Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Понятие, запись и чтение

Смешанные числа: определения, примеры

Смешанное число — это число, состоящее из натурального числа и обыкновенной дроби. Пишут в виде n 

Где n — целая часть,  — дробная часть.

Смешанное число равно сумме своей целой и дробной части. То есть 

Примеры смешанных чисел

• 
• 
• 
• 

Каждое такое смешанное число содержит целую и дробную части.

Чтобы точно определять, какая именно перед вами дробь, запомните:

• Дробь виданазывается правильной дробью. В ней числитель всегда меньше знаменателя.
• Дробь виданазывается неправильной. В таких дробях числитель больше знаменателя или равен ему.
• Дробь виданазывается смешанной дробью/смешанным числом. Такая дробь состоит из целой части (натуральное число) и дробной части.

Смешанные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Давайте узнаем, как именно это делать.

Сложение смешанных чисел

Всего мы рассмотрим три типа сложения со смешанными числами. В каждом подпункте приведено необходимое правило и примеры выполнения решений.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Первое правило сложения смешанных чисел Чтобы сложить смешанное число и натуральное число, прибавьте натурально число к целой части смешанного числа, а дробную часть оставьте нетронутой.

Представим первое правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа  и натурального числа d.

Известно, что любое смешанное число равное сумме целой и дробной частей.

Это значит, что 

Тогда 

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с натуральными числами.

Пример 1. Выполните сложение смешанного числа  и натурального числа 18.

Как решаем:

Записываем выражение 

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа: 

Дробная часть записывается без изменений: 

Решаем: 

Ответ: 

Пример 2. Выполните сложение смешанного числа  и натурального числа 10.

Как решаем:

Записываем выражение: 

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа: 

Дробная часть записывается без изменений: 

Решаем: 

Ответ: 

Пример 3. Выполните сложение смешанного числа  и натурального числа 2.

Как решаем:

Записываем выражение: 

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа: 

Дробная часть записывается без изменений: 

Решаем: 

Ответ: 

 

Сложение смешанного числа со смешанным числом

Второе правило сложения смешанных чисел Чтобы сложить смешанное число с другим смешанным числом, сложите сначала целые части этих чисел, а затем — дробные части.

Представим правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа  и смешанного числа 

Следуя правилу, запишем выражение в виде: 

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел.

Пример 1. Сложите смешанное число  и смешанное число 

Как решаем:

Записываем выражение: 

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части: 

Решаем: складываем целые части 2 + 7 = 9.

Чтобы выполнить сложение дробных частей, воспользуемся правилом сложения дробей с разными знаменателями: приведем дроби к наименьшему общему знаменателю и выполним сложение.

Наименьшее общее кратное — 15.

Если в результате сложения получилась сократимая дробь, сокращайте, не задумываясь:  сокращаем на 

Ответ: 

Пример 2. Сложите смешанное число  и смешанное число 

Как решаем:

Записываем выражение: 

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части: 

Решаем: складываем целые части 13 + 2 = 15.

Складываем дробные части 

Наименьшее общее кратное 12 и 20 равно 60.

Сокращаем дробь  на 2 = 

Ответ: 

Таким же образом можно складывать три, четыре и больше натуральных чисел. Не забывайте сокращать дроби и выделять целые части из неправильных дробей.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Третье правило сложения смешанных чисел 1 Чтобы выполнить сложение смешанного числа и правильной дроби, прибавьте к дроби дробную часть смешанного числа, а целую часть оставьте без изменений.

Представим правило в виде буквенного выражения.

Если нам нужно сложить смешанное число  и правильную дробь  , то запишем следующее выражение: 

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с обыкновенными дробями.

Пример 1. Выполните сложение обыкновенной дроби  и смешанного числа 5 

Как решаем:

Записываем выражение: 

Согласно правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

Складываем дроби 

Наименьшее общее кратное 5 и 20 равно 5.

 , сокращаем на 4, 

Ответ: 

Пример 2. Выполните сложение правильной дроби  и смешанного числа 

Как решаем:

Записываем выражение: 

Следуя правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

Складываем дроби 

Наименьшее общее кратное 4 и 2 равно 2.

Ответ: 

Чтобы выполнить сложение смешанного числа и неправильной обыкновенной дроби, выделите целую часть из неправильной дроби и выполните сложение смешанных чисел.

Пример 3: выполните сложение  и 

Выделим целую часть из неправильной дроби: 

Теперь можем выполнить сложение двух смешанных чисел: 

Вычисляем: 

Наименьшее общее кратное 5 и 2 = 10

Выделим целую часть: 

Ответ: 

Вычитание смешанных чисел

Рассмотрим три типа вычитания со смешанными числами. В каждом подпункте вы найдете правила и решение примеров с разбором.

Вычитание одного смешанного числа из другого

Первое правило вычитания смешанных чисел Любое смешанное число можно представить в виде суммы целой и дробной части.

Это значит, что 

Исходя из значения дробных частей, вычитание можно выполнять тремя способами.

Если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого  , то выполняем вычитание целой части вычитаемого из целой части уменьшаемого, затем выполняем вычитание дробных частей. Вот так:

• 

Пример. Выполните вычитание 

Как решаем:

Чтобы решить пример, нужно выяснить, какая из дробных частей больше:

 или 

Чтобы сравнить две дроби, приведем их к наименьшему общему знаменателю. Наименьшее общее кратное 4 и 8 — 16

По правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, чей числитель больше.

