Россия, Новосибирская область, Чистоозерный район, село Новая Кулында
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 16.04.2024 19:43
Малышок Елена Александровна
Учитель математики
38 лет
2 593
18 877 
Местоположение
Специализация
Презентация к уроку геометрии по теме: "Решение треугольников. Измерительные работы".
Категория:
Геометрия
19.01.2022 19:32
Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии по теме: "Решение треугольников. Измерительные работы".»
Решение треугольников. Измерительные работы.
Повторение
Сумма углов треугольника 180 о
- А + В + С = 180 о
А
В
С
2
Площадь треугольника
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
т.е. S = ½ · а · в · sin С
S = ½ · а · с · sin В
S = ½ · в · с · sin А
(доказательство на стр.25 2 )
В
с
а
С
А
в
Теорема синусов
Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
(доказательство на стр.25 2 )
В
с
а
С
А
в
Теорема косинусов
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
а ² = в ² + с ² -2вс · Со s А
в ² = а ² + с ² -2ас · Со s В
с ² = а ² + в ² -2ав · Со s С
(доказательство на стр.25 3 )
В
с
а
А
С
в
Площадь параллелограмма
Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
S = AB·AD·SinA
В
С
А
D
а 2 +в 2 остроугольный , если с 2 прямоугольный , если с 2 = а 2 +в 2 " width="640"
Это нужно запомнить!
- В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
- Косинус большего угла можно найти по формуле из теоремы косинусов.
- Треугольник, у которого с наибольшая сторона, будет
тупоугольный , если с 2 а 2 +в 2
остроугольный , если с 2
прямоугольный , если с 2 = а 2 +в 2
При определении угла треугольника лучше находить его косинус, чем синус. Это связано с тем, что синус не различает смежные углы.
Решение треугольников
Решение треугольников
Задача 1. (по двум сторонам и углу между ними)
Дано: а; в; угол С
Найти: с; угол А; угол В
Решение.
1) По теореме косинусов
с = √ а ² + в ² -2ав · Со s С
2) По теореме косинусов Со s А= ( в ² + с ² - а ² ):2вс
угол А находим по таблице Брадиса
3) Угол В =180 ° - (угол А + угол С)
В
а
с
А
С
в
C
В
A
Решение
2) Если γ- тупой угол , значит α и β острые углы
Если γ –острый угол , то сравниваем а и b , выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это α
3) β =180º- (α + β)
Задача имеет одно решение
Решение треугольников
Задача 2. (по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Дано: а, угол В, угол С
Найти: в; с; угол А
Решение:
1) А = 180 ° - ( В + С)
2) по теореме синусов
В
с
а
А
С
в
C
В
A
Решение:
γ = 180º - (α+β), α+β 180º
Задача имеет одно решение
Решение треугольников
Задача 3. (по трём сторонам)
Дано: а; в; с
Найти: А; В; С
Решение.
1) по теореме косинусов
Со s А= (в ² + с ² - а ² ):2вс
и угол А находим по таблице Брадиса
2) по теореме косинусов Со s В = (а ² + с ² - в ² ):2ас
и угол В находим по таблице Брадиса
3) С = 180 ° - (А + В)
В
с
а
А
С
в
C
В
A
Решение:
Пусть а – наибольшая сторона треугольника ,
Задача имеет одно решение
Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если a = 6,3 см , b=6,3 см , C = 54º.
Дано: АВС, a = 6,3 см ,
b=6,3 см , C = 54º.
Найти: А , В, c .
Ответ
В
А
С
Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если А=60 º В=40 º , с =14см.
Дано: АВС, А=60 º,
В=40 º , с=14см.
Найти: a , b, С.
Ответ
С
А
В
Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если a = 6 см , b=7,7 см, c=4,8 см.
Дано: a = 6 см , b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А , B, C .
Ответ
В
C
А
IV тип задач по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них
Дано:
∆ АВС
а , в, α
Найти: с, γ , β
в
а
α
1 и задача не имеет решений. 2. Если sin β =1, то β =90º, γ =90º- α , с = в cos α в этом случае задача имеет единственное решение " width="640"
Решение
1. Если в намного больше а , то sinβ 1 и задача не имеет решений.
