СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Практическое занятие «Техника вычисления определенных интегралов».

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Целью практического занятия является формирование общих и профессиональных компетенций будущих специалистов. Формирование умений правильно применять знания и навыки в решении практических задач в области математики.

Просмотр содержимого документа
«Практическое занятие «Техника вычисления определенных интегралов».»

Практическое занятие

Тема: «Математический анализ».

Наименование работы: «Техника вычисления определенных интегралов».

Цель: научиться вычислять определенные интегралы, используя непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Содержание

Часть 1. Теоретическая

Пусть функция f(x) определена на отрезке a . Допустим, что функция f(x) в указанном промежутке неотрицательна и a . Разобьем этот отрезок на nчастей точками a = На каждом из частичных отрезков (i = 1, 2, 3, …, n) возьмем произвольную точку и составим сумму: f( ) + f( ) + f( ) + … + f( ) = , где = - . Эта сумма носит название интегральной суммы функции f(x) на отрезке a .

Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются промежуточные точки .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от aдо bот функции f(x)по ».

По определению, = .

Числоaназывается нижним пределом интегрирования, число верхним; отрезок a отрезком интегрирования.

Всякая непрерывная на отрезке a функцияf(x) интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке a функцияf(x)неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади Sкриволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у =f(x), осью абсцисс и прямымиx = a, x= b, то есть S = . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.



Основные свойства определённого интеграла


  1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0.

  1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

= - .

  1. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

= + .

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

= с .

  1. Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

= +

Способы интегрирования



Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления неопределенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница

= | = F = F(b) – F(a),

то есть определенный интеграл равен разности значений любой преобразованной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

  1. найти неопределенный интеграл от данной функции;

  2. в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний пределы интегрирования;

  3. из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример.

Вычислить интеграл òdx/3Öx2.

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определённый интеграл:

= = = 3 = 3( )=3(2-1)=3.

Пример.

Вычислить интеграл

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл: = | =



Часть 2. Практическая

Задание

1

2

3

,

4

5

, ,

6

,

7

, ,

8

9

10


Вопросы к практическому занятию

  1. Дайте определение определенного интеграла.

  2. Укажите геометрический смысл определенного интеграла.

  3. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

  4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

  5. Перечислите основные методы интегрирования.




Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей