Презентация по теме теория вероятности

Развитие теории вероятностей.

История.

Повторение. Основные элементы комбинаторики.

• Размещение

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n .

(Порядок важен).

2. Перестановки

Если m = n , то эти размещения называются перестановками.

• Сочетания

Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.

(Порядок не важен).

Следствие . Число сочетаний из n элементов по n – m равно число

сочетаний из n элементов по m , т.е.

Повторение. Решение задач.

Задача.1.

Сколько можно записать четырехзначных чисел,

используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

• .

2) Т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти:

3) .

Повторение. Решение задач.

Задача.2.

Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы:

{А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из

указанных букв по три.

Решение:

Здесь в число сочетаний не включены, например АВС,

ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок

элементов в сочетании не учитываются.

Повторение. Решение задач.

Задача.3.

Сколькими способами можно расставить 9 различных книг

на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение:

Если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять

способами.

4 определенные книги можно переставлять

способами.

Тогда всего перестановок по правилу умножения будет

Повторение. Решение задач.

Задача.4.

Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Задача.5.

Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими

способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были

3 черных?

Решение: Белые шары: .

Черные шары: . Тогда .

Повторение. Решение задач.

Задача.6.

Сколькими способами можно группу из 12 человек

разбить на 2 подгруппы, в одной из которых должно быть

не более 5, а во второй – не более 9 человек?

Решение:

Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4,

либо из 5 человек:

способом. Тогда число возможных результатов = " width="640"

Повторение. Решение задач.

Задача.7.

Десять команд участвуют в разыгрывание первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может будут учитывать, если только положение первых трех и последних 2-х команд?

Решение:

1-е три места может будут распределены: способ

Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к. порядок выбывших команд не учитывается = способом.

Тогда число возможных результатов =

Повторение. Решение задач.

Задача.8.

Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет вызван дважды и на занятии может будет опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен?

Решение:

• может не спросить ни одного, т.е. ,
• если только 1, то ,

если только 2-х, то и т.д.

Тогда он всего опросит

Проект.

• Как и почему возникла теория вероятностей?

План:

• Предыстория теории вероятностей.
• Возникновение теории вероятностей как науки. 
• Основателями теории вероятностей
• Этапы развития.
• Современный период развития теории вероятностей.
• Вклад соотечественников в теорию.
• Выводы.

Теория вероятностей

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.

Этапы развития.

 Предыстория теории вероятностей.

В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.

Д. Кардано 

Н. Тарталья

Этапы развития.

 Возникновение теории вероятностей как науки.  

К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли  внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.

Основатели теории вероятностей

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс

П . Ферма

Б .  Паскаль

Х .  Гюйгенс

Этапы развития.

 Классическое определение вероятности. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была  строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

Якоб

Бернулли

Этапы развития.

 Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего с Петербургской математической школой. За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.

Этапы развития.

 Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов .

Основатели теории вероятностей

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

А .  Н .  Колмогоров

С .  Н .  Бернштейн

Выводы:

• Возникновение и развитие теории вероятностей продиктовано необходимостью ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.

Домашнее задание.

• Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
• На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
• В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
• Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать: а) двух дежурных, б) старосту и его заместителя?

• Проект «Вклад соотечественников в теорию вероятностей».