Презентация по теме "Вписанные и описанные многоугольники"

Вписанные многоугольники

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Теорема 2 . Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 о .

Описанные многоугольники

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник

Теорема 3. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Теорема 4 . Суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Вписанные и описанные треугольники

Теорема 5 . Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Теорема 6 . Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.

Теорема 7 . Радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой , где a , b , c – стороны треугольника S – его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 1.

Упражнение 2

Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5 .

Упражнение 4

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 20 .

Упражнение 5

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 30 о .

Упражнение 6

Сторона AB треугольника ABC равна , угол C равен 60 о . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 1.

Упражнение 7

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 12.

Упражнение 8

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 1.

Упражнение 9

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60 о . Найдите радиус описанной окружности. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 10

Около окружности радиуса, равного , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 11

Сторона ромба равна 4, острый угол – 30 о . Найдите радиус вписанной окружности. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 1.

Упражнение 12

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 и 4. Найдите среднюю линию трапеции. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 3.

Упражнение 13

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите боковую сторону трапеции.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 14

Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 100 о . Найдите угол C .  

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 80 о .

Упражнение 15

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80 о и 60 о . Найдите больший из оставшихся углов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 120 о .

Упражнение 16

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 56.

Упражнение 17

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и 5. Найдите большую из оставшихся сторон.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 6.

Упражнение 18

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 16.

Упражнение 19

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 20

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 3.

Упражнение 21

Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 45 о .

Упражнение 22

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120 о . Найдите диаметр описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 4.

Упражнение 23

Сторона BC треугольника ABC равна , угол A равен 45 о . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 24

Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус описанной окружности равен 10. Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 150 о .

Упражнение 25

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 25.

Упражнение 26

В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90 о . Найдите радиус вписанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 27

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите радиус вписанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 3.

Упражнение 28

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно 6. Найдите радиус описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 29

Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол C равен 150 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 10.

Упражнение 30

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 36. Найдите ее среднюю линию.  

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 9.

Упражнение 31

В четырехугольнике ABCD , вписанном в окружность, угол A равен 75 о , угол B равен 90 о . Найдите разность двух других углов.  

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 15 о .

Упражнение 32

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 о , большее основание равно 10. Найдите радиус описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 33

Углы A , B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D , если около данного четырехугольника можно описать окружность. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 90 о .

Упражнение 34

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 35

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20, ее большая боковая сторона равна 6. Найдите радиус окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 36

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 9.

Упражнение 37

Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72. Найдите n .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 10.

Упражнение 38

Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 3.

Упражнение 39

Около окружности радиуса, равного , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанного около этого шестиугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 40

К окружности, вписанной в треугольник АВС , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите периметр данного треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 12.

Упражнение 41

В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90 о . Найдите радиус описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 42

В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 34.

Упражнение 43

Угол B четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 70 о . Найдите угол D .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 110 о .

Упражнение 44

Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Один из углов, образованных диагоналями 120 о . Найдите диаметр описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 72.

Упражнение 45

Периметр правильного шестиугольника равен 36. Найдите диаметр описанной окружности.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 12.

Упражнение 46

Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 7.

Упражнение 47

Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30 о . Найдите радиус вписанной окружности. 

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2.

Упражнение 48

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 4 и 6. Найдите среднюю линию трапеции.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5.

Упражнение 49

Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 14.

Упражнение 50

Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 70. Найдите n .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 9.