Презентация: "Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея"

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Выполнила: Хомушку Чодураа Мергеновна

Вписанные четырёхугольники и их свойства

•         Определение 1 . Окружностью,  описанной  около  четырёхугольника , называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1).  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность,  или  вписанным четырёхугольником .

Рис.1

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

•              Доказательство . Угол   ABC  является  вписанным углом , опирающимся на дугу  ADC  (рис.1). Поэтому  величина угла  ABC   равна половине угловой величины дуги  ADC . Угол   ADC   является вписанным углом , опирающимся на дугу  ABC . Поэтому  величина угла  ADC  равна половине угловой величины дуги  ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов  ABC  и  ADC  равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.
•       Если рассмотреть углы  BCD  и  BAD , то рассуждение будет аналогичным.
•       Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная  к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность .

•        Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность , проходящую через вершины  A ,  B  и  С  четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину  D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка  D  лежит внутри круга (рис.2).

Рис.2

•       Продолжим отрезок  CD  за точку  D  до пересечения с окружностью в точке  E , и соединим отрезком точку  E  с точкой  A   (рис.2). Поскольку четырёхугольник  ABCE   вписан в окружность, то в силу  теоремы 1 сумма величин углов  ABC  и  AEC  равна 180°. При этом сумма величин углов  ABC   и  ADC  так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол  ADC  равен углу  AEC . Возникает противоречие, поскольку угол  ADC  является  внешним углом треугольника   ADE   и, конечно же, его величина больше, чем величина угла  AEC , не  смежного  с ним.
•       Случай, когда точка  D  оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
•       Теорема 2 доказана.

       Теорема Птолемея . Произведение диагоналей  вписанного четырёхугольника  равно сумме произведений противоположных сторон.

• Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник  ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
• Рис.3
•      

• Докажем, что справедливо равенство:
•       Для этого выберем на диагонали  AC  точку  E  так, чтобы угол  ABD   был равен углу  CBE  (рис. 4).

Заметим, что  треугольник   ABD  подобен треугольнику   BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол  ABD  равен углу  CBE  (по построению точки  E ), угол  ADB   равен углу  ACB  (эти углы являются  вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу ). Следовательно,  справедлива пропорция :

• Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
• . Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны   и  . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

• Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  . Пусть угол   равен  . Тогда напротив него лежит угол в   градусов. Если угол   равен  , то угол   равен  .

• . Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как  . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен  .
• Пусть сторона АВ равна х , AD  равна 2x , а DC-3x  . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
•     Получается, что  BC равна 2x  . Тогда периметр четырехугольника равен 8x  . Мы получаем, что x=4 , а большая сторона равна 12 .

Спасибо за внимание!