Презентация "Задачи на построение"

Задачи на построение

Урок геометрии в 7 классе

Презентацию подготовила

Рудник Ольга Анатольевна

учитель математики I категории

МОУ «СШ№53 г. Макеевки»

Задача

• Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части

• Разделить угол 55 º на четыре равные части

• Расположить три точки на одинаковом расстоянии друг

от друга

Тема урока:

Учебная задача урока:

дать представление о задачах на построение, этапах их решения и начать выделять основные задачи на построение .

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Линейка позволяет провести произвольную

прямую, а также построить прямую, проходящую

через две данные точки; с помощью циркуля

можно провести окружность произвольного

радиуса, а также окружность с центром в

данной точке и радиусом, равным данному

отрезку.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Задача1.

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Дано: отрезок АВ, луч ОС .

А B

D

O С

О C

Построить :

отрезок OD, OD = АВ D  ОС.

Построение :

1 ) окр.( O , r = АВ);

2 ) окр.( O , АВ) Ո OC = D ;

3 ) OD - искомый

Дано: отрезок АВ, луч ОС.

Доказать: А B =О D

3.Доказательство:

OD = АВ как радиусы одной и той же окружности окр.( O , АВ);

А B

О C

Построили:

OD = АВ

4.Исследование:

Задача всегда имеет единственное решение .

O

D

Схема решения задач на построение:

• Анализ (рисунок искомой фигуры, установление связей между заданными и искомыми элементами, план построения). Построение по намеченному плану. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. Исследование (когда и сколько задача имеет решений?).
• Анализ (рисунок искомой фигуры, установление связей между заданными и искомыми элементами, план построения).
• Построение по намеченному плану.
• Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.
• Исследование (когда и сколько задача имеет решений?).

Задача 2 .

Построить треугольник, стороны которого равны заданным отрезкам.

Дано:

С

а=3см

b=2 см

с=4см

В

М

А

Построить :

АВ = а, ВС = b, AC = c .

Анализ:

4) окр.2 (А, r= с)

5) окр.3 (В, r=b)

6) окр.2 Ո окр.3=С

7) AC, BC

8 ) Δ АВС – искомый треугольник

А

Построение :

1 ) луч АМ

2)окр.1(А, r = а);

3) окр.1 Ո АМ = В ;

с=4см

а=3см

С

В

b=2 см

Доказательство :

• В Δ АВС АВ=а=3см по построению как радиус окр.(А, r=a) , АС=с=4см по построению как радиус окр.(А, r= с ) , ВС= b= 2см по построению как радиус окр.(В, r=b) . Значит, треугольники равны по трем сторонам.

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Учебник, задача №148 На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложить отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

Построение :

С

В

А

Запишите самостоятельно ход построения и доказательство

Исследование: Так как от данной точки на данном луче можно отложить отрезок заданной длины и притом только один, то данная задача имеет единственное решение

PQ нет точек ρ (В, а) 2 точки ρ (В, а) = PQ 1 точка III случай I случай II случай P Q P Q P Q Задача не всегда имеет решение а а а В В В " width="640"

Учебник, задача №149 Даны прямая а и точка В , не лежащая на ней, и отрезок PQ . Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ= PQ . Всегда ли задача имеет решение?

ρ (В, а) PQ нет точек

ρ (В, а)

2 точки

ρ (В, а) = PQ

1 точка

III случай

I случай

II случай

P Q

P Q

P Q

Задача не всегда имеет решение

а

а

а

В

В

В

Задача 3 .

Построить середину отрезка АВ.

Дано:

А В

Построить: точку О,

АО=ОВ

Построение:

1 ) Луч АМ

2) окр.1(А; r=AB) Ո АМ=В

3) окр.1(А; r=AB) Ո

о кр.2(В; r=AB)={ К ,М}

4) Прямая КМ

5) КМ Ո АВ=О

6) О- середина АВ

К

О

М

В

А

М

Доказательство :

Рассмотрим Δ АМК и Δ ВМК.

У них АМ=АК=ВМ=ВК как радиусы одной

окружности,

Значит, Δ АМК = Δ ВМК по трем сторонам,

МК – общая сторона.

тогда соответствующие углы равны

В равнобедренном Δ АКВ (АК=КВ) КО является биссектрисой и медианой.

Значит, О – середина АВ, ч. и т. д.

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 4. Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части

Дано:

Анализ:

А

В

5 см

А

В

О

Е

Р

Построить:

точки О, Р, Е так, что АР=РО=ОЕ=ЕВ

1) Луч АМ

2) окр.1(А, r= АВ)

Построение:

К

3) окр.1 Ո АМ=В

4) окр.2(В, r= АВ)

5) окр.1 Ո окр.2={К,Н}

6) Прямая КН Ո АВ=О

S

T

7) окр.3(А, r= АО)

8) окр.4(О, r= АО)

9) окр.3 Ո окр.4={ T, L}

P

А

О

E

М

В

10) Прямая TL Ո AO=P

11) окр. 5 ( O , r= АО)

12) окр.6(В, r= АО)

13) окр.5 Ո окр.6={ S,D}

14) Прямая SD Ո BO=E

D

L

15) AP=PO=OE=EB

Н

Доказательство: А Р О Е В

• О – середина АВ по построению, тогда АО=ОВ=0,5 АВ
• Р – середина АО и Е – середина ВО по построению, тогда АР=РО=ОЕ=ЕВ=0,25 АВ
• Значит, отрезок АВ разделили на четыре равные части

Исследование:

Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 5.

Отложить от данного луча угол, равный данному

Построение :

• окр.1 (А , r )
• окр.1 ( А , r) Ո
• окр.2 (O, AC)
• окр.2 Ո ОМ = D
• окр.3 (B, BC)
• окр.4 (D, BC)
• окр. 2 Ո окр.4 = E

8) луч ОЕ

9) искомый.

Дано :

С

А

В

О М

Построить:

E

О

D

М

Доказать: А = О

Построили: угол О.

Дано: угол А.

С

E

А

О

В

D

Доказательство: рассмотрим ΔАВС и Δ О DE .

• АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.
• АВ=О D , как радиусы одной окружности.
• ВС= DE , как радиусы одной окружности .

АВС= О D Е (3 приз.) А = О

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 6.

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Построить:

Дано:

Δ АВС,

АВ=а=3см, АС= b= 4см,

а=3см

Анализ:

b= 4см

В

а=3см

О

С

А

b= 4см

Р

Построение:

1) Луч АМ

2) окр.1 (О, r )

О

3) окр.1 ( О , r) Ո

Е

4) окр.2 (А , r )

5) окр.2 Ո АМ = D

В

6) окр.3 (Е, r= ЕР)

Т

7 ) окр.4 ( D , r= ЕР)

8) окр.4 Ո окр.2=Т

9) луч АТ

10) окр.5 (А, r=b)

11) окр.5 Ո АМ =С

D

М

А

С

12) окр.6 (А, r= а)

13) окр.6 Ո АТ=В

14) ВС

15) Δ АВС – искомый треугольник

Доказательство:

В Δ АВС :

АВ=а=3см как радиусы одной окружности

АС= b =4см как радиусы одной окружности

– по построению

Значит, треугольники равны по первому признаку

Исследование:

Задача всегда имеет единственное решение.

САМОСТОЯТЕЛЬНО

Задача 7:

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам

Дано:

а=5см

О

Е

Задача 8 .

Построить биссектрису данного угла

Построение :

1 ) окр.1 (A, r);

2 ) окр.1 (A, r) Ո ={C,D}

3 ) окр 2 . (C, r);

4 ) окр 3 . (D, r)

5) окр2.( C , r ) Ո окр3.( D , r ) = B ;

6) луч A B

7) A B – искомая биссектриса .

Дано: угол А

А

Построить: биссектрису АВ

C

B

D

А

Докажем, что луч АВ – биссектриса А

Доказательство:

Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C) .

• Рассмотрим ∆ АСВ и ∆ А DB :

• АС=А D , как радиусы одной окружности.
• СВ= DB , как радиусы одной окружности.
• АВ – общая сторона.

∆ АСВ = ∆ А D В, по III признаку

равенства треугольников

С

В

Луч АВ – биссектриса

А

D

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

САМОСТОЯТЕЛЬНО

Задача 9:

Разделить данный угол на 4 равные части

Дано:

О

ПРОВЕРКА

Задача 9:

Разделить данный угол на 4 равные части

Построение:

О

Задача 10.

Построить точку пересечения биссектрис треугольника

Дано:

В 1

Анализ:

А 1

С 1

Построить:

Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 , О – точка пересечения биссектрис А D , ВЕ и С F .

Построение :

Дано:

В 1

1) Луч АМ

2) окр.1(А, r =А 1 С 1 )

3) окр.1 Ո АМ = С

4) окр.2(А, r =А 1 В 1 )

5) окр.3(С, r =В 1 С 1 )

С 1

6) окр.2 Ո окр.3 =В

А 1

7) АВ, ВС, Δ АВС

8) окр.4(А, r ) Ո АВ=Р

9) окр.4(А, r ) Ո АС=Т

В

10) окр.5(Р, r )

11) окр.6(Т, r )

12) окр.5 Ո окр.6= S

D

Р

13) луч А S Ո BC=D

S

14) AD – биссектриса

М

Т

С

А

Биссектрису CF строим самостоятельно

Задача 11 .

