Презентаця к уроку "Касательная к графику функции"

Тема: Касательная к графику функции  

11 класс

МОУ «Ковернинская средняя школа №2»

Учитель :Кудряшова В.Ф

• Касательная  – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.).
• Другое определение : это предельное положение секущей при Δ x →0.
• Пояснение : Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках:  А  и  b  (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

Строгое определение касательной:

• Касательная к графику функции  f , дифференцируемой в точке  x о , - это прямая, проходящая через точку ( x о ;  f ( x о )) и имеющая угловой коэффициент  f  ′( x о ). 
• Угловой коэффициент имеет прямая вида  y = kx + b .  Коэффициент  k  и является  угловым коэффициентом  этой прямой.
• Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

  k  = tg α

Здесь угол α – это угол между прямой  y = kx + b  и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется  углом наклона прямой  (рис.1 и 2).

• Если угол наклона прямой  y = kx + b  острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
• Если угол наклона прямой  y = kx + b  тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
• Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
• Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством  x = c , где  c  – некоторое действительное число (рис.4).
•  

Уравнение касательной к графику функции  y  =  f ( x ) в точке  x о :  y  =  f ( x о ) +  f  ′( x о ) ( x – x о )

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции  y  =  f ( x ):

• 1. Вычислить  f ( x о ).
• 2. Вычислить  производные  f  ′( x ) и  f  ′( x о ).
• 3. Внести найденные числа  x о ,   f ( x о ),   f  ′( x о ) в уравнение касательной и решить его.

Пример : Найдем уравнение касательной к графику функции  f ( x ) =  x 3  – 2 x 2  + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение .

Следуем алгоритму.

• 1) Точка касания  x о  равна 2. Вычислим  f ( x о ):

  f ( x о ) =  f (2) = 2 3  – 2 ∙ 2 2  + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

• 2) Находим  f  ′( x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам,  х 2  = 2 х , а  х 3  = 3 х 2 . Значит:

f  ′( x ) = 3 х 2  – 2 ∙ 2 х  = 3 х 2  – 4 х .

• Теперь, используя полученное значение  f  ′( x ), вычислим  f  ′( x о ):

f  ′( x о ) =  f  ′(2) = 3 ∙ 2 2  – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

• 3) Итак, у нас есть все необходимые данные:  x о  = 2,  f ( x о ) = 1,  f  ′( x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у =  f ( x о ) +  f  ′( x о ) ( x – x о ) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ : у = 4х – 7.