Презентация " Задачи на движение" 9 класс

8 км/ч

15 км/ч

1. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12 км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске со скоростью 15 км/ч. Путь от поселка до озера у него занял 1 час, а обратный путь – 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера.

1ч

46мин

12 км/ч

2

8 км/ч

15 км/ч

1. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12 км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске со скоростью 15 км/ч. Путь от поселка до озера у него занял 1 час, а обратный путь – 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера.

Путь от поселка до озера

Путь от озера до поселка

S ,

t ,

v,

t ,

S ,

v,

км/ч

км

км/ч

ч

км

ч

х

у

х

12

у

15

1 участок

2 участок

12

15

у

х

y

х

8

12

2 участок

1 участок

8

12

Составьте и решите систему уравнений самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

1ч

1ч

46мин

46мин

12 км/ч

у

2 участок

х

1 участок

3

3 км/ч

5 км/ч

1 участок

3 участок

3 км/ч

5 км/ч

2. Дорога из А в В длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход на путь от А до В затратил 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу – 3 ч 6 мин. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на равнине – 4 км/ч, а под гору – 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть пути, которая идет по равнине?

Путь из А в В

Путь из В в А

S ,

v,

t ,

v,

S ,

t ,

км/ч

км

ч

км/ч

км

ч

у

z

у

1 участок

3 участок

z

3

3

3

3

х

х

Искомый

2 участок

Искомый

2 участок

х

х

4

4

4

4

z

y

z

y

5

3 участок

5

1 участок

5

5

2ч 54мин

3ч 6мин

х

у

z

2 участок

4 км/ч

х

x +у+ z=11,5

х

z

у

z

у

+ + =2,9

+ + = 3,1

А

4

4

5

3

5

3

В

4

х

8у

8 z

х

у

z

16у+15х+16 z= 180

+ + = 6

30

+ + =2,9

2

15

1 5

4

5

3

+

х

z

у

х

х

z

у

у

z

+ + = 3,1

+ + = 3,1

4

+ + = 3,1

3

5

4

4

3

5

3

5

x +у+ z=11,5

x +у+ z=11,5

x +у+ z=11,5

16(11,5–х )+ 15х = 180

16(у+ z)+ 15х = 180

184–16х + 15х = 180

– х = – 4

х

х

z

у

z

у

+ + = 3,1

+ + = 3,1

4

4

5

5

3

3

х = 4

11,5 –х

у+ z=11,5 –х

у+ z=11,5 –х

Значения у и z можно не вычислять, т.к. в задаче требуется найти только длину горизонтального участка.

Ответ: длина горизонтального участка 4 км.

5

1 часть

3. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй

автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем

мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин?

1

6

Мы привыкли, что скорость в задачах измеряется в км/ч, м/с или м/мин. Но часто в задаче путь неизвестен, но известно за какое время он пройден. Весь путь можно рассмотреть как 1 часть, тогда единицы скорости: часть/ч или часть/мин… Рассмотрим примеры таких задач.



4х часть/мин

1

х+ часть/мин

х часть/мин

6

1

2

2

1

6

на 1 мин 3. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость t = 1 S 6  v v, S, t , часть/мин часть мин 1 4х 1 1 автомобиль 4х 1 1 х+ 1 2 автомобиль 1 6 х+ 6 1 мотоциклист х 1 х 4х часть/мин 1 х+ часть/мин х часть/мин 1 1 6 – = 1 1 1 4х х+ 2 6 7 " width="640"

На 1 мин

на 1 мин

3. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй

автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем

мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин?

Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость

t =

1

S

6



v

v,

S,

t ,

часть/мин

часть

мин

1

4х

1

1 автомобиль

4х

1

1

х+

1

2 автомобиль

1

6

х+

6

1

мотоциклист

х

1

х

4х часть/мин

1

х+ часть/мин

х часть/мин

1

1

6

–

= 1

1

1

4х

х+

2

6

7

1

1

1

4х – (х+ ) = 4х(х+ )

1

1

– = 1

6

6

4х(х+ )

1

4х

6

х+

6

1

2

4х – х – = 4х 2 + х

6

3

1

ОДЗ: х 0, х –

6

1

2

t ,

S,

v,

3х – = 4х 2 + х

6



часть/мин

часть

мин

6

3

Используем формулу для вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

D /4 = k 2 – ac

1

4х

Перейдем к целым числам

1

1 автомобиль

4х

1

18х – 1 = 24х 2 + 4х

1

х+

1

2 автомобиль

1

6

х+

6

1

1

мотоциклист

х

1

24х 2 – 14х +1 = 0

х+

х

6

а = 24, k = -7, c = 1

+

– k D /4

–



D /4 = (-7) 2 – 24 = 25

x =

a

Проверим, оба ли корня удовлетворяют условию задачи, может

среди них есть посторонний корень? Найдем время мотоциклиста…

1

1

х 1 =

, t мот = 1 : = 12 (мин), не уд. усл.

«мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин»

+

12

12

7 5

–

х = =

1

1

х 2 =

24

, t мот = 1 : = 2 (мин)

2

2

1

2

1

2

= + =

(часть/мин)

Ответим на вопрос задачи: какую часть дистанции в минуту проходил 2 автомобиль

Ответ: части дистанции в минуту

проходил 2 автомобиль.

3

6

2

3

8

3. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? 1 6 t , S, v, 2 способ мин часть/мин часть 1 х 1 1 автомобиль х 1 1 х+1 1 2 автомобиль х+1 6 Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Поэтому времени на всю дистанцию потратит в 4 раза больше, т. е. 4х  1 мотоциклист 4х 1 4х х мин х+1 мин 4х мин 1 2 В конце решения необходимо будет проверить корни. Время мотоциклиста 4х должно быть меньше 10. 9 " width="640"

На часть/мин

3. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй

автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем

мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин?

1

6

t ,

S,

v,

2 способ

мин

часть/мин

часть

1

х

1

1 автомобиль

х

1

1

х+1

1

2 автомобиль

х+1

6

Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Поэтому времени на всю дистанцию потратит в 4 раза больше, т. е. 4х



1

мотоциклист

4х

1

4х

х мин

х+1 мин

4х мин

1

2

В конце решения необходимо будет проверить корни.

Время мотоциклиста 4х должно быть меньше 10.

9

4. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Пусть полный круг – 1 часть.

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

10

 1 час 60 60 мин х х 60 1 S 2 = 60 х+3 х+3 – = 1 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи. 11 " width="640"

На 1 круг

(1 часть )

4. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

t ,

v,

S,

Пусть полный круг – 1 часть.

мин

часть/мин

часть

1

х

1

1 лыжник

х

1

х+3

1

2 лыжник

х+3

Найдем расстояние, которое пройдут

лыжники за по формуле S = vt

60

1

S 1 =



1 час

60

60 мин

х

х

60

1

S 2 =

60

х+3

х+3

– = 1

Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

11

 60 с 60 1 мин х х 60 1 S 2 = 60 – = 1 х+5 х+5 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи. 12 " width="640"

На 2 оборота

(2 части)

5. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 с.

Пусть полный оборот – 1 часть.

t ,

v,

S,

с

часть/с

часть

1

х

1

1 точка

х

1

1

х+5

2 точка

х+5

Найдем расстояние, которое пройдут

точки за по формуле S = vt

60

1

S 1 =



60 с

60

1 мин

х

х

60

1

S 2 =

60

– = 1

х+5

х+5

Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

12

5. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 с.

1 случай

2 случай

60

60

– = 1

х

х+5

Подсказки.

Решив уравнение вы еще не получите ответ на вопрос задачи. За х мы обозначили время, за которое пройдет 1-я точка полный круг.

Еще придется найти скорость, причем скорость будет в необычных единицах – часть/с.

Часть от полного круга, а полный круг 360 0 .

Еще подсказка: в условии задачи не указано как именно двигались точки. Значит, они могли двигаться в одном направлении, а может и в противоположных, т.е. задача будет иметь два решения.

13

6. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый спортсмен?



Нетрудно заметить, чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше!

Чтобы сойтись во второй раз первому спортсмену надо пробежать на 2 круга больше. Третий раз 1 спортсмен догонит соперника, если пробежит на 3 круга больше. И т.д.

Пусть полный круг – 1 часть.

14

720 Чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше! х х 720 1 S 2 = 720 – = 1 х+10 х+10 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи. 15 " width="640"

На 1 круг

(1 часть)

6. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый спортсмен?

Пусть полный круг – 1 часть.

t ,

v,

S,

с

часть/с

часть

1

х

1

1 спортсмен

х

1

1

х+10

2 спортсмен

х+10

Найдем расстояние, которое пробегут

спортсмены за 720с по формуле S = vt



720

1

S 1 =



720

Чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше!

х

х

720

1

S 2 =

720

– = 1

х+10

х+10

Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

15

Задачи для самостоятельной работы.

1.

От почты А до поселка В надо пройти 9 км. Почтальон проходит путь туда и обратно, не задерживаясь в поселке, за 3 ч 41 мин. Дорога из А в В идет сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту, если в гору почтальон идет со скоростью 4 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а под гору 6 км/ч?

2.

Дорога от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом ее длина равна 9 км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до станции занимает у него 1 ч 50 мин, а обратный путь занимает 1 ч 55 мин. Определите длину подъема на пути к станции и скорости пешехода на подъеме и спуске.

3.

На тренировке по картингу один карт проходил круг на 10 сек медленнее другого и через минуту отстал от него ровно на круг. За сколько секунд каждый карт проходил круг?

15

Уравнения

Форма для поверки ответов.

Задача 1.

км

Задача 4.

1 лыжник

км/ч, 2 лыжник

км/ч

( 0 )

Если точки движутся в одном направлении

Задача 5.

( 0 )

Если точки движутся в противоположных направлениях

Задача 6.

1 спортсмен

часть/с, 2 спортсмен

часть/с

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1.

км

Задача 2.

Длина подъема

км,

скорость на подъеме

км/ч, скорость на спуске

км/ч

Задача 3.

1 спортсмен

с

с, 2 спортсмен

max 15

15