Дана прямая m и точка A , лежащая на ней . Построить прямую перпендиулярную к данной прямой m , проходящую через данную точку A .

Построение:

Дано:

1) окр.1(А, r )

А

m

2) окр.1 Ո m={P,T}

3) окр. 2 (Р, r=PT)

Построить:

4) окр. 3 ( T , r=PT)

5) окр. 2 Ո окр. 3=K

K

6) прямая КА= n – искомая прямая

P

T

А

m

n

Доказательство:

Проведём отрезки РК и КТ

Построили:

Рассмотрим Δ КРА и Δ КТА. У них:

К

КР=КТ =РТ как радиусы равных окружностей

АР = АТ как радиусы одной окружности

А

m

АК – общая сторона

Т

P

Значит, Δ КРА = Δ КТА по трём сторонам

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов

n

А так как они смежные, то 180 º :2=90 º .

Значит,

Работа в паре

Учебник, задача №153 Даны прямая а и точка М , не лежащая на ней . Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а .

Задача 1 2 .

Построить прямоугольный треугольник по двум его катетам.

Построение:

Дано:

1) окр.1(А, r )

2) окр.1 Ո m={P,T}

а=5 см

3) окр. 2 (Р, r=PT)

4) окр. 3 ( T , r=PT)

b=3 см

Построить:

5) окр. 2 Ո окр. 3=K

6) AK AT

K

7) окр.4(А, r=a) Ո AT=B

8) окр.5(А, r=b) Ո AK=C

C

9) Δ ABC - искомый

P

А

T

m

B

n

Самостоятельная работа

Первый вариант

Второй вариант

Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе

Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по катету

Третий вариант

Построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу

ТЕСТ

1. Укажите, какое из указанных дальше построений можно выполнить с помощью одного только циркуля:

А) провести произвольную прямую;

Б) построить любой луч, который выходит из данной точки и проходит через другую данную точку;

В) отложить на данной прямой от данной на ней точки отрезок, который равен данному;

Г) каждое из перечисленных построений выполнить невозможно.

ТЕСТ

2. Укажите, какое из приведенных дальше построений можно выполнить с помощью одной только линейки:

А) построить окружность данного радиуса из центром в данной точке;

Б) построить точку, удаленную от двух данных точек на данное расстояние;

В) соединить отрезком две данные точки;

Г) поделить отрезок пополам.

ТЕСТ

3. Треугольник можно построить из трех отрезков, которые имеют длину:

А) 3 см; 1 дм; 6 мм;

Б) 45 см; 46 см; 1 м;

В) 1 м; 1 м; 0,5 см;

Г) ни один из приведенных вариантов .

ТЕСТ

4. Треугольник АВС можно построить, если:

А)

Б) АВ = 5 см, ВС = 3 см, АС = 4 см;

В)

Г) АВ = 6 см, ВС = 4 см.

ТЕСТ

5. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от одной точки, является:

А) окружность;

Б) квадрат;

В) круг;

Г) куб .

ТЕСТ

6. Какую фигуру образуют все точки плоскости, которые расположены на расстоянии 6 см от точки М?

А) окружность с центром М и радиусом 3 см;

Б) прямую, которая расположена на расстоянии 6 см от точки М;

В) окружность из центром М и радиусом 6 см;

Г) равносторонний треугольник из сторонами 6 см.

ТЕСТ

7. Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является:

А) биссектриса этого угла;

Б) серединный перпендикуляр;

В) медиана;

Г) свой вариант ответа.

ТЕСТ

8. Какое из утверждений неправильное:

А) С помощью линейки можно отложить отрезки.

Б) Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, которые имеют определенные свойства.

В) С помощью линейки можно провести произвольную прямую; прямую, которая проходит через одну или две данные точки.

Г) Циркулем можно описать окружность данного радиуса из центром в данной точке, а также отложить данный отрезок на данной прямой из данной точки.

ТЕСТ

9. Какую фигуру образуют все точки плоскости, которая расположена на расстоянии 4 м от данной прямой?

А) прямую, которая расположена на расстоянии 4 м от данной прямой;

Б) две прямые параллельные данной, которые расположены на расстоянии 4 м от данной прямой;

В) равносторонний треугольник из стороной 4 м;

Г) окружность радиусом 4 м.

ТЕСТ

10. Какая из задач не является основной задачей на построение?

А) построение биссектрисы угла;

Б) построение середины отрезка;

В) построение угла, равного данному

Г) построение прямоугольного треугольника по двум его катетам;

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

НОМЕР

ТЕСТА

вариант

ответа

1

2

В

3

В

4

В

5

Б

А

6

7

В

8

А

9

А

Б

10

Г

Количество правильных ответов

10

оценка

8-9

«5»

«4»

5-7

1-4

«3»

«2»