Презентация к уроку алгебры и начал математического анализа на тему "Статистическая вероятность. Случайные величины" (11 класс)

11 класс

Алгебра и начала математического анализа

Статистическая вероятность. Случайные величины

Классическое определение вероятности (повторите)

Вероятностью Р(А) события А в опыте с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов.

Приведённое определение вероятности называется классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удаётся выявить все элементарные равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому событию исходы. При этом число элементарных исходов испытания конечно и выражается конкретным числом.

На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. А в ряде случаев до проведения реальных испытаний сложно или даже невозможно установить равновозможность исходов испытания.

Так, например, не подбросив кнопку многократно, трудно представить, равновозможны ли её падения «на плоскость» и «на остриё».

Поэтому наряду с классическим  определением вероятности на практике используется статистическое   определение вероятности .

Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М , в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N .

При этом число М называют частотой события А .

Давайте решим задачу . Профессиональный стрелок произвёл 100 выстрелов по мишени и попал 83 раза. Какова относительная частота попадания по мишени в данной серии выстрелов?

Решение:

Пусть событие А – попадание в мишень.

М = 83 N = 100

Ответ: 0,83.

Проводя реальное испытание с подбрасыванием монеты и наблюдая за относительной частотой появления, например, орла в каждой серии испытаний, можно заметить следующий факт: чем больше проводится испытаний, тем всё меньше относительная частота появления орла отличается от 0,5. Значение вероятности этого события в классическом понимании равна 0,5. Данный факт подтверждает и дошедшие до нас исторические сведения.

Известно, что Жорж Луи Леклерк де Бюффон – французский натуралист, биолог, математик, естествоиспытатель и писатель в XVIII веке провёл 440 испытаний с подбрасыванием монеты.

В результате этого он наблюдал выпадение орла 2048 раз.

Таким образом, Бюффон получил относительную частоту появления орла, равную , что приближённо равно 0,5069.

Жорж Луи Леклерк де Бюффон

Карл Пирсон – английский математик, статистик, биолог и философ в начале XX века с помощью своих учеников провёл 24000 аналогичных испытаний и наблюдал 12012 появлений орла.

Таким образом, Пирсон получил относительную частоту появления орла равную , что приближённо равно 0,5005.

Карл Пирсон

Получается, что в каждом случае значения относительной частоты события колеблются около 0,5.

Статистической вероятностью  называют число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Классическую вероятность вычисляют математическими методами, а статистическую в основном определяют экспериментально. Различные исследования с большим числом однотипных испытаний проводили учёные в разные годы.

Якоб Бернулли – швейцарский математик, один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Наблюдая за уменьшением амплитуды колебания относительных частот события около некоторого числа при увеличении количества испытаний, обосновал  закон больших чисел : можно считать достоверным тот факт, что при любой достаточно большой серии испытаний относительная частота события А стремится к некоторому числу – вероятности этого события.

Якоб Бернулли

Статистика  – это наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в обществе и природе.

Можно сказать, что статистика занимается сбором, представлением (в виде таблиц, графиков, диаграмм) и анализом информации о различных случайных величинах.

Случайными величинами  называют такие величины, которые в ходе наблюдений или испытаний могут принимать различные значения.

Можно говорить, что величину называют случайной, если она может принимать заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайных обстоятельств.

Примерами являются число попаданий при трёх выстрелах; число вызовов, поступающих на телефонную станцию за сутки; число выпавших решек при бросании монеты.

Простыми словами говоря, случайная величина – это величина, которая принимает различные значения в результате случайного эксперимента.

Случайная величина является ключевым инструментом для анализа вероятностных явлений и позволяет нам описывать их с помощью математических моделей.

Случайная величина – это функция, которая сопоставляет каждому элементарному исходу случайного эксперимента числовое значение.

Давайте разберемся на примере игрального кубика!

Предположим, мы бросаем кубик, у которого есть шесть граней, каждая из которых пронумерована и выпадает с равной вероятностью.

Для описания поведения этого игрального кубика с позиции теории вероятности мы можем записать шесть событий:

А1 – «выпала грань с числом 1» А2 – «выпала грань с числом 2» А3 – «выпала грань с числом 3» А4 – «выпала грань с числом 4» А5 – «выпала грань с числом 5» А6 – «выпала грань с числом 6»

Соответственно, вероятность появления каждого этого события 1/6:

Вся эта информация есть полное описание поведения игрального кубика с точки зрения теории вероятности. Ничего более мы сказать не можем.

Если все эти шесть событий описывают поведение одного и того же объекта и, кроме того, связано с появлением чисел от 1 до 6, то эту информацию было бы более удобно обобщить и представить с единых позиций.

Например, мы можем ввести некое событие Х, которое будет связано с появлением того или иного числа при бросании игрального кубика.

То есть, все события А1, А2, А3, А4, А5 и А6 будут описываться одной величиной - Х. Именно эта величина в теории вероятности и называется случайной величиной.

Случайные величины могут быть дискретными.

Дискретная случайная величина принимает счётные значения.

Мы могли наблюдать дискретные счётные величины при игре с игральным кубиком. Там случайная величина Х принимает счётные значения от 1 до 6 и никакие другие. В этом случае записать все возможные её значения можно в виде такой таблицы:

Такая таблица называется рядом распределения.

Распределением вероятностей или просто распределением случайной величины называется закон, который каждому значению случайной величины ставит в соответствие вероятность того, что величина примет это значение.

Если, например, величина Х может принять значение 8, то нужно указать вероятность события «Х равно 8». Если величина Х может принять значение –4, то нужно указать вероятность события «Х равно –4». Такие события принято обозначать (Х = 8), (Х = – 4).

Распределение вероятностей можно задать таблицей, графиком, диаграммой, формулами или даже словесным описанием.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СУММА ВСЕХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАВНА ЕДИНИЦЕ .

Объясняется это тем, что сумма вероятностей всех значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий.

Сейчас вы видите таблицу, в которой указаны возможные суммы, выпадающие при бросании двух игральных костей.

Давайте решим  задачу . В результате эксперимента получены следующие значения случайных величин:

Представьте эти данные с помощью таблицы распределения по частотам и относительным частотам и с помощью полигона частот.

Решение:

Теперь построим полигон частот. Для этого мы на координатной плоскости на оси абсцисс отметим значения случайной величины, а на оси ординат – значения частот. Отметим точки с соответствующими координатами. Затем последовательно соединив эти точки отрезками, получим ломаную, которую является полигоном частот.

Задание №1

В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Задание №2

По некоторому объекту из данного орудия при одинаковых условиях проведено 6 серий выстрелов:

в 1-й серии было 5 выстрелов, число попаданий 2;

во 2-й серии было 10 выстрелов, число попаданий 6;

в 3-й серии было 12 выстрелов, число попаданий 6;

в 4-й серии было 50 выстрелов, число попаданий 27;

в 5-й серии было 100 выстрелов, число попаданий 49;

в 6-й серии было 200 выстрелов, число попаданий 102.

Выясните, чему равна относительная частота попадания в каждой серии?

Задание №3

Составьте таблицу распределения по частотам значений случайной величины  X  – цифр, встречающихся в выборке следующих телефонных номеров

Решение:

Задание №4

Постройте полигон частот значений случайной величины  X , распределение которой представлено в следующей таблице.

Успехов в выполнении домашнего задания!