Практическое занятие «Техника вычисления определенных интегралов».

Практическое занятие

Тема: «Математический анализ».

Наименование работы: «Техника вычисления определенных интегралов».

Цель: научиться вычислять определенные интегралы, используя непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Содержание

Часть 1. Теоретическая

Пусть функция f(x) определена на отрезке a . Допустим, что функция f(x) в указанном промежутке неотрицательна и a . Разобьем этот отрезок на nчастей точками a = На каждом из частичных отрезков (i = 1, 2, 3, …, n) возьмем произвольную точку и составим сумму: f( ) + f( ) + f( ) + … + f( ) = , где = - . Эта сумма носит название интегральной суммы функции f(x) на отрезке a .

Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются промежуточные точки .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от aдо bот функции f(x)по ».

По определению, = .

Числоaназывается нижним пределом интегрирования, число – верхним; отрезок a – отрезком интегрирования.

Всякая непрерывная на отрезке a функцияf(x) интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке a функцияf(x)неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади Sкриволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у =f(x), осью абсцисс и прямымиx = a, x= b, то есть S = . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определённого интеграла

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0.

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

= - .

1. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

= + .

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

= с .

1. Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

= +

Способы интегрирования

Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления неопределенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница

= | = F = F(b) – F(a),

то есть определенный интеграл равен разности значений любой преобразованной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1. найти неопределенный интеграл от данной функции;

2. в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний пределы интегрирования;

3. из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример.

Вычислить интеграл òdx/³Öx².

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определённый интеграл:

= = = 3 = 3( )=3(2-1)=3.

Пример.

Вычислить интеграл

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл: = | =

Часть 2. Практическая

№	Задание
1
2
3	,
4
5	, ,
6	,
7	, ,
8
9
10

Вопросы к практическому занятию

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Укажите геометрический смысл определенного интеграла.

3. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

5. Перечислите основные методы интегрирования.