Презентация к уроку алгебры в 11 классе "Область определения и множество значений тригонометрических функций"

11 класс Алгебра Область определения и множество значений тригонометрических функций

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Сегодня на занятии мы с вами рассмотрим четыре тригонометрические функции: у = sin ( x ), у = cos ( x ), у = tg ( x ), y = ctg ( x ).

y = sin(x)

Значения х , при которых определена функция у = sin(х) – это любые действительные числа.

То есть, какие бы вы числа не брали, вы все равно сможете «вытащить» и вычислить свой синус.

y = sin(x)

С множеством значений, т.е. именно со значением самой функции (с у ), нужно быть внимательнее, так как

Множество значений, которые принимает сама функция у = sin(х) – это интервал от минус единицы до единицы включительно.

y = sin(x)

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что

Как это можно увидеть на графике?

y = sin(x)

Хоть здесь график идёт только в правую сторону, он точно также продолжается в реальности и в левую сторону, т.е. в реальности мы с вами можем идти от - ∞ , включая ноль, и до + ∞ (это по оси х ).

А вот у у нас «застрял». Как мы видим, максимальное значение по оси у у нас 1, а минимальное - -1.

Получается, что весь график у нас, как бы он «волнами» не шёл, эти «волны» всегда будут лежать от -1 до 1.

y = соs(x)

Значения х , при которых определена функция у = соs (х) – это любые действительные числа.

Заметим, что у косинуса такая же область определения, то есть все х , которые являются действительными числами.

y = соs(x)

Множество значений, которые принимает сама функция у = cos(х) – это интервал от минус единицы до единицы включительно.

Обратите внимание: то же самое, что и у синусов. У cos(x) точно такие же область определения и множество значений, что и у sin(x) .

Теперь вам может быть непонятно: если область определения и множество значений функций одинаковые, то почему они называются по разному и в чём заключается разница, откуда она взялась? ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМСЯ!

Как это можно увидеть на графике?

y = соs(x)

Если вы внимательно посмотрите на графике, то сможете заметить, что у синуса мы шли от нуля, но у косинуса мы идём от 1. Здесь оба графика взяты на некоторую часть, но мы помним, что график бесконечен в одну сторону и бесконечен в другую.

y = tg(x)

Значения х , при которых определена функция у = tg(х) – это все числа, исключая

Как вы увидели, у тангенса всё сложнее. Дело в том, что, если вы вспомните ещё геометрическое определение тангенса, то tgx = , то есть у нас появляется дробь. А если дробь, то сразу вспоминаем некие ограничения (мы не можем делить на ноль), то есть те точки, в которых мы будем нулём, нужно «выколоть», их нельзя брать, мы их запретим.

- что это за числа? Это 90 ° и 270°, то есть те точки, которые у нас находятся на вертикальной оси, те точки в которых у нас косинус будет равен нулю. То есть, чтобы на 0 не делить, мы эти точки будем исключать.

В области определения у нас уже есть исключения.

y = tg(x)

С множеством значений всё наоборот. Раньше мы там ограничивали наш у (у синусов и косинусов), а тангенса всё просто: «где у хочет гулять, там он и гуляет».

Множество значений, которые принимает сама функция у = tg(х) – это любые действительные числа.

Как это можно увидеть на графике?

y = tg(x)

Все точки, которые выделены пунктиром, мы должны с вами «выкалывать», мы не должны их видеть.

График тангенса уходит до бесконечности вверх и до бесконечности вниз.

Более того, график повторится после пунктирной линии, как в одну сторону, так и во вторую.

y = ctg(x)

Итак, ещё одна функция, с которой мы с вами знакомились, но, к сожалению, она редко появляется в задачах – это y=ctg(x). Она обратна тангенсу, и в общем-то обратна она практически во всём.

Значения х , при которых определена функция у = сtg(х) – это все числа, исключая п k, k ∈ Z.

y = ctg(x)

Множество значений, которые принимает сама функция у = ctg(х) – это любые действительные числа.

Как это можно увидеть на графике?

y = ctg(x)

От тангенса отличается тем, что дуга уже идёт в другую сторону, более того график смещён.

ПРИМЕР 1

Найти область определения функции у = sin 2x.

Ответ: х R.

ПРИМЕР 2

Найти область определения функции .

Решение:

Отсюда х

х 1.

Ответ: х 0.

ПРИМЕР 3

Найти множество значений функции у = 1 – cos x. .

Решение:

ПРИМЕР 4

Найти область определения функции

Решение:

ПРИМЕР 5

Найти множество значений функции

Решение:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Прочитать § 38
• Выполнить №691(4), 692(2), 694(5), 695(2), 696(2)