СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Практическое занятие «Вычисление неопределенных интегралов различными методами».

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Целью практического занятия является формирование общих и профессиональных компетенций будущих специалистов. Формирование умений правильно применять знания и навыки в решении практических задач в области математики.

Просмотр содержимого документа
«Практическое занятие «Вычисление неопределенных интегралов различными методами».»

Практическое занятие

Тема: «Математический анализ».

Наименование работы: «Вычисление неопределенных интегралов различными методами».

Цель: Закрепить навыки интегрирования рациональных функций, интегрирования методом замены переменной и интегрирования по частям.

Содержание

Часть 1. Теоретическая

Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функций находится сама функция.

Дифференцируемая функция F(x), a называется первообразной для функции f(x) на интервале a , если для каждого a .

Так, для функции f(x) = cosx первообразной служит функция F(x) = sinx, поскольку = cosx.

Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно. Если F(x) – первообразная для f(x) на некотором промежутке, то и функция F(x) + C, где Cлюбая постоянная, также является первообразной для функции f(x) на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для f(x) в данном промежутке, может быть записана в виде F(x) + C.

Совокупность F(x) + Cвсех первообразных функции f(x) на интервале a называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут = F(x) + C. Здесь – подынтегральное выражение; f(x) – подынтегральная функция; x переменная интегрирования; Cпроизвольная постоянная.

Пример:

=tgx + C, так как = .

Если функция f(x) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непрерывная на отрезке a , интегрируема на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла

1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

df(x)dx=f(x) dx.

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложной с произвольной постоянной, т. е.

dF(x)=F(x)+C.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

af(x)dx=a∫(x)dx.

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

(f1(x)±f2(x))dx=∫f1(x)dx±f2(x)dx.

Способы интегрирования

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1.∫dx=x+C/

2.∫xndx=(xn+1/n+1)+C (n≠-1).

3.∫x-1dx=∫dx/x=ln׀x׀+C.

4.∫exdx=ex+C.

5.∫axdx=ax/lna+C.

6.∫sinxdx=-cosx+C.

7.∫cosxdx=sinx+C.

8.∫dx/cos2x = tgx+C.

9.∫dx/sin2x = -ctgx+C.

10.∫dx/√1-x2 = arcsinx+C.

11.∫dx/1+x2 = arctgx+C.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример.

Найти∫xdx/√2-3x2.

Решение. Проведем подстановку 2-3x2=t; тогда -6xdx=dt, xdx=-(1/6)dt. Далее, получаем∫xdx/√2-3x2=∫-(1/6)dt/√t=-1/6∫t-1/2dt=-1/6∙t-1/2+1/(-1/2+1)+C=-1/6∙t1/2/1/2+C=-1/3√t+C=-1/3√2-3x2+C.

Пример.

Найти ∫(2+cosx)2sinxdx.

Решение. Сначала положим 2+cosx=t; тогда –sinxdx=dt,откуда sinxdx=-dt. Далее, получаем

∫(2+cosx)2sinxdx=∫t2(-dt)=-∫t2dt=-t2+1/(2+1)+C=-1/3t3+C=-1/3(2+cosx)3+C.

Пример.

Найти ∫sin10xdx.

Решение. Положим 10x=t;тогда10dx=dt, откуда dt=(1/10)dt. Далее получаем

∫sin10xdx=∫sint1/10dt=1/10∫sintdt=1/10(-cost)+C=-1/10cost+C=-1/10cos10x+C.

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k≠0, n≠0-постоянные):

1.ekxdx=(1/k)ekx+C.

2.akxdx=(1/k)(akx/lna+C.

3.sinkxdx=(-1/k)coskx+C.

4.coskxdx=(1/k)sinkx+C.

5.dx/cos2kx=(1/k)tgkx+C.

6.dx/sin2kx=(-1/k)ctgkx+C.

7.dx/k2+n2x2=(1/nk)arctg (n/k)x+C.

8dx/k2-n2x2=(1/n)arcsin(n/k)x+C.

Так, при вычислении ∫sin10xdx можно использовать формулу ∫sinkxdx=-(1/k)coskx+C, где k=10. Тогда ∫sin10xdx=(-1/10)cos10x+C.

Интегрирование по частям. Общая формула интегрирования по частям имеет вид: где – некоторые функции от х.

Пример.

Вычислить интеграл .

Решение. Обозначим х = , = , находим и . = ,

= = - , найдем = -х + = -х + + С.


Часть 2. Практическая

Задание

1

, , ,

2

, , ,

3

, , ,

4

, , ,

5

, , ,

6

, , ,

7

, , ,

8

, , ,

9

, , ,

10

, , ,



Вопросы к практическому занятию

1.Какое действие называется интегрированием?

2.Какая функция называется первообразной для функции f(x)?

3.Дайте определение неопределенного интеграла?

4.Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5.Каким действием можно проверить интегрирование?

6.Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).






Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей