Презентация к уроку алгебры и начал математического анализа на тему "Определение синуса, косинуса, тангенса угла" (10 класс)

10 класс Алгебра и начала математического анализа 13.02.2024 Определение синуса, косинуса, тангенса угла

Автор презентации: Попов Дмитрий Сергеевич

Цели урока: 1) вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса угла из промежутка от 0 ° до 180°; 2) дать определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла; 3) применять определения при решении заданий.

Перед изучением новой темы пройдите тест:

Вопрос 1

Чему равны координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол 5π?

А) (–1; 0)

В) (0; 1)

Б) (1; 0)

Г) (0; –1)

Вопрос 2

Чему равны координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол – 3 π?

А) (–1; 0)

В) (0; 1)

Б) (1; 0)

Г) (0; –1)

Вопрос 3

Чему равны координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол ?

А) (–1; 0)

В) (0; 1)

Б) (1; 0)

Г) (0; –1)

Вспомним, как в курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла из промежутка от 0° до 180 °.

Если луч h совпадает с положительным направлением оси О х , то считают, что = 0°.

Пусть угол – острый. Треугольник ОМN – прямоугольный.

Тогда , .

единичная окружность

OM – это радиус единичной полуокружности, а значит, равняется 1.

ON равняется абсциссе точки М, т.е х .

MN равняется ординате точки М, т.е у .

А если угол не является острым, то как определяются синус и косинус этого угла?

Если угол прямой, тупой, развёрнутый или = 0°, то синус и косинус также определяются по формулам

Так как координаты ( х; у ) точек единичной полуокружности удовлетворяют неравенствам , , то для из промежутка от 0° до 180 ° справедливы неравенства

единичная окружность

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол .

Обозначают: sin .

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки P(1;0) вокруг начала координат на угол . Обозначают: cos .

Найдём значения синуса и косинуса угла π, то есть угла 180°.

При повороте точки (1;0) на угол π получаем точку (-1;0).

Ордината полученной точки равна 0, а, следовательно,

Абсцисса полученной точки равна –1, а следовательно

Хочу отметить, что приведённые выше определения синуса и косинуса произвольного угла в случае, если угол принадлежит промежутку от 0 ° до 180 °, совпадают с определениями синуса и косинуса из курса геометрии, которые мы с вами повторили в начале урока. Так, например, , .

А давайте найдем значения синуса и косинуса угла не из промежутка от 0 ° до 180 ° .

Решим уравнение sin x = 1. Решить это уравнение означает найти все углы, синус которых равен 1.

Решим уравнение соs x = 1. Абсциссу, равную 1, имеет точка (1;0). Эта точка получается из точки (1;0) поворотом на 0 рад, то есть точка остаётся на своём месте; на угол 2π, 4π и так далее. А также на угол –2π, –4π и т.д.

При этом 0 рад мы можем записать как 0 = 2π ∙ 0, , , , .

Следовательно, при , .

Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

Иногда используют котангенс угла , который равен отношению косинуса угла к синусу угла :

Найдём .

Выполним вычисления и в результате получим .

Найдём .

или

Выполним вычисления и в результате получим 1.

определён только для тех углов, для которых .

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Найдём значения выражения .

Воспользуемся только что приведённой таблицей. Подставим значения в наше выражения:

Теперь выполним вычисления и в результате получим 1.

№ 1. Найдите значение выражения:

а)

б)

в)

г)

№ 2. Вычислите:

а)

б)

в)

№ 3. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

Домашнее задание

• Изучить §23;

• Решить №434, 437, 439.

Успехов в выполнении домашнего задания!