2. Если sin β =1, то β =90º, γ =90º- α ,
с = в cos α
в этом случае задача имеет
единственное решение
3. Если 0 sin β 1 , то β может быть и острым и тупым углом
Сравниваем а и в
Если а в, то
существуют два угла β
-острый, значит треугольник- остроугольный
=180º- (α + )-тупой,
значит треугольник-
тупоугольный
В этом случае задача имеет два решения
Таблица – памятка
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Решение треугольника по трем сторонам
А
А
А
c
b
b
В
В
В
β
γ
γ
a
a
С
a
С
С
Ответ к задаче 1
А= 63 º
B = 63 º
c ≈ 5,7 см
Ответ к задаче 2
C = 80 º
a ≈ 12,3 см
b ≈ 9,1 см
Ответ к задаче 3
А= 54 º 52 ´
B = 84 º16´
C = 40 º52´
Измерительные работы
ЗАДАЧА1. футбольный мяч находится на расстоянии 23м от одной штанги ворот и 24м от другой. Ширина ворот 7м. Найдите угол попадания мяча в ворота.
7
23
24
РЕШЕНИЕ №1.
24 2 +23 2 -7 2
В
Cos A=
≈
23
2 · 23 · 24
7
?
0,9565
≈
А
24
А≈16 ˚58 '
С
ЗАДАЧА 4. Для измерения высоты холма отошли от него по прямой линии и отметили на этой прямой точку Д, из которой холм виден под углом в 30 ˚, затем – точку С, из которой холм виден под углом в 15˚. Какое расстояние нужно измерить на местности, чтобы найти высоту холма?
А
30 ˚˚
15 ˚
С
В
Д
РЕШЕНИЕ №4.
ЗАДАЧА 2. Два геолога находятся на одном берегу реки на расстоянии 300м друг от друга. Один видит дерево на противоположном берегу под углом 38 0 , а другой это же дерево – под углом 67 0 . На каком расстоянии от дерева находятся каждый из них.
РЕШЕНИЕ №2.
С =75 ˚
В
По теореме синусов:
СВ ≈ 286м
СА ≈192м
?
38 ˚
300
С
67 ˚
?
А
Задача 3. На расстоянии 1500м от подножия горы находится лыжная база. От подножия горы до вершины 2 км. Какой длины должен быть подъемник, чтобы лыжники могли подниматься на вершину горы прямо от лыжной базы, если угол наклона горы 110 о .
РЕШЕНИЕ №3.
cos110 ˚=-cos70˚ ≈ -0 ,3420
АВ 2 = 2 2 +1,5 2 -2 · 2 · 1,5 ·cos110 ˚=
≈ 4+2 ,25+6 ·0 ,3420= =8,3021
?
2км
АВ ≈ 2,8813
АВ ≈ 2881м
110 ˚
1500м
Домашнее задание
№ 1060 (б;г);
Дополнительные задачи на закрепление
Упражнение 1
У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 10 см и 6 см.
Упражнение 2
В прямоугольном треугольнике ABC sin A = 1/3, AB = 6. Найдите BC .
Ответ: 2 .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Упражнение 3
В прямоугольном треугольнике ABC sin A = 3/4, BC = 6. Найдите AB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 8 .
Упражнение 4
В прямоугольном треугольнике ABC cos A = 2/3, AB = 6. Найдите AC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4 .
Упражнение 5
В прямоугольном треугольнике ABC cos A = 2/3, AC = 6. Найдите AB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 9 .
Упражнение 6
В прямоугольном треугольнике ABC tg A = 2/3, AC = 6. Найдите BC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4 .
Упражнение 7
В прямоугольном треугольнике ABC tg A = 3/4, BC = 6. Найдите AC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 8 .
Упражнение 8
В прямоугольном треугольнике ABC , AC = 6. Найдите BC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4 .
Упражнение 9
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите гипотенузу.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 5 .
Упражнение 10
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Один из его катетов равен 5. Найдите другой катет.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 12 .
Упражнение 11
В треугольнике ABC AC = BC = 2, угол C равен 120 о . Найдите высоту, опущенную на сторону AB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 1 .
Упражнение 12
В треугольнике ABC AC = BC = 2, угол A равен 30 о . Найдите высоту, опущенную на сторону BC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 1 .
Упражнение 13
В треугольнике ABC AC = BC , угол C равен 90 о , AB = 6. Найдите высоту, опущенную на сторону AB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 .
