Презентация к уроку геометрии в 9 классе "Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности"

9 класс ГЕОМЕТРИЯ 28 февраля

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Ваша задача на сегодня:

• Ознакомиться с материалом слайдов 3 – 6.
• Выполни устно задания со слайдов 7 – 10, сверься с ответами.
• Выполни задание со слайда 11.
• Реши задачи из реальной жизни, которые расположены на слайде 12 (обязательно при решении задачи должен присутствовать рисунок, дано, решение и ответ).

Обозначим S площадь правильного n -угольника, его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей .

r

R

Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S = Pr .

Выполним следующее построение:

Проведем линии из центра многоугольника к его вершинам. Многоугольник разбили на несколько треугольников. Применяя формулу площади треугольника запишем следующее равенство. Площадь каждого треугольника будет равна: , где - сторона многоугольника; r – радиус вписанной окружности, является высотой каждого рассматриваемого треугольника.

Так как все треугольники равны, то умножим количество треугольников на площадь треугольника:

, где n – количество треугольников.

После преобразований получим формулу: S =

Произведение в скобках отражает периметр рассматриваемого многоугольника. Таким образом, формула расчёта площади многоугольника выглядит следующим образом:

Выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности:

.

А 2

А 3

H 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник А 1 Н 1 О . Угол А 1 рассматриваемого треугольника будет равен половине угла α n многоугольника (отмечен красным), т.к. сторона треугольника А 1 О является так же биссектрисой угла α n многоугольника.

H 1

H 3

А 1

H n

O

А n

По формуле вычисления угла α правильного многоугольника , применяя простые преобразования получим равенство для угла А 1 рассматриваемого треугольника:

Полагая, что сторона правильного многоугольника a n будет равна , учитывая, что треугольник А 1 Н 1 О является прямоугольным, воспользуемся соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Получим следующее равенство: α n

Итак, сторона правильного многоугольника

радиус вписанной окружности

Формулы расчета сторон для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Треугольник:

Квадрат:

Шестиугольник:

Задание 1. Сторона шестиугольника равна 4 см. Вычислите диаметр описанной окружности.

Варианты ответов:

а) ; б) 12; в) 8; г) 4.

Ответ: в) 8.

Задание 2. Правильный многоугольник имеет восемь сторон. Рассчитайте углы многоугольника.

Варианты ответов:

а) 135 ° ; б) 172 ° ; в) 145 ° ; г) 150 ° .

Ответ: а) 135 ° .

Задание 3. Какое слово требуется убрать для того, чтобы получилось верное утверждение. Площадь треугольника равна половине периметра  произведения его основания умноженное на высоту.

Задание 4. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если его угол равен 90°.

Варианты ответов:

а) 6; б) 4; в) 3; г) 7.

Ответ: б) 4.

ПИСЬМЕННО ВЫПОЛНИ №1088:

Примечание от учителя: в данном задании я жду от вас заполненной таблицы, а также всех проделанных вычислений, а также формул, по которым вы выполните вычисления.

Реши задачи из реальной жизни:

• Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?
• Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.

Выполненные работы отправить на электронную почту учителя до 02.03.2023

Удачи в усвоении новых знаний и решении заданий!

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РЕСУРСЫ:

• https://resh.edu.ru/subject/lesson/2512/main/
• https://file.11klasov.net/15957-geometrija-7-9-klass-uchebnik-atanasjan-ls-butuzov-vf-kadomcev-sb-i-dr.html