Правила вычисления производных ( урок - КМД)

САБАҚ ЖОСПАРЫ/ПЛАН УРОКА

Тақырыбы/ Тема: «Производная степенной функции с натуральным показателем. Правила вычисления производных»

Мақсаты/ Цель:

1. Обеспечить усвоение учащимися правил вычисления производной, перевести эти правила с теоретического уровня на практическое применение.

2. Дать почувствовать учащимся собственное продвижение в волевом развитии то же и в интелектиальном. В целях решения упражнений, развить у учащихся умение выделять главное, существенное в изучаемом материале.

3. Вызвать удивление, уважение, сопричастность, ответственность.

Сабақтың түрі/ Тип урока: урок комбинированный.

Материалдық-әдетемелік жабдықтау/

Материально-методическое оснащение урока: проектор, учебники, тетради, плакат «Формулы дифференцирования», инструкционные карты, карточки-задания.

Сабақтың мазмұны және барыс/ Содержание и ход урока

1. Оқушыларды жаңа материалды қабылдауға ұйымдастыру/

Организация учащихся на восприятие нового материала.

1. Тізім бойынша құрамды тексеру/ Проверка списочного состава.

І Мотивациялық кезең/ Мотивационный этап

Устно повторить формулы дифференцирования:

Чему равна производная?

1. (х²)`=2x 4. (x)`=1 7. (kx+b)`=k

2. (x³)`=3x<sup>2</sup> 5. (C)`=0 8. (2x-3)`=2

3.(kx)`=k 6. (-3x)`=-3 9. (

II Операциялық кезең/ Операционный этап

1. Жаңа материалды маңгеру/ Освоение нового материала.

Раздать карточки каждой группе (4 человека)

а) объяснить работу по ним (самостоятельное изучение темы по инструкционным картам и «вынос» приведенных примеров в картах на доску);

б) на работу отвести 20-25 минут.

ІІІ Керібайлаңыстың анықталуы/ Проявление обратной связи.

1. Решение упражнений из учебника «Алгебра и начала анализа» А.Н.Колмогоров и др. Работа в тетради, у доски, самостоятельно. № 208(в,г), 209(г), 210(г), (г), 211(в,г).

2. Фронтальный опрос (провести параллельно решению упражнений)

а) Как найти производную суммы(разности)? (208(в,г))

(u±v)`=u`±v`

№ 208 (в,г)

в) f(x)=x²+3x-1, f `(x)=2x+3;

г) f(x)=x³+, f `(x)=3x²+.

б) Как найти производную произведения? (209(г))

(uv)`=u`v+uv`

(cu)`=cu`

№ 209 (г)

г) f(x)=(2x-3)(1-x³), f `(x)=(2x-3)`(1-x³)+(2x-3)(1-x³)`=2(1-x³)+(2x-3)(-3x²)=

=2-2x³-6x³+9x²=-8x³+9x²+2

в) По какому правилу находится производная частного? (210(г))

№ 210 (г)

г) f(x)= f’(x) = = = = =

г) По какому правилу находится производная степени (степенной

функции)? (211(в,г))

(хⁿ)`=nx^n-1

№ 211 (в,г)

в) f(x)=x⁷-4x⁵+2x-1, f `(x)=7x⁶-20x⁴+2;

г) f(x)=x²/2+3/x³+1, f `(x)=x-9/x⁴.

1. Самостоятельная работа (проверка усвоения материала, т.е. справился, не справился).

Ответы:

I вариант а) 2; б) 2; в) 1.

II вариант а) 1; б) 3; в) 3.

III вариант а) 3; б) 3; в) 2.

IV вариант а) 2; б) 2; в) 1.

IV. Бақылау-бағылау кезеңі/ Контрольно-оценочный этап.

1. Материалды меңгеру женіндегі қорытынды, қорытыңдыңы шығару/ Подведение итогов, вывод об усвоение материала.

2. Баға қою/ Выставление оценок.

1. Үй жұмысы/ Домашнее задание:

А.Е.Абылкасымова и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса.

§12 стр.108 №180(б,г)

Тема: «Правила вычисления производных»

I вариант Найдите производные функций

а)у=х⁵+4х³-7х+6

1) y’=5x⁴+3x²-7x+6 2) y’=5x⁴+12x²-7 3) y’= 5x⁴+12x²-x

б) у=

1) у’= 2) y’= 3)y’=

в) у=

1) у’=3 2) y’=2x-4 3) y’=

II вариант Найдите производные функций:

а) у=x⁸-3х²+8х-5

1) y’=8x⁷-6x+8 2) y’=8x⁷-2x²+8x-5 3) y’=8x⁷-6x²+3x

б) у=

1) y’= 2) y’= 3) y’=

в) у=х³(8-х)

1) y’=8x³-3x² 2) y’=3x²-8 3) y’=24x²-4x³

III вариант Найдите производные функций:

а) у=х⁴-5х²+3х-2

1) y’=4x³-5x+3 2) y’=4x³-10x+x 3) y’=4x³-10x+3

б) у=

1) y’= 2) y’= 3) y’=

в) у=х³(x-2x²)

1) y’=x⁴-2x³ 2) y’=4x³-10x⁴ 3) y’=4x³-2x²

IV вариант Найдите производные функций:

а) у=х⁹+8х⁶-5х+1

1) y’=9x⁸+48x⁵-5x+1 2) y’=9x⁸+48x⁵-5 3) y’=9x⁸+8x⁵-x

б) у=

1) y’= 2) y’= 3) y’=

в) у=х²(4+x)

1) y’=8x+3x² 2) y’=4x²+2x 3) y’=8x+4x²

Ответы:

I вариант а) 2; б) 2; в) 1.