Это значит, что 

Следуя правилу, выполняем вычитание. 

Вычитаем дробные части 

НОК = 8

Ответ: 

Второе правило вычитания смешанных чисел Если дробные части смешанных чисел равны. То есть  , то их разность равна нулю.

В этом случае разность смешанных чисел равна разности целых частей этих чисел. Вот так:

• 

Пример. Выполните вычитание: 

Как решаем:

Дробные части смешанных чисел равны. Это значит, что 

Следуя правилу, выполним вычитание:

Ответ: 

Третье правило вычитания смешанных чисел Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого  , то вычитание выполняется вот так

Пример. Найдите значение разности смешанных чисел  и 

Как решаем:

Запишем выражение 

Сначала выясним, как из дробных частей больше. Для этого приведем их к НОЗ. НОК 5 и 15 = 5

Следуя правилу, решаем:

Выполним вычитание дроби из натурального числа:

Ответ: 

Вычитание смешанного числа из натурального числа

Четвертое правило вычитания смешанных чисел Чтобы из целого числа вычесть смешанное число, сначала отнимите от натурального числа целую часть смешанного числа, а затем отнимите от этой разности дробную часть смешанного числа.

Представим правило в виде буквенного выражения: 

Пример. Отнимите от натурального числа 15 смешанное число 

Как решаем:

Запишем выражение: 

Следуя правилу, выполним вычитание целой части смешанного числа из натурального числа:

Ответ: 

Вычитание дроби из целого числа

Пятое правило вычитания смешанных чисел Чтобы вычесть обыкновенную дробь из целого числа, нужно это число представить в виде дроби. Вот так:

Пример. Отнимите от целого числа 6 обыкновенную дробь 

Как решаем:

Запишем выражение 

Представим натуральное число 6 в виде дроби 

Тогда 

Ответ: 

Умножение смешанных чисел

Давайте разберемся как выполнять умножение в примерах, где есть смешанные числа

Умножение смешанного числа на смешанное число

Первое правило умножения смешанных чисел Чтобы умножить одно смешанное число на другое, нужно перевести обы смешанных числа в неправильные дроби, а затем выполнить умножение по правилу умножения дробей

Пример. Выполните умножение смешанного числа  и 

Как решаем:

Запишем выражение 

Следуя правилу, переведем смешанные числа в неправильные дроби.

Выполним умножение: 

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть 

Ответ: 

Умножение смешанного числа на обыкновенную дробь

Второе правило умножения смешанных чисел Чтобы выполнить умножение смешанного числа и обыкновенной дроби, представьте смешанное число в виде неправильной дроби и выполните умножение дробей.

Пример. Умножьте смешанное число  на обыкновенную дробь 

Как решаем:

Запишем выражение 

Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Выполним умножение дробей 

Выделим из полученной неправильной дроби целую часть 

Ответ: 

Умножение целого числа на дробь

Третье правило умножения смешанных чисел Чтобы умножить целое число на дробь, просто умножьте это число на числитель дроби.

Пример. Выполните умножение числа 7 на обыкновенную дробь 

Как решаем:

Запишем выражение: 

Выделим из получившейся неправильной дроби целую часть 

Ответ: 

Деление смешанных чисел

Вы уже рассмотрели три типа арифметических действий со смешанными числами. Осталось разобраться, как выполнять деление в примерах, где есть смешанные числа. Давай научимся это делать.

Деление смешанного числа на смешанное число

Первое правило деления смешанных чисел Чтобы разделить одно смешанное число на другое, переведите оба числа в неправильные дроби и выполните деление, следуя правилу деления дробей.

Пример. Найдите результат деления смешанного числа  на смешанное число 

Как решаем:

Запишем выражение: 

Следуя правилу, переведем оба смешанных числа в неправильные дроби.

Пользуясь правилом деления дробей, находим частное:

Ответ: 

Деление смешанного числа на целое число

Второе правило деления смешанных чисел Чтобы разделить смешанное число на целое число, переведите смешанное число в неправильную дробь и выполните деление.

Пример. Разделите смешанное число  на натуральное число 15

Как решаем:

Запишем выражение 

Следуя правилу, переведем смешанное число в неправильную дробь 

Выполним деление 

Ответ: 

Деление целого числа на смешанное число

Третье правило деления смешанных чисел Чтобы разделить целое число на смешанное число, переведите смешанное число в неправильную дробь и выполните деление.

Пример. Выполните деление натурального числа 30 на смешанное число 

Запишем выражение 

Представим смешанное число в виде неправильной дроби 

Выполним деление 

Выделим из полученной неправильной дроби целую часть 

Ответ: 

 

Деление смешанного числа на обыкновенную дробь

Четвертое правило деления смешанных чисел Чтобы разделить смешанное число на обыкновенную дробь, представьте смешанное число в виде неправильной дроби и выполните деление.

Пример. Разделите смешанное число  на обыкновенную дробь 

Как решаем:

Запишем выражение 

Представим смешанное число в виде неправильной дроби 

Выполним деление, следуя правилу деления дробей: 

Ответ: