Презентация на тему: "Логарифмы". 11 класс

ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА

Цели и задачи урока:

• рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
• дать понятие десятичного и натурального логарифма;
• овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
• развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
• продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;
• научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
• вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Логарифм числа

Определение. Логарифм числа b пооснованию a называется показатель степени , в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b .

Например log 3 81 = 4, так как 3 4 = 81;

log 5  125 = 3, так как 5 3 = 125;

log 0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;

, так как ==

0, a 0 и a ≠ 1) Согласно тождеству: =5; . " width="640"

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество :

( где b 0, a 0 и a ≠ 1)

Согласно тождеству:

=5; .

0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием . Например: логарифмируя равенство: ,получаем log 1/2 потенцируя равенство: log 2 8 = 3 , будем иметь 2 3 = 8 " width="640"

По определению соотношения y = a x и x = log a y при условии, что a 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием .

Например:

• логарифмируя равенство:

,получаем log 1/2

• потенцируя равенство:

log 2 8 = 3 , будем иметь 2 3 = 8

0 (a ≠ 1) и любых положительных x и y выполнены равенства: log a 1 = 0. log a a = 1. log a xy = log a x + log a y. log a = log a x - log a y. log a x p = p log a x для любого действительного p. " width="640"

Основные свойства логарифмов

При любом a 0 (a ≠ 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

• log a 1 = 0.
• log a a = 1.
• log a xy = log a x + log a y.
• log a = log a x - log a y.
• log a x p = p log a x

для любого действительного p.

Десятичный логарифм

Наиболее употребительными на практике являются десятичные логарифмы , когда в качестве основания берется число 10, и натуральный логарифм, когда в качестве основания берется число, e ≈ 2,7.

Десятичный логарифм числа b обозначается lgb

Натуральный логарифм обозначается lnb

Примеры вычисления десятичных логарифмов

• lg 1 = 0, так как 1 = 10 0
• lg 10 = 1 , так как 10 = 10 1
• lg 100 = 2, так как 100 = 10 2
• lg 0,1 = -1, так как 0,1 = 10 -1
• lg 0,01 = -2, так как 0,01 = 10 -2
• lg 0,001 = -3, так как 0,001 = 10 -3

0 и a ≠ 1, b 0 и b ≠ 1 . Прологарифмируем обе части равенства по основанию b 0 , b ≠ : log b x = log b ( a log a x ) по свойству логарифма степени получаем log b x = log b x × log b a log b x = Формула перехода к другому основанию " width="640"

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию

По определению логарифма

x = a log a x , где x 0 и a ≠ 1, b 0 и b ≠ 1 .

Прологарифмируем обе части равенства по основанию b 0 , b ≠ :

log b x = log b ( a log a x )

по свойству логарифма степени получаем

log b x = log b x × log b a

log b x = Формула перехода к другому основанию

ЗАПОЛНИТЬ ПРОПУСКИ

• log 2 16 = 4 …, так как 2 … = 16.
• log 2 = …, так как 2 … = .
• log 2 1 = …, так как 2 … = 1.
• log √5 25 = …, так как (√5) … = 25.
• log … 16 = 4, так как … 4 = 16.
• log 2 … = 3, так как 2 3 = …
• log … = -5, так как … -5 = .
• 2 log2 5 = …
• log 3 = …
• 3 log3… = 8.
• 5 log…4 = 4.
• log 3… = -4, так как 3 -4 .