СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Презентация по теме "Комбинаторика"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Представлена презентация по теме "Комбинаторика", содержит необходимый теоретический материал и простейшие примеры задач с решениями по данной теме.

Просмотр содержимого документа
«Презентация по теме "Комбинаторика"»

Комбинаторика Основные понятия комбинаторики Код и наименование специальности: 23.02.02 Автомобиле- и тракторостроение Модуль/дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия Наименование программы: Комбинаторика Автор курса: Долгова Ирина Михайловна ГБПОУ МТК

Комбинаторика

Основные понятия комбинаторики

Код и наименование специальности: 23.02.02 Автомобиле- и тракторостроение

Модуль/дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Наименование программы: Комбинаторика

Автор курса: Долгова Ирина Михайловна

ГБПОУ МТК

МАРШРУТНАЯ КАРТА ТЕМЫ  1. Понятие комбинаторики  2. «Архитекторы» комбинаторики  3. Правило сложения  4. Правило умножения  5. Факториал  6. Перестановки  7. Перестановки с повторениями  8. Размещения  9. Размещения с повторениями  10. Сочетания  11. Схема решения комбинаторной задачи  12. Бином Ньютона  13. Треугольник Паскаля  14. Области применения комбинаторики

МАРШРУТНАЯ КАРТА ТЕМЫ

1. Понятие комбинаторики

2. «Архитекторы» комбинаторики

3. Правило сложения

4. Правило умножения

5. Факториал

6. Перестановки

7. Перестановки с повторениями

8. Размещения

9. Размещения с повторениями

10. Сочетания

11. Схема решения комбинаторной задачи

12. Бином Ньютона

13. Треугольник Паскаля

14. Области применения комбинаторики

ПОНЯТИЕ КОМБИНАТОРИКИ     - Комбинаторика - это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.   -  «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

ПОНЯТИЕ КОМБИНАТОРИКИ

- Комбинаторика - это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

- «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

«АРХИТЕКТОРЫ» КОМБИНАТОРИКИ  Ввёл т ермин «комбинаторика» в математический обиход, в 1666 году  опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве» Готфрид Вильгельм Лейбниц. (1.07.1646 - 14.11.1716) Абрахам де Муавр, английский математик (1667-1754) Джеймс Стирлинг, шотландский математик (1692-1770) Блез Паскаль  (1623-1662) Пьер Ферма (1601-1665)  Обнаружили тесную связь между комбинаторными и рядом аналитических задач, в частности, формулы для аппроксимации факториала Основатели комбинаторики и теории вероятности как науки

«АРХИТЕКТОРЫ» КОМБИНАТОРИКИ

Ввёл т ермин «комбинаторика» в математический обиход, в 1666 году

опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве»

Готфрид Вильгельм Лейбниц.

(1.07.1646 - 14.11.1716)

Абрахам де Муавр, английский математик (1667-1754)

Джеймс Стирлинг, шотландский математик (1692-1770)

Блез Паскаль (1623-1662)

Пьер Ферма (1601-1665)

Обнаружили тесную связь между комбинаторными и рядом аналитических задач, в частности, формулы для аппроксимации факториала

Основатели комбинаторики и теории

вероятности как науки

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ  Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В  можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить  m + n способами.  Пример:    В меню столовой колледжа 2 вида холодных закусок,  5 вариантов первых блюд  и 7 вариантов вторых. Сколькими способами можно выбрать ОДНО БЛЮДО?  Решение:  В задаче рассматриваются три группы: холодные закуски, первые и вторые блюда.  Сколько элементов в группах? Закуску можно выбрать   2 способами ; первое блюдо выбрать 5 способами ; второе блюдо можно выбрать 7 способами . Видим, что в группах нет одинаковых элементов. Применим закон сложения: 2+5+7=14.  Ответ: блюдо можно выбрать 14 способами.

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В

можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить

m + n способами.

Пример: В меню столовой колледжа 2 вида холодных закусок,  5 вариантов первых блюд

и 7 вариантов вторых. Сколькими способами можно выбрать ОДНО БЛЮДО?

Решение: В задаче рассматриваются три группы: холодные закуски, первые и вторые блюда. Сколько элементов в группах? Закуску можно выбрать   2 способами ; первое блюдо выбрать 5 способами ; второе блюдо можно выбрать 7 способами . Видим, что в группах нет одинаковых элементов. Применим закон сложения: 2+5+7=14.

Ответ: блюдо можно выбрать 14 способами.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ   Если объект А можно выбрать   m   способами и если после каждого такого  выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в  указанном порядке можно осуществить m ∙ п способами.   Пример: На витрине кафе представлено 15 вариантов десертов. Ребята из них выбирают  3 десерта. Выясните, сколькими различными способами можно выбрать 3 десерта?  Решение: Сначала ребята могут выбрать любой из всех 25 десертов. Когда первый выбор  сделан, для следующего остаётся 15−1=14 вариантов выбора десерта. 1-й десерт  выбирают 15 способами, 2 -й десерт выбираем 14 способами. Используем правило  произведения: 2 десерта выбираем 15⋅14=210 (способами).  Ответ: Ребята могут выбрать десерт 210 различными способами.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ

Если объект А можно выбрать   m   способами и если после каждого такого

выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в

указанном порядке можно осуществить m ∙ п способами.

Пример: На витрине кафе представлено 15 вариантов десертов. Ребята из них выбирают

3 десерта. Выясните, сколькими различными способами можно выбрать 3 десерта?

Решение: Сначала ребята могут выбрать любой из всех 25 десертов. Когда первый выбор

сделан, для следующего остаётся 15−1=14 вариантов выбора десерта. 1-й десерт

выбирают 15 способами, 2 -й десерт выбираем 14 способами. Используем правило

произведения: 2 десерта выбираем 15⋅14=210 (способами).

Ответ: Ребята могут выбрать десерт 210 различными способами.

ФАКТОРИАЛ  Факториалом натурального числа n называется произведение всех  натуральных чисел от 1 до n .   Обозначение:  n!     Факториа́л числа n! ( лат.   factorialis  — действующий, производящий,  умножающий. Факториал это своеобразная единица измерения комбинаторики.  Например: 5!=5*4*3*2*1=120  4!=4*3*2*1=24 то есть 5!=5*4!  Важно! 0!=1

ФАКТОРИАЛ

Факториалом натурального числа n называется произведение всех

натуральных чисел от 1 до n .

Обозначение: n!

Факториа́л числа n! ( лат.   factorialis  — действующий, производящий,

умножающий. Факториал это своеобразная единица измерения комбинаторики.

Например: 5!=5*4*3*2*1=120

4!=4*3*2*1=24 то есть 5!=5*4!

Важно! 0!=1

ПЕРЕСТАНОВКИ   Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен  порядок элементов.  Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:  P n = n!   Важно! В заданиях на перестановки, не важно назвать сами перестановки, а важно  назвать их число.  Пример: В колледже для концерта подготовили 5 танцевальных композиций.  В концертной программе один раз нужно представить каждую композицию. Сколько  можно составить концертных программ, если порядок важен?  Решение:  Так как количество элементов во множестве неизменно и порядок элементов  важен, можно сделать вывод, что нужно вычислить число перестановок : Pn = n !,  P 5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120  Ответ: можно составить 120 различных концертных программ.

ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен

порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: P n = n!

Важно! В заданиях на перестановки, не важно назвать сами перестановки, а важно

назвать их число.

Пример: В колледже для концерта подготовили 5 танцевальных композиций.

В концертной программе один раз нужно представить каждую композицию. Сколько

можно составить концертных программ, если порядок важен?

Решение: Так как количество элементов во множестве неизменно и порядок элементов

важен, можно сделать вывод, что нужно вычислить число перестановок : Pn = n !,

P 5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120

Ответ: можно составить 120 различных концертных программ.

ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ  Число перестановок n – элементов, в котором элементов i –того типа ( )  вычисляется по формуле   Пример 1: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «математика»?  Решение: «математика» - 10 букв ( с повт. м=2,а=3,т=2,е=и=к=1),  Ответ: 151200 слов.   Пример 2: Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр  0, 1, 2, 3, и 4, причём в каждом числе цифры должны быть разные?  Решение:  Р 5 – Р 4 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96.  Ответ: 96 чисел.

ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Число перестановок n – элементов, в котором элементов i –того типа ( )

вычисляется по формуле

Пример 1: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «математика»?

Решение: «математика» - 10 букв ( с повт. м=2,а=3,т=2,е=и=к=1),

Ответ: 151200 слов.

Пример 2: Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр

0, 1, 2, 3, и 4, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Р 5 – Р 4 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96.

Ответ: 96 чисел.