II вариант а) 1; б) 3; в) 3.

III вариант а) 3; б) 3; в) 2.

IV вариант а) 2; б) 2; в) 1.

Стр. 110 п.15

Карточка №1

1. Значения функций «U» и «V», и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: U(x₀)=U и V(x₀)=V; U’(x₀)=U’ и V’(x₀)=V’.

Правило 1: Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(UV)’=U’V’ (1)

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

1. Пример № 1. Найдите производные функций:

а) у=х²+3х, для нахождения у’ применим правило № 1. Зная (х²)’=2х и (kx)’=k, получим у’=(х²+3х)’=(х²)’+(3х)’=2х+3.

б) f(x)=x²+, для нахождения у’ применим правило № 1. Зная (х²)’=2х и ()’= , получим f’(x)=(x²+)’=(х²)’+()’=2х+ .

1. Выполните:

Найдите производные функций:

1. f(x)=x²+4x f’(x) - ?

2. f(x)=x³+ f’(x) - ?

3. f(x)=5x-2 f’(x) - ?

Карточка № 2

1. Значения функций «U» и «V», и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: U(x₀)=U и V(x₀)=V; U’(x₀)=U’ и V’(x₀)=V’.

Правило 2: Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(UV)’=U’V+UV’ (2)

Следствие: Если функция U дифференцируема в точке х₀, а С- постоянная, то функция CU дифференцируема в этой точке и

(CU)’=CU’.

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак

производной, т.е. (3х)’=3(x)’=3.

1. Пример № 2. Найдите производные функций:

а) f(x)=x(4+3x) – находим f’(x) по правилу 2 и следствию. Тогда f’(x)=(x(4+3x))’=x’(4+3x)+x(4+3x)’=1(4+3x)+x(0+3)=4+3x+3x=4+6x.

б) f(x)=(3x-2)(5x+8) опять находим по правилу 2, вот так:

f’(x)=((3x-2)(5x+8))’=(3x-2)’(5x+8)+(3x-2)(5x+8)’=(3-0)(5x+8)+

+(3x-2)(5+0)=3(5x+8)+(3x-2)5=15x+24+15x-10=30x+14.

1. Выполните:

Найдите производные функций:

1. f(x)=x(x-5) f’(x) - ?

2. f(x)=(2x-3)(1-x) f’(x) - ?

Стр. 110 п.15

Карточка №3

1. Значения функций «U» и «V», и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: U(x₀)=U и V(x₀)=V; U’(x₀)=U’ и V’(x₀)=V’.

Правило 3: Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀ и функция V не равна нулю, то частное также дифференцируемо в этой точке х₀ и
(3)

1. Пример № 3. Найдите производные функций:

а) f(x)= по правилу 3, найдем f ‘(x) так: f ‘(x)=’===-

’= - - ЗАПОМНИ!

б) f(x)= опять по правилу 3, найдем так:

f’(x)=’====

== .

1. Выполните:

Найдите производные функций:

1. f(x)= f’(x) - ?

1. f(x) = f’(x) - ?

Карточка №4

Правило 4: Формула для вычисления производной степенной функции.

а) хⁿ, где n – произвольное натуральное число больше 1, такова:

(хⁿ)’=nx^n-1 (4) т.е. (х⁴)’=4x³.

Мы уже знаем формулы производных функций: (х³)’=3x²; (x²)’=2x; (x)’=1.

б) Для любого n и любого х(х0 при n1)

(хⁿ)’=nx^n-1 , т.е. (х^-3)’=-3x^-4

1. Пример № 4 Найдите производные функций:

а) у=х⁷ , где n=71. Находим по правилу 4 у’, вот так: y’=(x⁷)’=7x^7-1=7x⁶.

б) у=х^-5, где n=-5 1. Также находим y’ по правилу 4: y’=(x^-5)’=-5x^-5-1=-5x^-6.

в) у=2х⁴, где n=4. Аналогично по правилу 4 имеем: y’=(2x⁴)’=24x^4-1=8x³.

3) Выполните:

Найдите производные функций:

1. у=х¹⁰ y’ -? 3) f(x)=3x^-3 f’(x) -?

2. u=a^-8 u’ - ? 4) f(x)=-4x^-5 f’(x) - ?

Ответы к карточкам по теме «Правила вычисления производных»

Карточка № 1

Найдите производные функций:

1. f(x)=x²+4x f’(x) = 2х+4

2. f(x)=x³+ f’(x) = 3х²+

3. f(x)=5x-2 f’(x) = 5

Карточка № 2

Найдите производные функций:

1. f(x)=x(x-5) f’(x) =x’(x-5)+x(x-5)’=1(x-5)+x(1-0)=x-5+x=2x-5

2. f(x)=(2x-3)(1-x) f’(x) =(2x-3)’(1-x)+(2x-3)(1-x)’=(2-0)(1-x)+

+(2x-3)(0- 1)=2(1-x)+(2x-3)(-1)=2-2x-2x+3=- 4x+5

Карточка № 3

Найдите производные функций:

1. f(x)= f’(x) = = =

= = = -

1. f(x) = f’(x) = = =

===

Карточка № 4

Найдите производные функций:

1. у=х¹⁰ y’ =10x⁹

2. u=a^-8 u’ =-8a^-9

3. f(x)=3x^-3 f’(x) =3(-3)x^-4= - 9x^-4

4. f(x)=-4x^-5 f’(x) = -4(-5)x^-6=20x^-6