Прямоугольный треугольник. Признаки прямоугольного треугольника

. 7 класс. Урок геометрии.

Тема урока : Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Тема урока : Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

План урока.

• Повторение. Тест.
• Домашние задачи у доски.
• Признаки равенства прямоугольных треугольников.
• Решение задач.

Сколько существует внешних углов при одной вершине ?

1

3

2

4

B

30 º

70 º

?

D

A

C

70 º

30 º

100 º

80 º

B

?

100 º

D

A

C

50 º

80 º

40 º

20 º

B

40 º

D

A

C

?

K

70 º

40 º

140 º

130 º

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

• Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

• ABC – прямоугольный

 C = 90°

 A +  B = 90°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 °.

• Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу называется гипотенузой.
• Две другие стороны называются катетами.

• Назовите гипотенузу и катеты

в  KBO ;

в  KOM.

• Найдите острые углы прямоугольных треугольников.

• Определите вид  KBO.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• по двум катетам

по двум сторонам и углу между ними

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• по гипотенузе и

острому углу

по стороне и двум

прилежащим к ней углам

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• по катету и прилежащему острому углу

по стороне и двум прилежащим к ней углам

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• по катету и противолежащему острому углу

по стороне и двум прилежащим углам

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

по двум катетам

по гипотенузе и катету

по гипотенузе и острому углу

по катету и

противолежащему

острому углу

по катету и

прилежащему

острому углу

Выбери правильное завершение определения.

Катетом называется…

Любая сторона треугольника;

Сторона, лежащая против прямого угла треугольника;

Перпендикуляр из вершины угла на противолежащую сторону;

Сторона, примыкающая к вершине прямого угла.

Выбери правильное завершение определения.

Гипотенузой называется…

Любая сторона треугольника;

Сторона, лежащая против прямого угла треугольника;

Перпендикуляр из вершины угла на противолежащую сторону;

Сторона, примыкающая к вершине прямого угла.

Выбери правильное завершение определения.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …

180 º

60 º

80 º

90 º

A

27 º

C

?

B

153 º

27 º

6 3 º

73 º

• Чему равны углы при основании в равнобедренном

прямоугольном треугольнике?

• Могут ли в равнобедренном прямоугольном

треугольнике углы при основании быть равными 90  ?

Дано:  B =  D = 90°

BC || AD

Доказать:  ABC =  CDA .

1) Рассмотрим  ABC и  CDA

- треугольники прямоугольные по условию;

- AC - общая гипотенуза;

•  BCA =  CAD - т. к. они внутренние накрест лежащие

при параллельных прямых BC и AD и секущей AC .

по гипотенузе и острому углу

2)  ABC =  CDA

Из точки D , лежащей на биссектрисе  A, опущены перпендикуляры DB и DC на стороны угла. Докажите, что  A D B =  AD C.

Дано: AD - биссектриса  A

DB  AB, DC  AC.

Доказать:  A D B =  AD C.

1) Рассмотрим  A D B и  AD C.

- треугольники прямоугольные т. к. DB  AB, DC  AC .

- AD - общая гипотенуза.

-  BAD =  CAD т. к. AD - биссектриса  A.

2)  A D B =  AD C по гипотенузе и острому углу .

Дано:  C =  D = 90°

AD = BC

Доказать:  ABC =  BAD .

• Рассмотрим  ABC и  BAD .

- треугольники прямоугольные т. к.  C=  D=90°.

- AD = BC

- AB - общая гипотенуза

2)  ABC =  BAD

по гипотенузе и катету

Дано: AB  BC ; CD  BC ;

O - середина AD ;

AB = 3 см.

Найти: CD .

1) Рассмотрим  ABO и  DCO.

• треугольники прямоугольные т. к. AB  BC и CD  BC .

• AO = OD т. к. O - середина AD.

•  AOB =  DOC как вертикальные.

2)  ABO =  DCO по гипотенузе и острому углу .

3) Из равенства треугольников следует AB = CD = 3 см.

CD = 3 см.

Домашнее задание.

Устно : формулировки признаков .

Письменно:

Дано: DA  AB

FB  AB

BD = AF

Доказать:  ABD =  BAF

№ 1.

№ 2. Докажите, что два равнобедренных прямоугольных треугольника равны, если равны их гипотенузы.

№ 3 Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

Свойство катета, лежащего против угла в 30  .

BC = AB

Катет, лежащий против угла в 30  , равен половине гипотенузы.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 ° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Дано:  ABC

 C = 90° ,  B = 30° .

Доказать: АС = АВ.

1) Построим  DBC =  ABC , как показано на рисунке.

2)  ABC - равносторонний, так как все его углы равны

60 ° и AB = BD = AD .

3) AC = AD или AC = AB .

В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 120 °, а медиана, проведенная к основанию, равна 3 см. Найдите углы при основании и боковые стороны треугольника.

Дано:  ABC - равнобедренный

с основанием AC ;

 B =120° ;

BD - медиана; BD = 3 см.

Найти:  A,  C, AB и BC.

1)  ABC - равнобедренный по условию .

BD - медиана, биссектриса и высота.

•  ABC – равнобедренный

по условию .

BD - медиана, биссектриса и высота.

60 º

60 º

30 º

2)  AB D =  CB D = 120° : 2 = 60 ° т. к. BD - биссектриса .

3 )  AB D - прямоугольный т. к.  ADB = 90°.

4 )  A +  AB D = 90° как острые углы прямоугольного треугольника .

 A = 90° - 60° = 30°.

5 ) BD = AB по свойству катета, лежащего против угла в 30°.

AB = 3 • 2 = 6 см. AB = BC = 6 см.

6)  A =  C = 30° как углы при основании равнобедренного

треугольника.

 A =  C = 30° ; AB = BC = 6 см.

по двум катетам

по гипотенузе и катету

по гипотенузе и острому углу

по катету и

противолежащему

острому углу

по катету и

прилежащему

острому углу

Докажите, что у равных треугольников высоты, проведенные из соответствующих вершин, равны.

Дано:  ABC =  A 1 B 1 C 1

BD  AC, B 1 D 1  A 1 C 1

Доказать: BD = B 1 D 1 .

• Рассмотрим  ABD и  A 1 B 1 D 1 .

• треугольники прямоугольные т. к. BD  AC и B 1 D 1  A 1 C 1 .

• AB = A 1 B 1 из равенства
•  A =  A 1  ABC =  A 1 B 1 C 1

2)  ABD =  A 1 B 1 D 1 по гипотенузе и острому углу.

3) Из равенства треугольников следует BD = B 1 D 1 .

Докажите, что сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 º .

Домашнее задание.

Устно : формулировки признаков и формулировка

задачи №43.

Письменно:

c

Дано: a | | b ; с – секущая; ∠ 3 больше суммы ∠ 1 + ∠ 2 в 4 раза.

Найти все образовавшиеся углы.

№ 1.

1

a

2

b

3

№ 2. Докажите, что равносторонние треугольники равны, если равны их высоты.

№ 3. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Свойство катета, лежащего против угла в 30  .

BC = AB

Катет, лежащий против угла в 30  , равен половине гипотенузы.