Презентация по геометрии "Средняя линия треугольника"

Средняя линия треугольника

Определение

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

МN – средняя линия ΔАВС

Теорема

Средняя линия треугольника , соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине

Дано:

ΔАВС,

MN- средняя линия

Док-ть: MN ǁ AB, MN=½АВ

Доказательство:

1.На прямой отметим Е так, что MN=NE.

2.ΔMBN=ΔECN по первому признаку (MN=NE (по построению),BN=NC(по условию), ˪1=˪2 (вертикальные))

3.Из равенства треугольников MB=EC, ˪3=˪4.

4.Т.к. АМ=МВ, МВ=ЕС, то ЕС=АМ. Так как ˪3=˪4 (накрест лежащие при АВ и ЕС и секущей ВС), то АВǁЕС.

5.Таким образом, в четырехугольнике АМЕС стороны АМ и ЕС равны и параллельны, значит, АМЕС- параллелограмм. Отсюда, ME ǁAC. Следовательно,MN ǁAB.

6.Так как МЕ=АС, MN=½ME, то MN=½АС.

Теорема доказана.

Задача

Докажите, что середины сторон четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

Дано:

АВСD - четырехугольник,

М-середина АВ,N – середина ВС,

К-середина CD, Р- середина AD

Доказать: MNKP - параллелограмм

Доказательство:

1.MN – средняя линия ΔАВC.Значит, MN ǁAC и MN=½AC.

2.РК – средняя линия ΔАDC.Значит, РК ǁAC и РК=½AC.

3.Так как MN ǁAC и РК ǁAC , то MN ǁРК .

4.Так как MN=½AC и РК=½AC, то MN=РК=½AC.

5.Следовательно в четырехугольнике MNKP стороны MN и РК равны и параллельны, а, значит, четырехугольник MNKP – параллелограмм.

Теорема доказана.

Задача.

Отрезки DE и DF – средние линии ΔАВС. Является ли отрезок EF средней линией этого треугольника?

Задача.

Является ли отрезок МК – средней линией ΔАВС?

Задача.

Является ли отрезок

EF – средней линией ΔМКР?

№ 202

№ 203

№ 205