РАЗМЕЩЕНИЯ    Комбинации, в которых имеет значение порядок элементов, называются размещениями.  В размещениях у каждого элемента своя определённая роль .  Размещения   —  это упорядоченные наборы.  Например:  пара учеников — староста класса и его помощник; пара цифр — десятки и  единицы.  n - показывает количество элементов данного множества  m  показывает количество элементов размещения (сколько  элементов выбирается)  Пример:  Для прохождения практики студентов есть14 автомобильных сервисов.  Сколькими способами можно устроить  трёх человек, чтобы они были в разных сервисах?  Решение: Требуемая выборка — размещение, т.к. порядок элементов важен. Например, если  первый человек будет работать в сервисе A , второй — в B , а третий — в C . Меняя местами  людей, получатся новые ситуации — новые выборки. Нужно вычислить, сколькими способами  можно выбрать m элементов из n элементов, где n =14; m =3 Применяя формулу, получаем = = = = 2184.  Ответ: 2184 способ.  

РАЗМЕЩЕНИЯ

 

Комбинации, в которых имеет значение порядок элементов, называются размещениями.

В размещениях у каждого элемента своя определённая роль .

Размещения   —  это упорядоченные наборы.

Например: пара учеников — староста класса и его помощник; пара цифр — десятки и

единицы.

n - показывает количество элементов данного множества

m  показывает количество элементов размещения (сколько

элементов выбирается)

Пример: Для прохождения практики студентов есть14 автомобильных сервисов.

Сколькими способами можно устроить  трёх человек, чтобы они были в разных сервисах?

Решение: Требуемая выборка — размещение, т.к. порядок элементов важен. Например, если

первый человек будет работать в сервисе A , второй — в B , а третий — в C . Меняя местами

людей, получатся новые ситуации — новые выборки. Нужно вычислить, сколькими способами

можно выбрать m элементов из n элементов, где n =14; m =3 Применяя формулу, получаем

= = = = 2184.

Ответ: 2184 способ.

 

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ    k – размещением с повторениями n –элементного множества называется упорядоченный набор длины k элементов данного множества.  Число k – размещений с повторениями вычисляется по формуле:     Пример: , 2- размещения с повторениями:  Решение:  или = 9.  Ответ: 9 размещений.

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

 

k – размещением с повторениями n –элементного множества называется упорядоченный набор длины k элементов данного множества.

Число k – размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример: , 2- размещения с повторениями:

Решение:

или = 9.

Ответ: 9 размещений.

СОЧЕТАНИЯ  Подмножества, составленные из n элементов данного множества  и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями   из n элементов по k . (Сочетания различаются только элементами, порядок  их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).     Пример:  Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в  котором 20 человек?  Решение:   Ответ: 1140 способами.

СОЧЕТАНИЯ

Подмножества, составленные из n элементов данного множества

и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями

из n элементов по k . (Сочетания различаются только элементами, порядок

их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Пример: Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в

котором 20 человек?

Решение:

Ответ: 1140 способами.

СХЕМА РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧИ

СХЕМА РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧИ

БИНОМ НЬЮТОНА  «Би»-удвоение, раздвоение … «Ном»(фран. nombre) –номер, нумерация. «Бином» -»два числа»  Бином Ньютона – это выражение вида  Треугольником Паскаля пользуются при возведении бинома в натуральные степени.  Свойства:  2) Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно (n+l).  3) Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома,  то есть n.  4) Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны  между собой: (правило симметрии).  5) Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна .  6) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных  коэффициентов, стоящих на четных местах и равна  7) Правило Паскаля:

БИНОМ НЬЮТОНА

«Би»-удвоение, раздвоение … «Ном»(фран. nombre) –номер, нумерация. «Бином» -»два числа»

Бином Ньютона – это выражение вида

Треугольником Паскаля пользуются при возведении бинома в натуральные степени.

Свойства:

2) Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно (n+l).

3) Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома,

то есть n.

4) Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны

между собой: (правило симметрии).

5) Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна .

6) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных

коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7) Правило Паскаля:

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КОМБИНАТОРИКИ КОМБИНАТОРИКА география  (раскраска карт) учебные заведения (составление расписаний) агротехника (размещение посевов на нескольких полях) спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей) сфера общественного питания (составление меню) производство (распределение нескольких видов работ между рабочими) химия (анализ возможных связей между химическими элементами) лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв) биология (расшифровка кода ДНК) астрология (анализ расположения планет и созвездий) военное дело (расположение подразделений) экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) криптография (разработка методов шифрования) доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КОМБИНАТОРИКИ

КОМБИНАТОРИКА

география (раскраска карт)

учебные заведения (составление расписаний)

агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

сфера общественного питания (составление меню)

производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

биология (расшифровка кода ДНК)

астрология (анализ расположения планет и созвездий)

военное дело (расположение подразделений)

экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

криптография (разработка методов шифрования)

доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей