Правильные и полуправильные многогранники

Правильные и полуправильные

многогранники

Цель:

1) Ознакомление с определениями правильных и полуправильных многогранников и их свойствами.

2) Закрепление умения по вычислению площадей поверхностей многогранников.

3) Развитие умения по применению знаний в конкретной ситуации.

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.»

Бертран Рассел

Британский философ, общественный деятель и математик

18 мая 1872 г-

2 февраля 1970 г

Задание 1. Работа с моделями

многогранников

Из предложенных моделей выберите

«лишний»

Задание 2. Работа с учебником

П. 185 стр. 71 - 72

Правильные многогранники

• Прочитайте пункт учебника и составьте краткий конспект
• Какие многогранные углы при вершинах правильных многогранников?

1) Правильные многогранники.

Определение 1: Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани - равные между собой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Известно только 5   выпуклых правильных многогранников:

тетраэдр (4 грани); гексаэдр - куб (6 граней ); октаэдр ( 8 граней ); додекаэдр ( 12 граней); икосаэдр ( 20 граней ).

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n-угольники при n≥6.

Льюис Кэрролл

(1832-1898) — литературный псевдоним 

английского 

писателя, математика и логика Чарльза Лютвиджа Доджсона.

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» Льюис Кэрролл

Немного истории…

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции.

Придумать правильные многогранники, по-видимому, было нетрудно: это формы природных кристаллов.

Например, монокристалл поваренной соли (NaCl) — это куб.

Существует предположение, что додекаэдр древние греки увидели, рассматривая кристаллы пирита (серного колчедана FeS).

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной.

Позже учение пифагорейцев о правильных

многогранниках изложил в своих трудах другой

древнегреческий ученый, философ - идеалист

Платон. С тех пор правильные многогранники стали

называться Платоновыми телами.

У Платона четыре многогранника олицетворяли четыре стихии, а пятый - вселенную:

.

тетраэдр — огонь,

гексаэдр — землю,

октаэдр — воздух,

икосаэдр — воду,

додекаэдр — вселенную

Тетраэдр (от греческих слов «тетра» — четыре и (h)edra — грань);

гексаэдр («гекса» — шесть);

октаэдр («окто» — восемь);

додекаэдр («додека» — двенадцать);

икосаэдр («икоси» — двадцать).

тетраэдр-огонь

«Тетраэдр» в дословном переводе с греческого языка означает «четырехгранник.»

У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

гексаэдр

(куб)-земля

«Гексаэдр» в переводе с греческого языка означает «шестигранник». У куба все грани - квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра . Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

октаэдр-воздух

«Октаэдр» в переводе с греческого языка означает «восьмигранник».

У октаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

икосаэдр-вода

«Икосаэдр» в переводе с греческого языка означает «двадцатигранник». У икосаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

додекаэдр-вселенная

«Додекаэдр» в переводе с греческого языка означает «двенадцатигранник». У додекаэдра грани - правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

Один из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики.

Леонард Эйлер

(1707-1783)

Теорема Эйлера:

Число граней + число вершин = число ребер + 2

Задание 3. Работа с моделями

многогранников

Используя модели правильных многогранников заполните таблицу 1

ПРОВЕРЬТЕ!

название

форма грани

Тетраэдр

количество

Гексаэдр

Граней

Правильный треугольник

Вершин

4

Квадрат

Октаэдр

Рёбер

4

6

Додекаэдр

Правильный треугольник

Икосаэдр

8

6

8

Правильный пятиугольник

12

6

12

Правильный треугольник

12

20

20

30

12

30

Многогранники в искусстве.

С.Дали.

Тайная вечеря.

Большой стол, вокруг которого стоят фигуры в плащах, склонив головы. На фоне - залив Порт Легат, из вод его вырастает фигура полупрозрачного Христа. Это одна из самых знаменитых работ Сальвадора Дали.

Многогранники, нарисованные Леонардо да Винчи для книги Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре

''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.

Многогранники в архитектуре.

Великая пирамида в Гизе

Пирамида Хеопса

Александрийский маяк возле Александрии – главного морского порта Египта, построенного Александром Македонским в 332 г. до н.э. 

Многогранники

в природе.

Скелет одноклеточного организма

ФЕОДАРИИ напоминает икосаэдр.

Вирусы.

«Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая мою геометрию»

Кристаллы — это твёрдые вещества, имеющие естественную внешнюю форму правильных симметричных многогранников, основанную на их внутренней структуре, то есть на одном из нескольких определённых регулярных расположений составляющих вещество частиц (атомов, молекул, ионов).

Создания природы красивы и симметричны. В кристаллографии существует раздел, который называется «геометрическая кристаллография»

Кристаллы

Задание 4.

Заполните таблицу 2.

Вычислите площади поверхностей правильных многогранников и сумму длин всех ребер, если длина одного ребра равна 1 .

2) Полуправильные многогранники

Архимедовы тела

Полуправильные многогранники( Архимедовы тела) — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов ;

2) Все многогранные углы при вершинах равны.

Существует 13 архимедовых тел.

Кубооктаэдр

Икосододекаэдр

Усечённый тетраэдр

Усечённый икосаэдр

Усечённый октаэдр

Усечённый куб

Усечённый додекаэдр

Курносый куб

Ромбоусечённый

кубооктаэдр

Ромбоусечённый

икосододекаэдр

Курносый додекаэдр

Ромбоикосододекаэдр

Ромбокубооктаэдр

Задание 5. Работа с моделями

многогранников

Используя модель «лишнего» многогранника, определите его

название и количество граней, рёбер и

вершин.

Кубооктаэдр

Кубооктаэдр

8 треугольных

14

6 квадратных

12

24

Правильные звездчатые многогранники

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, которые получаются из правильных многогранников продолжением граней или рёбер.

Грани попарно соединяются в ребрах, при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами.

Их всего четыре типа, они называются также телами

Кеплера-Пуансо . Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Задание 6. Установите соответствие:

для развертки поберите

соответствующий многогранник .

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Итак, существует

1) 5 типов правильных выпуклых многогранников («Платоновых тел»);

2) Бесконечное множество полуправильных многогранников (из них – 13 «Архимедовых тел»);

3) 4 типа правильных звездчатых многогранников.

Задание 6. Учебник стр.81 №№83 и 84

Элементы симметрии правильных многогранников

тетраэдр

тетраэдр

Центры симметрии

Центры симметрии

-

Оси симметрии

октаэдр

октаэдр

Оси симметрии

Плоскости симметрии

икосаэдр

Плоскости симметрии

-

1

икосаэдр

4

1

9

гексаэдр

гексаэдр

1

додекаэдр

додекаэдр

9

15

1

15

9

15

9

15

Изображение

Правильный многогранник

Число сторон у грани

Число рёбер, примыкающих к вершине

5

4

3

Число вершин

20

3

3

Число рёбер

5

3

8

Число граней и их форма

30

3

4

12

12

6

3

30

4

12

6

6

12

20

8

4

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова «грань».

Число вершин, рёбер и граней правильных многогранников связано друг с другом интересным соотношением.

Удачи!