Представление числовой информации с помощью систем счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цели урока:

Образовательные:

• Восприятие  учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения.

• Закрепление понятий «число», «цифра».

• понятия: «система счисления», «алфавит» системы счисления.

• Ознакомить учащихся с историей развития систем счисления  и дать их классификацию.

• Закрепить умения:

- представление числа в различных системах счисления, запись числа в свернутой и развернутой формах;

- научиться переводить числа из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления.

Развивающие:

• Развитие познавательного интереса у учащихся, умения обобщать, анализировать, сравнивать.

• Развитие памяти, речи, логического мышления.

Воспитательные:

• Воспитание научного мировоззрения.

• Воспитание умения четко организовать самостоятельную и групповую работу.

Методы: словесные, наглядные, практические.

ХОД УРОКА:

1. Организационный этап

Объявление темы и целей урока  

На экране тема «Системы счисления» (слайд 1). Учитель приветствует учащихся и объявляет тему урока с просьбой записать в тетрадь. Далее объявление целей урока (слайд 2): познакомиться с понятием системы счисления, видами систем счисления, научиться записывать числа в различных системах счисления, переводить числа в десятичную систему счисления.

1. Актуализация опорных знаний

1. Понятие Систем счисления:

Для начала проведём границу между числом и цифрой. Число – это некоторая абстрактная сущности для описания количества. Цифры – это знаки, используемые для записи чисел.

Цифры бывают разные, самыми распространенными являются арабские цифры, представленные известными нам знаками от 0 до 9.

Существует множество способов записи чисел с помощью цифр.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемых цифрами.

Что такое система счисления?

Система счисления в современном мире.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

1. Непозиционные системы счисления:

В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в представлении чисел.

1. Единичная СС:

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.). Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

1. Древнеегипетская СС:

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

1. Вавилонская СС:

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

1. Римская СС:

Вопрос: Где сегодня используется римская система счисления для записи чисел?

(Ответ: для записи дат в истории, для нумерации глав учебника, циферблат часов и т.д.)

1. Алфавитные системы:

Алфавитной нумерацией пользовались южные и восточные славянские народы. Вместо цифр используются буквы алфавита. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальные значок "~" («титло»).

Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв.

1. Позиционные системы счисления:

Позиционные системы счисления – это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.

Самые распространенные позиционные системы счисления:

• Двоичная;

• Троичная;

• Четверичная;

• Пятеричная;

• Шестеричная;

• Семеричная;

• Восьмеричная;

• Десятичная;

• Шестнадцатеричная;

• Шестидесятеричная.

1. Десятичная система счисления:

• Давайте рассмотрим самую распространённую позиционную систему счисления - «десятичную систему счисления».

• Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Это: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9. Если их пересчитать, то окажется, что их ровно десять. Заметьте: максимальная цифра 9 на единичку меньше количества цифр.

• Цифры, используемые в системе счисления, называются алфавитом системы счисления.

• Количество цифр (знаков) в её алфавите, называется основанием системы.

• В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом:

• (a_na_n-1a₀)_f,

• Где a₀,a₁,…,a_n – цифры, f – основание.

• Аналогично рассматриваются двоичная, восьмеричная системы счисления.

1. Шестнадцатеричная система счисления:

• В шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,E,F), причём первые десять цифр имеют общепринятое обозначение, а для записи остальных цифр (10,11,12,13,14,15) используются первые шесть букв латинского алфавита.

1. Шестидесятеричная система счисления:

• То, как мы представляем время на часах, это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции: для часов, минут и секунд. Так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятеричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02,…,59), а позиции разделяются двоеточием.

• h:m:s

• Примеры чисел:

• 11001₂ – число в двоичной системе счисления;

• 221₃ – число в троичной системе счисления;

• 31₈ – число в восьмеричной системе счисления;

• 25₁₀ – число в десятичной системе счисления.

• В приведённых выше примерах числа записаны, в так называемой свёрнутой форме.

• Существует развёрнутая форма записи чисел.

1. Преобразование чисел:

   1. Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную:

• Итак, число может быть представлено в разных системах счисления с помощью цифр своего алфавита. Может записываться в свернутой и развернутой формах. На слайде показан алгоритм перевода числа из произвольной  системы счисления в десятичную систему счисления.

• Учащиеся переводят два числа, записанные в троичной и восьмеричной системах, в десятичную систему счисления.

• 221₃ и 31₈.

1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную систему:

• Для того, чтобы перевести десятичное число в любую систему счисления нужно это число поделить на основание искомой системы счисления.

1. Закрепление:

• Вопросы по теме

1. Домашнее задание.

• § 3.1.1. , стр. 80 – задание для самостоятельного выполнения.

1. Подведение итогов. Выставление оценок.

• Итак, мы сегодня познакомились с представлением числовой информации с помощью различных систем счисления.  Узнали, что каждая система счисления имеет основание и алфавит. Каждое число можно записать в развернутой и свернутой формах. Мы узнали, что из любой системы счисления число можно перевести в десятичную систему счисления и наоборот.