Представление чисел с помощью систем счисления

Системы счисления

Определения

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр .

Числа: 123, 45678, 1010011, CXL

Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типы систем счисления:

• непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…
• непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
• позиционные – зависит…

Непозиционные системы

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 ( Centum ), D – 500 ( Demimille ), M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления

Правила:

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)
• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)

Примеры:

MDC X L I V =

+ 5

= 1644

– 1

+ 50

– 10

+ 100

+ 500

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

Переведите в римскую систему счисления

MMMDCCLXVIII

3768 =

MMCMLXXXIII

2983 =

1452 =

MCDLII

MCMXCIX

1999 =

3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? для записи больших чисел (3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов " width="640"

Римская система счисления

Недостатки :

• для записи больших чисел (3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
• для записи больших чисел (3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M )
• как записать дробные числа?
• как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?

Где используется:

• номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов
• номера глав в книгах:
• обозначение веков: « Пираты XX века»
• циферблат часов

Славянская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

Часы Суздальского Кремля

Позиционные системы

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

сотни десятки единицы

разряды

2 1 0

3 7 8

= 3 ·10 2 + 7·10 1 + 8·10 0

8

70

300

Другие позиционные системы:

• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

8

Системы счисления

Двоичная система счисления

Алфавит : 0, 1

Основание (количество цифр): 2

Перевод целых чисел

2  10

4 3 2 1 0

разряды

= 1 ·2 4 + 0 ·2 3 + 0 ·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0 =

= 16 + 2 + 1 = 19 10

10011 2

8

Перевод целых чисел

10  2

19 10 = 10011 2

19

2

18

2

9

8

1

2

4

4

1

2

2

2

0

1

2

0

0

0

1

8

Переведите числа в десятичную систему счисления

43 10

101011 2 =

54 10

110110 2 =

Переведите в двоичную систему счисления:

131 10 =

10000011 2

79 10 =

1001111 2

Системы счисления

Восьмеричная система счисления

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Основание (количество цифр): 8

Перевод целых чисел

10  8

100

8

100 10 = 144 8

96

12

8

8

4

8

1

система счисления

0

4

0

1

8  10

2 1 0

разряды

144 8

= 1 · 8 2 + 4· 8 1 + 4· 8 0

= 64 + 32 + 4 = 100

Переведите числа :

10  8

206 8

134 10 =

75 10 =

113 8

8  10

92 10

134 8 =

61 10

75 8 =

Таблица восьмеричных чисел

X 10

X 8

0

X 2

1

0

1

2

000

3

001

2

X 10

3

X 8

4

010

011

5

X 2

4

5

6

100

101

6

7

7

110

111

триады

Системы счисления

Шестнадцатеричная системы счисления

Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B, C, D, E, F 10,11,12,13,14,15

Основание (количество цифр): 16

Шестнадцатеричная система

Основание (количество цифр): 16

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

D , 13

E , 14

A , 10

B , 11

C , 12

F 15

10  16

107

16

107 10 = 6B 16

96

6

16

B

0

11

0

система счисления

6

16  10

C

2 1 0

разряды

= 1 ·16 2 + 12 ·16 1 + 5·16 0

= 256 + 192 + 5 = 453

1C5 16

Переведите числа:

10  16

171 10 =

AB 16

206 10 =

СЕ 16

16  10

1BC 16 =

444 10

22B 16 =

555 10

Таблица шестнадцатеричных чисел

X 10

0

X 16

X 2

1

0

0000

1

2

0001

X 10

3

2

8

X 16

4

0010

3

8

9

X 2

5

0011

4

9

1000

10

6

5

0100

1001

7

6

0101

11

A

0110

1010

12

B

7

0111

C

1011

13

1100

14

D

1101

E

15

1110

F

1111

тетрады

Домашнее задание

§ 2.5.1