Прямоугольный треугольник.

Прямоугольные треугольники

Цели урока:

• Обучающие —  обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «треугольники»; совершенствовать навыки решения задач по данной теме; введение понятий, связанных с прямоугольным треугольником и доказательство основных свойств прямоугольного треугольника.
• Развивающие —  развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умения работать в группах); развивать логическое мышление; устную речь.
• Воспитательные —  прививать культуру совместного умственного труда, уважительного отношения друг к другу.

Тему треугольников в курсе геометрии мы с вами уже затрагивали.

Треугольники в зависимости от углов бывают

Сегодня нас интересует последняя стрелочка!

Остроугольными

(когда все углы меньше 90°, то есть острые)

Тупоугольными

(когда один из углов больше 90°,то есть тупой)

Прямоугольными

(когда один из углов равен 90°, то есть прямой)

А

Стороны образующие прямой угол называются катетами. Здесь АС и ВС – катеты.

Сторона лежащая на против прямого угла называется гипотенузой . Здесь это АВ.

Гипотенуза самая большая сторона треугольника, так как лежит на против большего угла треугольника. Самый известный прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским.

В

С

В

С

Итак, треугольник один из углов которого равен 90° называется прямоугольным.

Прямоугольные треугольники в зависимости от сторон бывают

Произвольными

(все стороны разной длины)

Равнобедренными

(есть две стороны одинаковой длины)

Равносторонние

Таких нет

Прямоугольные треугольники, также как и остальные подчиняются большинству теорем, например сумма внутренних углов равна 180°, внешние углы обладают теме же свойствами, также работает и неравенство треугольника и т.п.

Давайте вспомним эти свойства на примере нескольких задач.

Задача 1. Попробуйте решить сами!

Найти:∟В

А

34°

В

С

Решение:

Дано:

АВС

∟ А=34, ∟С=90

А

Найти: ∟В

решение:

34°

• По теореме о сумме внутренних углов треугольника: ∟А+ ∟В+ ∟С=180

Подставляем значение углов А и С в это выражение получаем:

34+ ∟В+90=180

∟ В+(34+90)=180

∟ В + 124=180

∟ В= 180-124

∟ В= 56

Ответ: 56.

С

В

Задача 2: Попробуйте решить сами!

А

Найти: ∟А, ∟В

С

В

В

С

Решение:

А

Дано:

АВС

АС=ВС, ∟С=90

Найти: ∟А, ∟В

решение:

• Так как треугольник равнобедренный, следовательно в нем два равных угла в данном случае ∟А=∟В=х
• По теореме о сумме внутренних углов треугольника: ∟А+ ∟В+ ∟С=180

х+ х+90=180

1х+1х+90=180

2х+90=180

2х= 180-90

2х= 90

Х=90:2

Х=45- а это и есть наши искомые углы

Ответ: 45.

В

С

В

С

Помимо основных свойств, которыми обладают все треугольники, прямоугольный обладает своими собственными, именно с ними мы сегодня поработаем.

Свойство 1

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

А

Дано:

АВС

∟ С=90

Доказать: ∟А+∟В=90

По теореме о сумме внутренних углов треугольника: ∟А+ ∟В+ ∟С=180

• ∟ А+∟В+90=180
• ∟ А+∟В= 180-90
• ∟ А+∟В=90

С

В

Свойство 2

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

А

Доказать: ВС= АВ

30°

В

С

60°

А

Дополнительное построение: 1.На продолжении стороны ВС от точки С отложим отрезок равный ВС и поставим точку Д.

2. Соединим точку А и точку Д. Получили треугольник равный данному.

3. Так как мы получили равные треугольники, то ∟Д= ∟В, значит треугольник АВД- равнобедренный. Но получается сторона АС в треугольнике АВД является высотой, так как пересекает сторону под прямым углом.

А высота опущенная на основание равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой.

30°

60°

В

С

Д

4.Т.к. АС – медиана, значит ВС=СД то есть ВС= ВД.

5. ∟А состоит из двух частей, т.к. АС- биссектриса, значит он состоит из двух одинаковых частей, следовательно ∟А=2·30=60, а это значит что все углы по 60°, значит треугольник АВД- равносторонний, то есть

АВ=ВД =ДА, значит ВС= АВ.

Свойство 3

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 30°.

Данное свойство является обратным свойству 2, поэтому доказывать его мы не будем.

Данные свойства можно найти в учебнике на стр.75-76.

Итоги: Мы вспомнили что такое прямоугольный треугольник, его разновидности и познакомились с его свойствами.

Домашнее задание: стр. 75-76, конспект, свойства выучить, 2 задачи.

А

А

50°

?

?

С

В

С

В

47°