Упражнение 14
В треугольнике ABC AB = BC , угол B равен 120 о , AC = 4. Найдите высоту, опущенную из вершины C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 2 .
Упражнение 15
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10. Высота, опущенная на основание, равна 8. Найдите основание.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 12 .
Упражнение 16
В треугольнике ABC AB = 6, BC = 4, угол B равен 90 о . Найдите медиану, проведенную из вершины C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 5 .
Упражнение 17
Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите биссектрису этого треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 .
Упражнение 18
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 о , угол B равен 30 о , катет AC равен . Найдите биссектрису, проведенную из вершины A .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 2 .
Упражнение 19
В треугольнике ABC угол A равен 60 о , угол B равен 45 о , сторона AC равна . Найдите сторону BC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 .
Упражнение 20
Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 120 о , если прилежащие к нему стороны равны 6 и 10.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 14 .
Упражнение 21
В прямоугольном треугольнике ABC AB = 6, Найдите BC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 2 .
Упражнение 22
В прямоугольном треугольнике ABC AB = 6, Найдите AC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4 .
Упражнение 23
В прямоугольном треугольнике ABC AB = 5, Найдите AC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4 .
Упражнение 2 4
В прямоугольном треугольнике ABC Найдите 5 sin A .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 .
Упражнение 25
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а разность катетов равна 2. Найдите меньший катет.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 6.
Упражнение 26
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу, прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 12 .
Упражнение 27
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, а высота, опущенная на нее, равна 12. Найдите больший катет этого треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 20 .
Упражнение 28
В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 1 и 3. Найдите его меньший острый угол.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 30 o .
Упражнение 29
В треугольнике ABC AB = 10, угол C равен 90 о . Найдите медиану, проведенную из вершины C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 5 .
Упражнение 30
В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AC = 15, BC = 20, CH – высота. Найдите отрезок AH .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 9 .
Упражнение 32
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 24 .
Упражнение 33
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на боковую сторону, делит ее на отрезки равные 7 и 2, считая от вершины. Найдите основание треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 6 .
Упражнение 34
В треугольнике ABC AC = BC , AB = 1, угол C равен 36 о . Найдите биссектрису, проведенную из вершины A .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 1 .
Упражнение 35
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 .
Упражнение 36
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите биссектрису, проведенную к боковой стороне.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 10 .
Упражнение 37
В треугольнике ABC угол C равен 90 о , угол B равен 30 о , биссектриса, проведенная из вершины A , равна . Найдите сторону AB .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 3 .
Упражнение 38
В треугольнике ABC сторона AC равна , сторона BC равна 3, угол A равен 60 о . Найдите угол B .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 45 o .
Упражнение 39
В треугольнике ABC AB = 7, BC = 5, AC = 3. Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 120 o .
Упражнение 40
Одна из сторон треугольника равна 13, а угол, лежащий против этой стороны, равен 120 о , сумма двух других сторон треугольника равна 15. Найдите наименьшую сторону треугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 7 .
Упражнение 41
В прямоугольном треугольнике ABC cos A = 3/5 , AB = 10. Найдите AC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 6 .
Упражнение 42
У прямоугольного треугольника один катет равен 6 см, а синус противолежащего ему угла равен 2/3 . Найдите гипотенузу .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 9 .
Упражнение 43
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите больший катет.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 8 .
Упражнение 44
В треугольнике ABC AC = 4, угол A равен 30 о . Найдите высоту, опущенную на сторону BC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 2 .
Упражнение 45
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13. Высота, опущенная на основание, равна 12. Найдите основание.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 10 .
Упражнение 46
В прямоугольном треугольнике ABC AB = 10, tg A = 3/4 . Найдите AC .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 8 .
Упражнение 47
В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90 о . Найдите медиану, проведенную из вершины C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 5 .
Упражнение 48
В треугольнике ABC BC = 3, AB = , угол С равен 45 о . Найдите угол A .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 o .
Упражнение 49
В треугольнике ABC AB = 3, AC = 2, BC = . Найдите угол A .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 60 o .
Упражнение 50
В треугольнике ABC угол B равен 30 о , AB = , биссектриса, проведенная из вершины A , равна 1. Найдите угол C .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 90 o .
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
