Прямоугольный параллелепипед

П А Р А Л Л Е Л Е П И П Е Д

Рассмотрим эти предметы

Строительный кирпич

Игральный кубик

Микроволновая печь

Эти предметы объединяет одинаковая форма

Микроволновая печь

Игральный кубик

Строительный кирпич

D 1

C 1

A 1

B 1

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 — параллелепипед

D

C

A

B

D 1

вершина D 1

C 1

вершина С

A 1

B 1

D

Вершины:

А, В, С, D, А 1 , В 1 , С 1 , D 1

C

A

B

вершина B

D 1

ребро A 1 B 1

C 1

ребро C 1 C

A 1

B 1

D

Рёбра:

АВ, ВС, CD, AD, А 1 В 1 В 1 С 1 , C 1 D 1 , A 1 D 1

АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 — боковые рёбра

C

A

B

ребро AD

D 1

грань A 1 B 1 C 1 D 1

C 1

грань BB 1 C 1 C

A 1

B 1

грань ABCD

D

Грани:

ABCD — нижнее основание

A 1 B 1 C 1 D 1 — верхнее основание

C

A

B

1 0 . В прямоугольном параллелепипеде все шесть

граней – прямоугольники.

2 0 . Все двугранные углы прямоугольного

параллелепипеда – прямые.

D 1

С 1

А 1

В 1

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

С

D

В

А

Способы изображения параллелепипеда

D 1

A 1

C 1

Параллелепипед,

в основании которого лежит ромб

B 1

D

A

C

B

Способы изображения параллелепипеда

D 1

A 1

C 1

B 1

Параллелепипед,

в основании которого лежит квадрат

A

D

B

C

Способы изображения параллелепипеда

A 1

D 1

B 1

Параллелепипед,

в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

C 1

A

D

B

C

Способы изображения параллелепипеда

A 1

D 1

B 1

C 1

Параллелепипед,

у которого все грани — равные квадраты

A

D

B

C

Классификация параллелепипедов

Свойство 1

Противоположные грани параллелепипеда параллельны

и равны

D 1

C 1

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 — параллелепипед

B 1

A 1

Доказать: свойство 1

Доказательство:

1) АВСD — параллелограмм ⇒ BC ∥ AD

2) АВВ 1 А 1 — параллелограмм ⇒ ВВ 1 ∥ AA 1

C

D

B

A

4) ВС = АD, ВВ 1 = АА 1

5) ∠В 1 ВС = ∠А 1 АD

Свойство доказано

Определение

Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий противоположные вершины

D 1

C 1

A 1

B 1

В 1 D, BD 1 , А 1 С — диагонали параллелепипеда

D

C

A

B

Планиметрия

Стереометрия

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов

трех его

измерений.

В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.

С

b

В

a

d

с

d

D

А

a

b

d 2 = a 2 + b 2

d 2 = a 2 + b 2 + с 2

16

Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

C 1

D 1

АС 1 2 = АВ 2 + А D 2 + AA 1 2

B 1

A 1

d

с

C

D

Следствие.

Диагонали прямоугольного

параллелепипеда равны.

а

B

A

b

Свойство 2

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

D 1

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 — параллелепипед

C 1

В 1 D, BD 1 — диагонали ВВ 1 D 1 D

Доказать: свойство 2

A 1

B 1

Доказательство:

1) ВB 1 = AA 1 , ВB 1 ∥ AA 1

O

АА 1 = DD 1, АА 1 ∥ DD 1

2) ВВ 1 = АА 1 , АА 1 = DD 1 ⇒ ВВ 1 = DD 1

D

ВВ 1 ∥ АА 1 , АА 1 ∥ DD 1 ⇒ ВВ 1 ∥ DD 1

⇒ BB 1 D 1 D — параллелограмм ⇒

C

A

⇒ В 1 D ∩ BD 1 = О,

В 1 О = ОD, BO = OD 1

4) BC 1 D 1 A — параллелограмм ⇒

B

C 1 O = OA, BO = OD 1

⇒ C 1 A ∩ BD 1 = O,

Свойство доказано

17

Ребро куба равно а . Найдите диагональ куба.

№ 188.

d 2 = a 2 + b 2 + с 2

D 1

С 1

d 2 = 3 a 2

А 1

В 1

d = 3 a 2

а

d = a 3

D

С

а

d = a 3

А

а

В

Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:

a ) АВВ 1 С; б) А DD 1 B ; в) А 1 ВВ 1 К, где K – середина

ребра А 1 D 1 .

№ 190.

D 1

С 1

K

А 1

В 1

D

С

А

В

Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 . Докажите, что плоскости

АВС 1 и А 1 В 1 D перпендикулярны.

№ 191.

D 1

С 1

А 1

В 1

D

С

А

В

m

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости

любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:

а) диагональ грани куба равна m .

б) диагональ куба равна d .

№ 189.

Подсказка

D 1

А

С 1

А 1

В 1

Н

D

С

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

А

В

№ 1 9 6.

Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его

сечение плоскостью, проходящей через:

а) ребро АА 1 и перпендикулярной к плоскости ВВ 1 D 1 ;

D 1

С 1

А 1

В 1

D

С

А

В

Задача 1

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 — параллелепипед

C 1

D 1

BL = CM = A 1 N = D 1 P

B 1

Доказать: ALMDNB 1 C 1 P — параллелепипед

A 1

P

Доказательство:

N

1) ВВ 1 А 1 А — параллелограмм ⇒ ВВ 1 = АА 1 , ВВ 1 ∥ АА 1

⇒ LB 1 = NA, LB 1 ∥ NA

M

L

C

D

⇒ LB 1 NA — параллелограмм

A

4) MC 1 PD – параллелограмм (аналогично п. 3)

B

5) ∠LB 1 N = ∠MC 1 P

8) A 1 N = D 1 P ⇒ NA 1 D 1 P — параллелограмм ⇒ A 1 D 1 ∥ NP ∥ AD

9) (ABB 1 A 1 ) ∥ (DCC 1 D 1 ) ⇒ B 1 C 1 = LM = AD = NP

10) ANPD, NB 1 C 1 P, LB 1 C 1 M, ALMD — параллелограммы

Что требовалось доказать

ALMDNB 1 C 1 P — параллелепипед

Домашнее задание:

• Вопрос 15, №76,78.
• Творческое задание – создать модель тетраэдра и параллелепипеда (картон и спицы). На одной из модели сделать сечение.