогрессия

прогрессия

( a n ) – арифметическая

( b n ) – геометрическая

прогрессия

прогрессия

b n+1 = b n · q

a n+ 1 = a n + d

q – знаменатель геометрической

d - разность арифметической прогрессии

прогрессии

Формула n - ого члена

a n = a 1 + d· ( n – 1)

b n = b 1 · q n -1

Формула сумма n - первых членов

Упражнения (1)

1) Представить в виде десятичной периодической дроби обыкновенную дробь

в)

а) ; .

б)

ответы: а) 0,333…=0,(3);

б) 0,4545…= 0,(45);

в) 1,58333…= 1,58(3)

2) Представьте данное число сначала в виде а 0 , а 1 а 2 а 3 . . . , а затем в виде суммы по образцу:

а) 1,(7);

б) 3,2(5);

в) -0,81(36)

ответы:

а) 1,(7) = 1,777… =

б) 3,2(5) = 3,2555… = 3,2 +

в) -0,81(36) = -0,813636… =

грязнова А.К.

28.01.2008 г

Упражнения (2)

Каким образом сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечным, вполне определенным числом?

28.01.2008 г

Главная проблема

• Почему Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху?

Грязнова А.К.

Один из "парадоксов Зенона"

(древнегреческого философа) состоит в следующем (в изложении Льва Толстого в "Войне и мире", т. 3, ч. 3).

Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т.д. до бесконечности.

Один из "парадоксов Зенона“ (2)

• Задача представлялась древним неразрешимой (она и в настоящее время не считается полностью решенной). Отрезки, последовательно пробегаемые Ахиллесом, составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 0,1.

(за единицу принимаем начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой). Общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой, есть

"сумма бесконечного числа членов":

• Обозначим сумму через S:

Так учил Л.Н.Толстой в Яснополянской школе детей переводить бесконечные десятичные дроби в обыкновенные

28.01.2008 г

грязнова А.К.

Изучение нового (1)

1). 1; ; ; ; … — бесконечная геометрическая

прогрессия

• b 1 = 1; b 2 = ; q = , | q |

При

2) b 1 ; b 2 ; b 3 …— убывающая геометрическая прогрессия | q |