Предел числовой последовательности

Предел последовательности

Основные понятия

Гл.5 п.24 стр.137

Определение 1 : Функцию вида y = f (x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f (n)

или

,

или

Последовательность можно задать:

1. Словесно, когда правило задания последовательности описано словами. Например: Последовательность простых чисел (2,3,5,7,11,13,) Последовательность натуральных чисел(1,2,3,4,…) 2. Аналитически, если указана формула её n-го члена. Например: 1, 4, 9, 16, 25…., С, С, С, С,…. , 2, 4, 8, 16, 32, 64, ….

Задачник стр.67 №№24.1 № 24.5 – 24.6 (по вариантам 1в а; б 2 в в; г с проверкой)

24.1 а) 1, -1, -3, -5, -7….. б) 1, 6, 15, 28, 45…

в) 0, 7, 26, 63, 124.. г) 1, 5/4, 8/6, 11/8, 14/10….

24.5 а)n – 1; б) – n; в) n+4; г) 11 - n

24.6 а)5n; б) 6n; в) 4n ; г ) 3n

Определение 2: Последовательность называют ограниченной сверху, если все её члены не больше некоторого числа. Для ограниченной сверху последовательности , существует такое число М, что для любого n выполняется неравенство

Число М называют верхней границей последовательности.

- 1, -4; -9; -16; - 25;…. 25; 22; 19; 16;….. 0,5; 0,4; 0,3; 0,2; ……

Определение 3: Последовательность (у n ) называют ограниченной снизу, если все её члены не меньше некоторого числа.

Для ограниченной снизу последовательности существует такое число m, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m.

m называют нижней границей последовательности.

1, 4, 9, 16, 25….

Если последовательность ограничена сверху и снизу, то её называют ограниченной последовательностью .

У n = 1 /n

Учебник стр.139 рис.112

y 2 y 3 …. y n y n+1 … Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности . 1,3,5,7…, 2n + 1,… ; 1,4,9,16,…; возрастающие последовательности 0; -1; -2; -3; …убывающие последовательности " width="640"

Определение 4: Последовательность (y n )называют возрастающей , если каждый её член больше предыдущего:

y 1

Определение 5: Последовательность (y n )называют убывающей , если её каждый следующий член меньше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 …. y n y n+1 …

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности .

1,3,5,7…, 2n + 1,… ; 1,4,9,16,…; возрастающие последовательности

0; -1; -2; -3; …убывающие последовательности

1)

Немонотонная последовательность

Возрастающая последовательность

2, 4, 8, 16…

2)

3)

Убывающая последовательность

4) у n = C Постоянная или стационарная

последовательность С, С, С, С…

1, эта последовательность возрастает. а = 3; 3 , 9, 27, 81… 2) Если 0 " width="640"

5)

• Если а 1, эта последовательность возрастает.

а = 3; 3 , 9, 27, 81…

2) Если 0

1, последовательность расходится, предела нет. " width="640"

Определение 6: Число b называют пределом последовательности ( у n ) , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Читают: «Предел последовательности (у n )

при стремлении n к бесконечности равен b .»

Если | a |

Если | а | 1, последовательность расходится, предела нет.

Свойства сходящихся последовательностей

Свойство1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится ( теорема Вейерштрасса)

Пример: Если в окружность вписывать правильные многоугольники, то их периметры будут стремиться к длине окружности, а площади – к площади круга.

Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используют следующую теорему:

Теорема. Если и , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3 . Предел частного равен частному пределов:

4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Учебник стр.143 пример 1

Задачник стр. 68 №№ 24.12 – 24.14 ( устно)

№№ 24.18 и 24.19;

№№ 24.20 и 24.22.( письменно)