Башкортостан, Стерлитамакский район
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Гречко Валентина Николаевна
учитель математики
74 года
1 900
26 811 
Местоположение
Практическая работа по теме "Исследование функций с помощью производной"
Категория:
Математика
10.04.2016 10:54
Просмотр содержимого документа
«Практическая работа по теме "Исследование функций с помощью производной"»
Урок алгебры и начал анализа в 11 классе
Практическая работа
Тема: «Исследование функций с помощью производной»
Цели: научиться проводить исследование функции с помощью производной и строить графики функций; закрепить признаки возрастания (убывания ) функции, условия существования точек экстремума; проводить исследование функции по графику производной на примерах заданий ЕГЭ; отработать навыки нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Краткая теоретическая справка
1. Находим область определения D(f) функции y = f(x).
2. Проверяем функцию на четность.
Если f(-x) = f(x), то функция четная, график функции симметричен относительно оси OY.
Если f(-x) = - f(x), то функция нечетная, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.
3. Если функция периодическая, то находим период функции.
4. Находим точки пересечения графика с осями координат.
Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox).
Для этого мы решаем уравнение f(x) = 0.
Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (Oy). Для этого ищем значение функции при x=0.
5. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства 
f(x) 0 и f(x) .
6. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.
Для этого мы следуем привычному алгоритму.
а) Находим производную 
б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения 
- это стационарные точки.
в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.
Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.
Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.
Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.
7. Найти значения функции в точках экстремума.
8. По данным исследования построить график функции.
Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.
Решение.
1) D(f): R
2) Проверим функцию на чётность/нечётность:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
3) Функция непериодическая.
4) Нули функции.
С осью Оy:
Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f(x) = 0:
5) Таким образом, на интервалах 
график расположен ниже оси абсцисс f(x), а на интервалах 
– выше данной оси f(x) 0.
6) Возрастание, убывание.
Найдём критические точки:
Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1
Следовательно, функция возрастает на и убывает на 
.
7). Экстремумы функции
точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»
.
точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».
8). 
: 
.
9) Строим график функции.
Пример 2. На рисунке изображен график производной функции 
, определенной на интервале 
. В какой точке отрезка 
принимает наибольшее значение.
Решение. На отрезке [-7;-3] график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что 
, то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке x=-7.
Ответ. -7.
Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Найти производную функции.
Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).
Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.
Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках и на концах отрезка.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.
Пример 3. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 18x2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].
Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
y’ = 3x2 – 36x + 81.
y’ = 3x2 – 36x + 81 = 0
x2 – 12x + 27 = 0,
x = 3 и x = 9
x = 9 
[8; 13].
y = x3 – 18x2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:
y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;
y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;
y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.
Ответ. 
; 
Порядок выполнения работы.
Внимательно изучите теоретическую справку по теме.
Решите следующие задания по учебнику №9.40А(2в, 2г), №9.41Б(1в) , № 9.44А(2), №9.43А(6)
Выполните разбор примеров 3-7.
Пример 4. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
. Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Пример 5. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
. Найдите количество точек экстремума функции на отрезке 
.
Пример 6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
. Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Пример 7. На рисунке изображен график функции 
, определенной на интервале 
. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Пример 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
. Найдите количество точек максимума функции на отрезке 
.
Пример 9. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале 
. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Задание на дом:
№9.40А(2а,2б), №9.44А(1) №9.41Б(1а,1б) , № 9.44А(2)
№9.43А(1-5), №9.44А(3) №9.45А(1-4) №9.44А(9)
Выполните самостоятельно по вариантам.
Самостоятельная работа.
| Задание №1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график
| |||
| 1 |
| 11 |
|
| 2 |
| 12 |
|
| 3 |
| 13 |
|
| 4 |
| 14 |
|
| 5 |
| 15 |
|
| 6 |
| 16 |
|
| 7 |
| 17 |
|
| 8 |
| 18 |
|
| 9 |
| 19 |
|
| 10 |
| 20 |
|
| Задание №2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке | |||
| 1 |
| 11 |
|
| 2 |
| 12 |
|
| 3 |
| 13 |
|
| 4 |
| 14 |
|
| 5 |
| 15 |
|
| 6 |
| 16 |
|
| 7 |
| 17 |
|
| 8 |
| 18 |
|
| 9 |
| 19 |
|
| 10 |
| 20 |
|
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
